在使用高中数学人教B版新教材中的思考与体会
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　　2006年秋季开始，辽宁省高中进入了新一轮课改，经过认真考察和筛选，沈阳市选用了人教B版作为数学教材。经过了一个学期的使用，大部分学校已经完成了必修1、2的教学任务。如何用好新教材呢？这是值得我们广大高中数学教师认真思考的问题。
一、教学过程中存在的问题
1．课时不足的问题
“内容多，课时少”是教师反映最强烈的问题，实施数学新课程教学中，教师普遍感到负担重，教学时间不够用。以下引用我区统计数据：
基本初等函数
空间几何体
点线面关系
直线与方程
从统计表中可以看出几乎所有实际的教学时间都超过了规定时间，很多学校都把周4课时调为周6课时，这个节数还不包括晚课和课外辅导的节数。课时紧张使教师参与研究《课标》和教材的精力不足，使课堂教学缺少学生参与教学活动的时间，为完成教学任务，教师仍然采用传统讲授法，学生仍然以听讲为主，使得教师想尝试改革的愿望都难以实现。据学生反映，上了高一后，学习难度大，学习负担过重，一个学期得学两本书，涵盖了高中阶段的几个难点问题（函数、立体几何、解析几何等），“内容多，学时少”，学生普遍感到学习起来比较吃力，感到数学学业负担重。因而在新教材改革时，应该充分考虑学生的接受能力，适当调整教学内容，留给学生思考、消化的时间。课时紧张的原因很多，可以说是课程改革诸多矛盾的一个集中爆发点。这里我谈一谈教师对教材编写中存在的困惑。
事实上，很多人开始使用新教材都感到不适应，这很正常，因为一是对老教材的一套讲法熟练，讲起来轻松，不需付出更多的思考和劳动；二是怕讲的少，知识点讲不到，学生掌握不好，影响考试成绩；三是对这种模块化的教材没有一个整体的把握，缺乏按新教学理念处理开发教材的能力。无论是教师还是学生都是以往教材的“臣民”，都习惯了以往教材的思想和模式。老是用原来的教材的观点和体系来对新教材品头论足，当然就感到新教材这也不好那也不是。应该用发展的眼光辩证地来看待新教材，换一个角度来审视新教材。
新教材既要体现循序渐进和螺旋式上升这一特点，就会使人产生一些知识体系不太完备，前后知识点不太衔接、相互脱节，一部分知识前面学过一点基本的，到后面再学稍高一点的时，前面的会产生遗忘，显得支离破碎，不利于系统地掌握知识。如果再能整合一下就更好了。现在我们国家的招生政策仍是一卷定成败，这是一个基本事实和前提。我认为在充实和改造必修1～5的同时，将选修系列结合考情，适当合并，适当删减，把全国考试说明中明确考察的选修4中的内容加到选修1、2中形成两个系列：理科倾向选修系列和文科倾向选修系列。这样，既能使出书和印刷好操作，也能使各学校避免订教材的困惑，同时也减轻学生订教材的经济负担，更适合我国高考试题的编拟。我国的高考和西方一些国家的考试制度上有很大的差别，国外很多学校是根据自己的专业设置和知识需求以及后继课程学习的需要，自主命题、自行选拔，可供选择的选拔题目卷类比较多，适合学生为报考某个高校自主选修的要求。另一方面，作为数学科学确实是一个庞大的系统，没有必要让学生在这么短暂的三年高中都一览无余，或让一部分学生在这方面发展到一定程度，让另一部分学生在另一方面发展到一定水平，造成同一学段的学子们在数学科上形成领域方面的太大的锯齿形差异。我们的高校教材也并不是一个比较完备的教材系统，不是结合高中学生所选修的课程对接编写的，很多课程在高中学了，到大学还要重新修习。从这个意义上说，可以减少不必要的重复和青春资源的浪费。为了让在某些方面有兴趣的和爱好的学生或学有余力的学生课外发展，可以把高考以外的选修内容再出一套课外选修教材（有的老师建议出版成光盘形式），这样不会泯灭他们的求知欲和个性发展，又避免了和国家高考形势相悖的缺陷。
中学数学是学生进一步学习的重要基础，是为今后各专业学习提供必备的数学知识、思想方法和解决问题的工具。因此，新教材增加了为继续学习打基础且具有广泛应用的算法初步、空间向量、概率统计、微积分初步知识等。再加上原有中学数学大部分内容，显然，新教材较原有中学数学教材份量大、内容多，但课时并没增加，这就产生了教材内容多与课时不足的矛盾。只有解决好这个矛盾，才能全面落实教学计划。可是，又如何在教学过程中恰当处理好内容增多与课时不足的矛盾呢？
