全国小学数学“解决问题”研讨会学习心得(四)
文章摘要：有幸参加了在烟台举行的“全国小学数学解决问题专题研讨会”,通过观摩13节高水平的课堂教学,领略了各个版本教材在“解决问题”领域所取得的可喜成果和不同的特色；通过聆听各位专家的学术报告,更深入的了解了“解决问题”教学的现状和今后发展的……
全国小学数学“解决问题”研讨会学习心得（四）整理:博兴县教研室&& 韩国栋 让孩子爱上“解决问题” 博兴县第一小学& 孙秋生 & 5月8日至10日,有幸参加了在烟台举行的“全国小学数学解决问题专题研讨会”,通过观摩13节高水平的课堂教学,领略了各个版本教材在“解决问题”领域所取得的可喜成果和不同的特色；通过聆听各位专家的学术报告,更深入的了解了“解决问题”教学的现状和今后发展的方向,对解决问题的策略及其重要性有了更明晰的认识.同时我也陷入了深深的思考:如何让学生爱上“解决问题”.现结合学习中的所看、所听、所悟,谈谈自己浅显的看法: 一、解决的问题具有现实意义并具有一定的挑战性. 这是让学生爱上“解决问题”的第一步.教学中首先要找到学生的兴趣点之所在,小学生年龄小,生活经验有一定的局限性,对于抽象的情景和脱离生活经验的问题无所适从,更难产生解决的兴趣和欲望.而具有现实意义并与学生的生活经验联系密切的问题能一下子抓住学生的兴趣点,吸引学生的“眼球”. 比如苏州市工业园区第二实验小学的徐斌老师执教的苏教版《倒退策略解决问题》一课,首先呈现了一幅路线图,教师提出问题:从学校到科技馆怎么走？在学生很容易的解决以后,教师接着提出:原路返回怎么走？和去的方向如何？这个问题是学生比较感兴趣的,学生学习的积极性和关注度马上有了进一步提高,教师顺势指出:解决问题时有时需要反过来想、倒过来想,也叫倒推.然后以生活中“喝果汁”的问题来进行倒推策略的教学,并且徐老师设计的“喝果汁”问题杯子逐步增多,难度逐渐增大,挑战性越来越强,在不断的解决问题的过程中学生的兴趣越来越高. 又如嘉兴市南湖区教研室的朱德江老师执教的北师版《路程、时间、速度》一课,呈现了情景:喜羊羊上学用6分钟,沸羊羊上学用4分钟.问题:谁走的快.“喜羊羊与灰太狼”这一动画片是低年级小学生非常喜欢的,同时上学的情景也是学生亲身体验比较深的,学生自然对这一问题的解决是比较喜欢的. 二、注重对学生学习方法的指导. 解决任何问题都是有一定的方法的,如果方法不当学生无处下手,无法提高解决问题的效率和建立解决问题的模型.但教师必须把握准方法指导的本质,让学生在解决问题的过程中慢慢的体验、感悟,内化,变成自己的方法. 1、培养学生观察信息、收集信息、整合信息的能力. 关于信息处理这一环节,在实际教学中有些教师的做法是:让学生根据情景图提出问题,然后找出解决这一问题的有关数学信息.这在一定程度上培养了学生处理信息的能力,但它是不全面的.一个问题情景是一个整体,它呈现了多个数学信息,而不同的数学信息进行组合可以解决不同的数学问题,所以教师要指导学生从整体上观察信息,找出它们之间的内在联系,进行组合. 比如潍坊市实验小学的管恩霞老师执教的青岛版《两步计算（带小括号）》一课,在呈现了情景“阳阳家的养鸡场”后,教师提出“你能得到哪些数学信息,是关于什么的？”这里的“是关于什么的”这句话很重要,它引导学生在收集信息的过程中对这些信息进行组合,为后面学生的提出问题、解决问题做了有效的铺垫和准备. 2、引导学生恰当选择解决问题的策略. 每种类型问题的解决都可以借助一些灵活而行之有效的策略,比如:模拟实验、画图（示意图、线段图、列举图、集合图）、枚举、假设、转化等等.解题策略选择恰当,可以有效的帮助学生弄清题意,理清数量关系,找到问题的思考点和突破口,迅速、正确的解决问题.同时逐步使学生加强对策略形成过程的体验,通过学习形成良好的“策略意识”,能体会策略在解决问题中的价值和丰富内涵,掌握运用策略的基本思路和过程,能适当地将策略与实际问题匹配,主动运用策略解决问题,获得问题解决后的成功体验,最终达到优化学生的思维品质,提高解题能力. 比如我县实验小学的高春霞老师执教的青岛版《相遇问题》一课,教师呈现信息后,找学生说说自己的感受,在学生表达出题目的意思有点难以理解时,教师顺势提出:有没有其他的方式表达这段话更便于理解？然后引出模拟表演这一方法,通过师生表演、生生表演、电脑演示,教师故意出现错误,帮助学生理解“同时”“相向”“相遇”等关键词.在学生对题意和数量关系有了初步理解的基础上,教师引导学生用画线段图的方式把已知信息和问题画下来,通过展示交流,逐步对题意和数量关系有了更深层次的理解.这节课中,借助多种策略的帮助,学生对信息中的关键词真正理解了,对数量关系真正明晰了,问题的解决也就变得容易了,最关键的是学生切身感受到遇到困难时可以通过别的方式方法来化难为易,而这种感受对学生以后的学习和生活是受益无穷的. 