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线性代数习题及答案
（北京邮电大学出版社?戴斌祥主编
1. 设α1＝ 1，1，0 ，α2＝ 0，1，1 ，α3＝ 3，4，0 .求α1-α2及3α1+2α2-α3.
解：α1-α2
1,1,0 - 0,1,1
1,0,-1 ,3α1+2α2-α3
3,3,0 + 0,2,2 - 3,4,0
2. 设3 α1-α +2 α2+α ＝5 α3+α ，其中α1＝ 2，5，1，3 ，α2＝ 10，1，5，10 ，α3＝ 4，1，-1，1 .求α.
解：由3（α1-α）+2 α2+α
整理得：α
3α1+2α2-5α3 ,即α
6,12,18,24 1,2,3,4
4. 判别下列向量组的线性相关性.1）α1
1,1,3,1 ,α2
4,1,-3,2 ,α3
1,0,-1,2 ;
1,1,2,2,1 ,α2
0,2,1,5,-1 ,α3
2,0,3,-1,3 ,α4
1,1,0,4,-1 .
解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.
5. 设α１α２,α3证明α１α１α２α１α２α3也线性关.
由线性无关，有
所以即线性无关.
6.问a为何值时，向量组
线性相关，并将用线性表示.
解：当a 5时，
7. 作一个以 1，0，1，0 和 1，-1，0，0 为行向量的秩为4的方阵.
解：因向量 1,0,0,0 与（1,0,1,0）和 1,-1,0,0 线性无关,
所以 1,0,0,0 可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与 1,0,1,0 ，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以 1,0,0,1 可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为.
8. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.
【证明】若 1
线性相关，且不妨设
是 1 的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.
9. 求向量组
1,2,1,1 的秩和一个极大无关组.
【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.
当k 1时，的秩为为其一极大无关组.
当k≠1时，线
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第五章 二次型习题解答p232~236
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