首先，数学教师要切实掌握课堂教学设计。课堂教学设计是指通过精心设计的教学系统来更有效地完成教学任务，促进学习者的学习。课堂教学设计的基本内容包括：学习背景分析、学习需要分析、学习任务分析、学习者分析、学习目标的制定和评价、教学策略的制定、教学媒体的选择、教学评价等。简单地说，就是要回答以下三个问题：教什么和学什么；如何教和如何学；教的怎样和学的怎样。其实质依次是目标、策略、评价三方面的问题。
其次，要看一看现实情况，原有中学数学教材的选学内容一概不讲，必学内容也基本上在高中的前两年完成，从三年级开始，就进行复习，而且是两轮复习，最后还要进行一段集中“冲刺”。随着素质教育的进一步推行和大学升学压力的减轻，纠正这种不正常的教学安排，势在必行。这样就能赢得一年的数学课时。
第三，教师要认真学习新教材，掌握新教材，这样才能从总体上把握新教材，充分利用新教材各部分内容之间的互补作用，来节约课时。比如，求函数的极值、画函数的图像、研究函数的性质，是中学数学的重要内容之一，原来要花很多时间来教学和反复练习。现在新教材中引入了微积分，便可以得到统一的、程序化的处理方法，从而大大简化了内容，降低了难度。又如，引入了空间向量，使立体几何中角和距离的计算题有了统一的解法，难度将会大大降低。
2．初高中数学的衔接问题
在使用新教材教学的过程中，教师普遍反映学生“什么也不会”，这很大一部分是由于初高中数学的衔接问题造成的。
例如：用十字相乘法解一元二次方程、根与系数的关系等现在初中不讲，但在高中是经常用的；对数的内容，过去在初中，是一章的内容，现在放高中后，课时大大减少，很多学生对对数的概念和运算掌握的不好；二次函数在初中数学中进行了淡化处理，给高中数学的教学“制造”了许多麻烦；初中在二次根式化简时，淡化了分母有理化，而在高中用到分母有理化的习题又很多，学生很难接受；义务教育阶段的课标和教材中没有关于含有字母系数的方程的解法和公式变形等内容，进入高中后进行公式推导有困难；高中不讲圆柱和圆锥，只在初中讲，但学生学得不到位，连简单的应用问题都解决不了；初中只讲三角形的内心和外心，但在高考中却常常涉及到三角形的垂心、重心，特别是重心；射影定理初中深度不够，高中应用频繁；初中已删内角平分线，高中也有应用，特别是在解析几何中的应用；初中已删平行线的截割，但在高中`解析几何，立体几何中有应用；平面几何的严谨的公理化体系在义务教育阶段的课标和教材中中被削弱。等等。
此外，初、高中数学在教学方法上存在许多差别，初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，比较强调基本技能训练；高中数学的内容相对说来抽象性较强，比较强调对基本概念的理解基础上的再创造式的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力等的要求较高。学生对于高中数学的学习方法也需要一个适应过程，因此做好初、高中数学教学的过渡衔接不仅要考虑知识方面，而且要考虑如何调动学生积极思维，使他们尽快适应高中的学习内容和方法。
初高中衔接问题应该是全方位的。衔接至少应该考虑四个层面的衔接：知识基础的衔接、数学思维数学思想方法的衔接、学生学法指导的衔接以及初高中教师教法的衔接；即初高中知识体系必须形成平稳对接，初中数学教学必须强调学习方法的学习、强调学生自学能力的有效培养；高中起始年段的数学教学要低起点、迈小步，尽快让学生了解高中数学的学习特点；同时，对初高中数学的衔接要有足够的耐心，知识的衔接可以靠补课弥补，但数学的思维方法和思维习惯不是靠补课能够得到的，只能在后继的学习中不断地积累，不断地提升。
面对教学中存在的问题，一味的抱怨、等待都解决不了问题。面对现实的做法是加强衔接调研，针对本地教学状况提出相应的解决办法。如通过高初中骨干教师相互熟悉教材、相互听课、相互交流，找出初高中知识点、思想方法和思维能力的衔接点、需要补充的部分，分别由初高中教师寻找时机及时补充。另一方面，还可以研究模块开设顺序，解决高中数学自身的衔接问题。例如高中课标组建议采用必修一、必修二、必修三、必修四、必修五这样的顺序进行教学活动。他们提出，必修一是整个高中教材的基础，因为函数既是贯穿高中课程始终的内容，也是贯穿高中内容的基本数学思想；必修二是几何的内容，它的重点是培养学生空间想象能力、几何直观能力，这是学习数学的非常重要的思想，在学习每一部分数学内容的时候，都需要运用这样的思想；必修三包括算法，算法是帮助我们把所要解决的数学问题的逻辑关系清晰地表达出来，这也是一种学习数学的非常重要的习惯，所以在前三个必修模块的学习中，不仅学习知识，而且通过这些知识要养成良好的学习数学的习惯，掌握基本的数学思想，这对于后面的学习是重要的，基本的。但在实际教学中，一些学校并不认同上述安排，例如在有些课改实验区学校的课程方案是按以下三条线展开的，第一条线：数学1→数学4→数学5→选修2―2→选修4―5；第二条线：数学2→选修2―1→选修4―1→选修4―4；第三条线：数学3→选修2―3→选修4―2。实验省大部份学校的必修模块按照数学1→数学4→数学5→数学2→数学3的顺序开设。