三、让学生体验“解决问题”的价值. 在问题解决以后,教师要适时引导学生进行回顾、反思.通过梳理解决问题的全过程,思考在知识方面有哪些收获？在学习方式方面有哪些收获？在学习方法方面有哪些收获？对以后的学习和生活有哪些帮助？在交流、讨论中,引导学生体验到学会解决这一问题的用处,找到其价值所在,有用的才是学生感兴趣的. 总之,受传统的应用题教学弊端的惯性影响,“解决问题”教学的路还很漫长,需要我们一线的教师不断的学习、不断的反思、不断的尝试,优化课堂教学,让孩子真正的爱上“解决问题”.外出学习心得&&&& 博奥学校 宋任华 有幸在5月7日至5月11日参加了由山东烟台承办的全国小学数学“解决问题”专题研讨会.会上观摩了13节各省市推荐的关于解决问题的课堂现场教学,聆听了周玉仁教授、唐彩斌教授、张丹教授关于解决问题的三场专题报告,进行了三次授课后的现场互动评课活动.学习归来感触颇多,结合自己对解决问题的理解,更加明确了解决问题的历史发展进程,深刻体会到策略在解决问题中的重要性以及数学建模的必要性.现将学习心得总结如下: 一、课堂教学---异彩纷呈 1、13位一线教师分别执教了人教版、苏教版、北师版、青岛版、冀教版的小学数学教材,形式多样的向与会老师展示了在“解决问题”方面独到的特性,各版本各领风骚. 2、情境创设诱发了学生学习的浓厚兴趣,既活跃了课堂氛围,又激发学生深思,为所学内容学习的必要性埋下伏笔.如:山东潍坊管恩霞老师执教的青岛版小学二年级数学教材《两步计算（带小括号）》一课,以游戏入手:填上适当的运算符号使5& 5& 5 = 5.对学生进行了激趣诱智.再如:河北石家庄李保华老师执教的冀教版小学三年级数学教材《简单问题（归一问题与计算顺序的整合）》一课,以烟台的特产苹果装箱问题出发,引申出了一系列的需要解决的数学问题.很自然,恰到好处. 3、所涉及到需要解决的问题与学生的生活实际息息相关,符合学生已有的数学生活基础.如喝果汁的苏教版小学五年级教材《倒推策略解决问题》、喜羊羊和懒羊羊上学的北师版小学三年级教材《路程、时间与速度》、参观养鸭场的人教版小学三年级教材《混合运算（带小括号）》等,都与学生已有的生活实际紧密相连,使学生感到生活处处有数学,学会解决数学问题至关重要,向学生渗透了数学源于生活,又反过来作用于生活的思想. 4、对于解决问题的策略各有千秋、方式多样.通过学生观察,能够发现教师所创设的问题情境中的有用数学信息,并借助这些信息提出数学问题,进而转到探究问题、分析问题的过程中,借助多种形式理解题意,通过学生的小组合作、动手操作实践,教师指导帮助来解决问题.如:山东滨州高春霞老师执教的青岛版小学三年级教材《相遇问题》,从课前学生借助话筒向老师介绍自己开始,便已经开始向学生传递了“生活中有时需要借助一种工具来帮助我们完成工作”的意识.再从学生最熟悉的“相遇”开始,引出课题“相遇问题”.从师生两次现场演示,到学生与学生的演示,再从学生初次画线段图,逐步补充、规范,最后从一种算式到多种算式的列出,由一种思路到另一种思路的拓展,一步步、一次次诱发了学生学习情绪的高涨. 二、专家报告---解疑答惑 1、唐彩斌教授主讲的《算术应用题的本质是数学建模》的报告,用大量的实例为证,从应用题与现实生活的关系到解决问题的多样性,使与会教师进一步明确了数学是由问题驱动的、数学的内容本身就是一种数学模型、数学发展的两大原动力是解决大自然和生活实际提出的数学问题和解决数学本身应用的数学问题. 2、张丹教授主讲的《数与代数应用题的内容主线和教学建议---游弋于数学和学生之间》的报告,从运算的意义、关于表征和分析数量关系、关于分析问题和解决问题的策略、关于基本的数量关系、关于解题的检验五个大的方面详细的向老师们解答了在课堂教学中关于解决问题过程中遇到的一些问题. 3、七十七岁的周玉仁教授主讲了《从应用题到解决问题》的报告,从应用题教学的历史回顾,到新课程改革打破传统应用题教学的格局,再到实现解决问题教育功能的几点思考,详尽的向老师们介绍了图画和文字应用题的解决策略、数量关系问题的解决策略以及模拟实验、画图、线段图、例举、假设、替换策略在具体应用时所需要注意的问题,使每位老师既洞悉了解决问题的最新动态,又学到了很多解决问题的策略. 三、互动评课---智慧分享 互动式评课,不仅仅是授课教师表明自己授课各环节的设计意图,学生活动的目的,自己课堂教学的亮点和欠妥之处,更重要的是通过现场观摩这节课,让每位在座教师能够观察发现到,在解决问题过程中暴露出来的问题,我们教师应该做些什么,哪些教学环节我们还没有很好的处理,我们解决这些问题的策略是什么,学生是不是在一种有效学习氛围下进行问题的研讨探究的.通过听课教师和授课教师的互动,使问题暴露了出来,汲取大家的智慧,共同分析解决这些问题,使每位老师都有了不同程度的收获和提高. 学习是为了更好的进步,感谢校领导和韩国栋老师给了我这次学习的机会,我一定会及时将学习收获与大家分享,让更多的老师参与到“解决问题”中来,探究解决问题的策略,寻找适合自己课堂教学、适合自己学生生活实际的解决问题的途径. & &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 日 &多学习多思考体会数学的真正价值 ――参加全国小学数学“解决问题”教学研讨会心得体会 博兴县第一小学& &&&&&&&&&张玲 数学课堂是我梦想的课堂,做一名优秀的数学教师也是我的理想.记得第一次拿到数学课本时,我却感觉无从下手,怎样激发起学生学习数学的兴趣,怎样让学生成为课堂的主体,怎样把握好教材……,一个个问题时时引起我的思考,多听课多学习也是我最期盼的.5月份我有机会参加了全国小学数学“解决问题”教学研讨会,这次会议日程安排的紧凑,内容也非常丰富,有3场专家讲座、13节名师课堂、还有互动评课.聆听专家的教诲,感受名师的课堂魅力,这些都带给我思想上的洗礼,心灵上的震撼、理念上的革新！一、&&& 专家报告,让我明确方向　 会议安排的三场全国知名专家报告让我受益匪浅.说实话以前我最害怕听专家报告,因为面对高层次的理论讲解我很多听不懂,但这次不同,周玉仁教授、张丹教授、张奠宙教授、唐彩斌教授的报告都是理论联系实际,结合调研的具体情况以及课堂上出现的问题进行分析讲解,专家们的精彩讲座一次次激起了我内心的感应,更激起了我的反思. 问题是数学的心脏,为什么自己上解决问题的课堂总是沉闷？为什么每次题型稍微一变学生就不会了？反思自己的教学,首先我有没有读懂教材？就像周玉仁教授谈到的,教材将应用题与计算结合在一起出现,教学时怎样把握每节课应该以应用为重还是计算为重？其次我有没有读懂学生？就像张丹教授谈到的老师上课要带着学生一起思考,要根据不同年龄特点的孩子提出不同的要求,要引导学生学会如何审题.第三我有没有引导学生找到一种灵活而行之有效地解题策略？专家们都提到要重视学生分析问题解决问题的策略,根据不同学生特点,要为学生提供灵活而行之有效的解题策略.二、名师课堂,是我学习的榜样 会议邀请了全国五套小学数学教材代表展示了13节优秀课例,并且与会的专家教师参加了研讨评课.名师的课堂总是趣味与数学味并存,新意与效率同在,知识的深度与学生的参与度兼顾,听名师讲课是一次心灵的享受,听专家评课更让我们的思想得到升华. 首先,值得学习的是名师们精湛的语言艺术,每一节课堂的导入、策略的引导、方法的概括等环节,每一句话都掷地有声,使学生的思想会自动围绕教师的教学设计.反思自己的教学,虽然所做的一切都是为了学生,当学生听不懂自己的教学要求时,我原来常在找学生的责任,现在切实地感到是自己的责任,因为我们上课的目的就是教会学生.如果学生听不懂,一定是教学要求定的不合理或者是语言表达不够具体、到位,不够明确.今后,我一定在把握教材了解学生的前提下,使自己的教学语言尽量精练,从而吸引学生全身心投入到学习活动中去. 其次,名师课堂重视教学过程,让每一个活动行之有效.教学过程时时处处渗透着教师的教育机智,每个细节处理到位,包括课前活动、导课、新知识的探究过程都设计的非常巧妙,比如,郭卫峰老师在执教《解决问题的策略倒推》时,课前跟学生一起欣赏了一首歌曲,当时我还想,在这样的场合为什么选择这样一首曲子呢？慢慢我才明白,原来歌曲中也有倒推策略,从而使学生体验到倒推的独特性和普遍性,虽然是一个很小的教学环节,却显示了教师的教育机智.并且,每位教师的导课、结课都能根据不同情况采取不同方法,印象最深的是徐斌老师最后设计的小游戏和朱德江老师最后设计的开心一刻,无论采取怎样的形式都进一步激发了学生的兴趣、回顾了前面解决问题的过程,提升了教学内容. 另外,名师课堂都重视学生分析问题解决问题策略的培养,并且在恰当的时机引导学生对解决问题的过程进行回顾整理.印象最深刻的是青岛版的四节《相遇问题》,特别是高春霞老师的课,无形中为学生渗透了两种解题策略,由最早的学生读题,用自己的话说说题目的意思,发现存在困难,逐步引入到模拟表演,并且通过师生表演生生表演和二次演示使学生逐步理解题目的基本意思,接着引导学生通过逐步完善线段图来完全理解题目的数量关系.在整个教学过程老师针对学生的心理特点,巧设矛盾冲突,制造悬念,使学生跃跃欲试,不断地把学生的思维引向深入,步步推进,使教学结构紧凑而且环环相扣.更重要的是,每位教师都在恰当的时机引领学生对解决问题的思路进行梳理,从而,回顾了解题过程,体会解题的关键,反思解题的方法,提取解题的策略,体验策略的价值. 总之,听专家讲座、聆听名师课堂都是为提高自己的教育教学实践水平做准备.一切的学习都是为了自己的实践,我会用学到的东西来改进我的教育教学.