3．书后习题的安排问题
以数学必修1为例，这本教材总体上是一本体现课改新理念、学生比较欢迎、大部分教师认可的教材。教师普遍认为书中习题题量适中，但难度及与教材的配套等方面有待改善：一是教材中练习题、复习题都很难，与课程标准要求脱离，特别是普通中学教师感觉在教学中压力较大，给教师和学生错误导向，以为练习题、复习题中高考题（或类似高考题）的难度就是课堂教学要达到的难度，给大量的粗枝滥造的所谓新课程教辅资料提供了市场。习题是数学教材的一个有机组成部分，我在下校调研过程中发现，许多学生不适应教材中习题的难度，主要表现在：① 习题与例题不配套，总体而言，例题容易，习题难，学完例题，有不少学生表示不会做课后的习题；② 教材某些知识内容没有相应的习题来巩固，而部分习题又用到一些没有学过的知识；例如在3.1.2后的练习与习题中都出现了求符合函数定义域的问题，能否在3.1.2的内容中增加一个求复合函数定义域的问题；③ 层次性不够，A组的题目有些比B、C组的还要难；例如必修1第100页习题3-1A 4（2）比较（），（），3大小一题，是否放在“幂函数”一节学完后再出现更好一些？④ 部分题目的解答需要运用信息技术（如计算机、计算器等），但很多学校或学生缺乏相关的设备。可见，习题的难度还有待调整；基础题、中等题、难题的编排次序还有待探讨；习题的选编既要贴近实际，又不要让数据太繁琐，照顾没有计算机（器）的学生；习题应该从多方面设置，让题目不仅与现在的知识有联系，还与过去或将来的知识有联系；可以考虑在教材附录中增加习题的参考答案与提示，特别是对一些较难的题目应提供某些提示，方便学生自我校对，及时反馈。
“找参考资料难，找一本能与新教材真正配套的参考资料更难!”，由于新教材是第一次使用，市面上的资料与新教材配套不够．调研发现，有不少学生反映，“教师有《教师教学参考用书》，为什么不给我们也配一本《学生学习参考用书》”。因而，建议教材编者在编写教材同时也可开发与教材相配套的资源，以更好的促进学生的数学学习。另一方面，可利用网络的优势和学生喜欢网络的特点，充分开发网络资源，除了在教材的相应地方提醒学生在某某网站查找资料外，还可以组织专家建设与教材配套的网站．让学生既可以很方便地找到自己所需要的材料，又可以通过网站的平台与同学、老师、专家进行网上交流，从而更好的达到信息技术与数学课程整合．
4．信息技术工具的使用问题
随着教育现代化的不断推进，现代电教媒体将以其独特的优势进入课堂，冲击着粉笔加黑板的传统教学手段。因此，与新教材相匹配的新大纲明确指出：积极创设条件，采用现代化教学手段指导教学。由于计算器已列为初中数学的选学内容，这就为高中用计算器处理复杂计算问题做好了铺垫。信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻影响。新课标和新教材都提倡尽可能使用科学计算器、计算机及软件，以及各种数学教育技术平台，希望学生能借助信息技术学习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。信息技术在数学学习中，特别是在解决一些繁琐计算，数形结合的问题，或者在探索某些开放性、挑战性问题时，可以大大减少研究中的工作量，结果更精确、直观。
为适应时代发展的需要，新教材不同程度地注意了信息技术与数学课程内容的整合，部分例题（如函数的应用、数学建模）、习题需要借助计算机（器）来解决。而有些内容也必须用计算器或计算机来解，如用二分法求方程的近似解。而从目前的情况来看，使用得较多的是科学计算器，其次是几何画板，Scilab语言的使用率并不高。主要原因是没有相关的设备或者教师不熟悉相关的操作，或者学生遇到某个数学问题时不知道用哪种工具来解决。事实上，好多中学还不具备这个条件或这方面的条件还较差，不可能都上机操作，很多家庭也没有电脑。很多学生编了程序也不知道对不对，根本无法上机操作验证。再者，程序编写中要求也没有详细说明，加“，”“；”或不加“，”“；”的地方或应该有空格的地方都没有给出相应的说明，有条件的学生把编好的程序拿到计算机上一操作不运行，反倒打击了他们的积极性。另外，常用的程序符号、命令（如乘号、乘方、开方、π、取绝对值、四舍五入、向上取整、向下取整等等）课本上都没有，或给出符号了却没有给出用法；再如Scilab语言中执行语句应该小写而不能大写等应该注意的地方课本上也没有给出说明或注释。而必修1教材71页最左边的“可结合课件1209研究客房问题”，可实际上课件讨论的是例4的内容，完全是张冠李戴。还有一些教师反映，和教材配套使用的课件修改起来很困难，若想按照自己的设计再加工几乎是不可行的，打击了教师再创造的热情。