我深知自己的差距还很大,作为一名年轻教师我争取在具体的教学过程中,从学校、学生和自身的实际情况出发,主动地、合理地、创造性地对教材进行再加工,引领学生走进教材,走进生活,去感受数学的内涵,体会数学的真正价值. & &走近徐斌 &&&&&&&&&&&& ――听徐斌老师《倒推策略解决问题》有感 博兴县实验小学&& 刘平 早就敬仰徐斌校长这位年轻的特级教师,全国小学数学名师,有幸目睹他的风采,现场聆听他的讲课,真的是很激动,徐校长的课,带给我的不是一节简单的学知识的数学课,更多的是对数学的感悟,理解和执着的感情,走进徐斌老师的课堂,是那么的惬意,那么的舒适,不像是在领着孩子学枯燥的数学,反而正像徐斌老师自己的评价,那是在“玩好数学”,是在感悟“数学好玩”. 一、细节的处理,细致、周到. 从课开始的谈话中,问孩子们:“你们来自哪个学校？”,“知道养正是什么意思吗？”“养浩然之气,正做人之本”这样的一问一答中,开始了本节课的旅程.就在这一问一答中,彰显着徐老师独特的魅力,多么有趣的开场白,让孩子的内心更是充满着对本校的感激,对学习的渴求. 接下来,徐老师开始布置学生整理学校用品,“拿出自己喜欢的笔,如果用铅笔,记得拿橡皮,如果用水性笔,那就不用橡皮了.”“把一号练习纸放在桌子的左上角,把演算纸,放在桌子的右上角”“做好的同学向老师挥挥手,示意一下”……这样的细致周到,让我惊讶.假设我们在课堂上一开始就给学生规定好了的话,也许在以后的数学课上,就用不着再来,也用不着为某些学生找不到书,拿不出本子来恼火.徐老师带领着三十个来学习的孩子,这些孩子面对着不熟悉的老师,面对着会场好几千的听众,这样的细致周到却是应该的. 二、完美的教学流程. 徐斌老师创设情境导入,从和孩子的谈话“生活中什么地方用到了策略？”开始,从参观路线的“原路返回”,引入数学思维的“倒推”,可谓神奇.从学生感兴趣的“一杯果汁先喝了一次,又倒出一次”这样的“一杯果汁的两次变化”到“二杯果汁的一次变化”,接着延伸到“三杯果汁的多次变化”,层层递进,步步深入,逐步设疑,使学生对数学的探究学习,不再是无趣、无味,而是能举一反三,自己探索.一节“倒推”的课,孩子们学过之后也许会懂,怎么倒推,如何来解这样的题,但是徐老师不仅仅满足于此,更多的让孩子真正明白的是,应该自己来选择适合用“倒推”的方法来解决的题,这样的“选择性”,假设学生没有真正学会的话,又怎能“会选择”呢？整节课都是老师在导,孩子在做,教师扶着孩子走路,该放手的时间就放手,这就是大师的风采. &意犹未尽的一堂课,是在最后让学生“玩魔术”的意境中,来延伸的,从“玩好数学”到“数学好玩”,把这堂课的气氛推向了高潮.他的整个课堂始终充满着魔力,吸引孩子去探索数学的奥秘,也让入会的教师感叹,由衷的佩服――不愧为大师的杰作,课罢的久久掌声,正是对本节课的肯定. 三、对学习习惯的培养,在点滴之中. 一题一出示,一题一总结、一题一点拨.点的不是知识,而是策略.总结的不是知识,而是方法.每当做完一题时,徐老师都要求孩子们“检验一下对吗？”“解决这个问题为什么用倒推啊？”在这样反复的一问一答中,把知识系统化,把解题方法策略化.每两次题结束后都会让学生进行总结比较,有什么相同的地方,有什么不同的地方,把知识进行提升,把思路进行整理.每三题做完后,都让学生回头去想,这些题中存在什么特点？给你四杯、五倍甚至更多杯,还会吗?这又是再一次的分析题意,理清思路. 学习的进步更多的是对自己学习的反思,反复的回头检查自己的做的是否正确,这正是良好学习习惯的培养.也曾记得我在处理方程的检验的时间,单纯就是教给学生方法,需要检验的试题,写出检验的步骤,而现在想来,对于平时的练习题,我及时提醒学生检验了吗？我的要求是不是很欠缺啊！ 四、真正的关注到每一个孩子. 徐老师在课中对孩子的关注,可以说是无处不在啊！就拿处理甲、乙两杯果汁的问题上,从方法的选择中,徐老师提出你们可以通过示意图或者列表来分析,在学生分析完毕,徐老师对孩子的两种做法都解读之后,接下来处理三杯果汁的问题时,给学生提了这么一个要求:“你可以先填表,再列算式；也可以只列算式,不填表；还可以光填表,不列算式.”单单这样的一句话,就把所有不同层次的孩子,都照顾到了.我们知道孩子在能力上存在着很大差异,那为什么对这样的孩子们的要求,为什么不能放低呢？让孩子量力而为呢？ 我在平时的教学中,也提倡学生讲究算法多样化,但是往往处理到最后,优化一种我认为“好”的方法,让孩子来接受,要求孩子们按照我的意愿这样做.忽视了孩子的主观能动性,一味按照应试教育的思想,来上课,来要求,现在想来真的是不应该啊！ && 徐老师的一节课,给我留下了深刻的印象,我想这样的深刻,不会是一天两天,而应该成为一种永远的“财富”,对名师的崇拜,对徐老师的学习,还是刚刚开始,还要再深入研究下去,真正的《走近徐斌》. & & &
上一篇：日和23日,我有幸赴西安参加了“名师之路”全国中小学美术新课程教学观摩研讨会.本次活动安排了5节观摩课和3个讲座,两天的观摩活动及5节异彩纷呈的美术课堂给我留下了深刻的印象.会上专家们激情洋溢的讲说让我茅塞顿开,……
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合作伙伴提供补充内容数学问题解决及其教学
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（洛阳师范大学，河南洛阳471022）
摘要：数学问题是以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。它来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。问题解决中的“问题”主要是指那些非常规的，或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题，其设计要遵循可行性、渐进性、应用性等原则。问题解决教学要通过创设情境来激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作能力。教学中，要注重发挥学生的主体作用和教师主导作用，二者相辅相成，不可偏废。
关键词：数学问题；设计原则；数学问题解决；教学
中图分类号：G633.6　　文献标识码：A
作者简介：刘元宗（1947―），河南省巩义人，洛阳师范学院数学系副教授，主要研究数学方法论与数学教学理论。
20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。由于它的研究与开发不仅关系到如何提高学生的科学文化素质、思想品德素质和教学质量问题，而且也与中小学数学教学内容、课程设置、教材教法、教学模式等各项改革密切相关，是一个领域广阔的研究阵地，所以受到国内外许多研究机构、专家、学者及广大教师的普遍关注。对于什么是问题解决，也有一些不同的观点和看法。1988年发表的美国《21世纪的数学基础》认为，问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情境中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。最近20年来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。英国1982年的Cockcroft 报告认为问题解决是那种把数学用之于各种情况的能力，并针对当时英国教育界的情况，呼吁教师要把“问题解决”的活动形式看作教或学的类型，看作课程论的重要组成部分而不应当将其看成课程附加的东西。不论是教学过程，还是教学目的，也不论是教学方法，还是教学内容，作为国际数学教育的核心和数学教育改革的一种新趋势，数学问题解决已成为当前数学教育研究的重要课题。
一、数学问题
对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一看法，但大体说来，它有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用，给出一种情境，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；三是探究性。[1]从历史角度来看，正是问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。
（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”
由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。
（二）数学问题的类型及其数学教育价值
由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[2](1)
2.探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。
3.开放性问题。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在△ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin B ，成等差数列，等等。[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。
二、数学问题的设计原则
如前所述，问题解决中的“问题”主要是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。“问题”常常给出联系实际的情境，主体必须要将它数学化，并且必须探究解决问题的策略（数学方法）。数学问题的设计是数学问题解决教学的基础。要使问题解决教学取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力；具有多种不同的解法或有多种可能的解答，即开放性；能推广或扩充到各种情形。[3]数学问题除了应具备以上特点，在设计时还要遵循以下原则。
1.可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。例如，在初中阶段，学生学习了圆的有关性质以后，可以设计一道关于找圆心的问题。给学生一张上面画有一个圆的纸，提出问题：我们怎样确定这个圆的圆心？学生通过实际操作，可以用许多不同的方法获得答案。其中用到的数学知识有“半圆上的圆周角是直角”的定理，“弦的垂直平分线通过圆心”的性质，等等。[2](185)在小学高年级，甚至在中学阶段，可以将“六角星”问题，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这些数填在六角星中各条线段的交点上，使每条线上四个数字之和都等于26”提供给学生进行探究。“六角星”问题是一个寓教于乐、数形结合的典型的开放性问题，并可进行不同的条件变化，得到许许多多不同的解。[4]
2.渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。如当学生观察下面这些等式：1?2?3?4+1=？，2?3?4?5+1=？，3?4?5?6+1=？，4?5?6?7+1=？时可以发现，它们分别等于5，11，19，29的平方。这时可以提出问题：“从这些等式中你能发现什么规律？”当学生通过探索发现并提出一种归纳猜想时，可以进一步提出证明猜想的问题。然后，再进一步让学生观察类似的问题：1?3?5?7+16=？，3?5?7?9+16=？，5?7?9?11+16=？，7?9?11?13+16=？……能不能提出类似的猜想？进而，从等差数列的角度，能否再提出几个类似的问题？最后，能否把上面这些问题的共同规律找出来？这样，根据由浅入深、由易到难、循序渐进的原则，依次提出问题，逐步展开问题的探究，不仅可以把学生的探究活动步步引向深入，而且还可以培养学生学习数学的兴趣。
3.应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。义务教育阶段的数学课程，特别强调学生用数学的意识的培养。“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”[2](5)例如，在学生已经掌握三角形中边角关系及平面上周角的有关知识后，可给出这样的问题：“有若干个城市，它们之间的距离彼此互不相等。如果从每个城市都起飞一架飞机到离该城市最近的城市降落。证明：每个城市降落的飞机都不超过五架。”这个问题可以通过构造平面几何模型，应用简单的几何知识得到解决。[5]
三、数学问题解决及其教学
如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。
1.分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。分析问题的步骤非常重要，万事开头难，只要攻破了这一关，学生就会信心倍增，就会以更高的热情投入到后面问题的探讨中去。在学生自主分析的同时，教师可在关键处给以必要的指导和点拨，以控制教学的进度，提高课堂教学效率。
2.建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。
3.求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
4.检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。
5.交流和评价。在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。在多数学生完成任务以后，可组织学生进行交流，然后对各种模型进行评价。学生通过交流、评价，进一步完善各自的模型，同时也达到互相学习、取长补短、共同提高的目的。
6.推广。如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。例如，在学生学习过二次函数求最大（小）值及等差数列的有关知识后，可设计这样一个实际问题：一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯不满意度是1，往上走一层楼梯不满意度是3。现在32人打算下到第1层且他们分别住在第2层至第33层的每一层。如果你是一名电梯管理员，请你确定将电梯停在哪一层可以使这32人的不满意度达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼。）
在解决此问题的基础上，可推到一般情形n层楼时。
数学问题解决教学是通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。[6]所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识的。
传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。在中小学数学课程中体现问题解决的思想，在课堂教学中采用问题解决的教学模式，为克服上述问题开辟了一条有效的途径。应当看到，在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其他学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其他学科的问题解决过程中。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，从而提高学生的综合素质和能力。
在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导和点拨。因此，在一些典型的数学问题解决教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集［M］.上海：华东师范大学出版社 ，1996.
[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.
[3]奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.
[4]于琛.数学问题的解决［M］.长春：东北师范大学出版社，2000.
[5]钱玲，邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.
[6]奥苏贝尔，等.教育心理学──认知观点［M］.佘星南，等，译.北京：人民教育出版社，1994.
（责任编辑：李冰）
Problem Solving and Teaching in Mathematics
LIU Yuan-zong
（Luoyang Normal University， Luoyang， Henan 471022，China）
Abstract:A mathematical problem is the problem concerned with mathematics， or the problem that can be solved using mathematical concepts， theories or methods. It originates with human's work， life， and their scientific and technological activities involved in understanding nature. The problems in problem-solving activities refer to the unusual and open-ended problems with inadequate prerequisites and indefinite answers. The problem-solving teaching can arouse students' thirst for knowledge by creating proper circumstances， and enable them to experience analyzing and solving problems personally， so it can cultivate students' mathematics consciousness， exploratory spirit and hands-on ability . Furthermore， attention must be paid to highly developing students' leading role and teachers' guiding role during teaching.
Key words:mathematical problem；designing tactics； mathematical problem-solving； teaching
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