可见，要实现信息技术与数学课程的整合，还有很长的路要走，我认为应该把这一块进一步完善一下。关于信息技术的应用，教师和学生普遍要求教材能对具体操作步骤更细致些。从现在的情况看，教师和学生使用信息技术情况离课程标准的要求还有比较大的差距。当然这与部分学校设备不足，或者没有充分利用好学校的现有资源，如电脑室，多媒体课室等也有直接关系。
5．一些值得商榷的问题
(1)不等式（一次不等式（组）、简单的二次不等式、绝对值不等式、分式不等式等）的内容在学习函数（如：求定义域和简单值域问题）的过程中有很重要的应用，必修1中2.3函数的应用例2还牵涉到不等式的放缩；能否在这些之前，把这一工具充实进去，对函数中求定义域和简单的值域问题，学生就容易接受。或者在一次函数、二次函数中插入简单不等式的知识也可以。
(2)必修1第2.1节函数中，函数的定义是为过渡到函数的映射定义搭桥的，是用对应来体现的，既然是对应，前面有集合A，后面是否应该出现集合B，我觉得不应该回避集合B，而且从教学的实际操作来看，学生也不好理解和接受。从逻辑角度来看，既然是对应，前面是“集合”中元素x ，后面就应该是某个“集合”中的一个量y与之对应，才合情合理。这利于学生理解，利于学生养成严密的逻辑思维表述。
(3)必修1第2.4节二分法的教学中，是否能在零点的概念给出后接着给出变号零点和不便号零点两种分类；最开始的闭区间分法是否能根据条件确定，可否适当说明；书中有变号零点求法，那么不变号零点求法是否也应该介绍一下呢？
(4)立体几何中有关平面的三个公理改为平面的三条性质是否合适。
(5)立体几何先让学生感知几何体再到理性认知，这一做法有它的优点，但也有其缺点，例如，在求柱锥台的体积时，高与底面的位置关系就体现得不充分，怎么垂直于底面，垂直于底面与垂直于底面内的线有何关系，学生理解起来就困难，也为后继课程的学习造成了一定的不严密性。
例如：已知：在正三棱锥P-ABC中，底边长为a，侧棱长为2a，求它的体积。
在求解过程中，设高为PO，PO⊥底面ABC，就直接默认PO⊥BD。究竟为什么？学生不清楚。
(6)异面直线的概念含糊不清。
(7)必修2中第2.3节圆与圆的位置关系一节 ，课标中是要求会判断两圆位置关系，教材中除了介绍几何法（即利用圆心距与两圆半径的关系）之外，还用大量的笔墨介绍了代数法（即坐标法，通过联立两圆方程组讨论解的个数），可使用这种坐标法并不能准确判断出两圆的位置关系，在求解的过程中还用到了不等式的知识，实际教学效果并不理想。如想让学生进一步体会用代数方法解决几何问题的思想，可否放在课后阅读中。
(8)高中数学新教材分别设立了“数学探究”、“数学建模”、“实习作业”等学习活动，让学生从中体验数学发现和创造的历程。但学生表示没有时间去做、自己长期以来动手能力差、探究活动的结论太明显（即没多少东西可探究的）、老师对探究活动不够重视等。可见，要想真正让学生融入到探究活动中去，还有待相关的各方的共同努力。
二、教材中成功之处
1．丰富的背景
数学的产生和发展始终与人类社会的生产、生活有着密切的联系，任何一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需求。高中数学新课标要求“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”，这在人教B版教材上也充分的得以体现。教材对概念的引入很注重强调它的现实背景、数学理论发展的背景，从而使学生自然、亲切的感受知识的发展过程，有利于学生认识数学的内容和思想，对培养学生的学习方法、学习能力以及用数学的意识都起到了很好的促进作用。大部分教师及学生认为教材重视数学知识的背景、来源，在用实例引入新知识点、展现知识的形成过程等方面体现得比较好。教材丰富的知识背景给教师的启发是很大的，面对教材中如此多的背景知识，对教师的再学习、再认识、再提高都起到了很好的推动作用。。
2．新教材力主体现知识的发生发展过程、促进学生的自主探索，体验数学家的探索过程，培养学生科学的发展观、科学的探索精神，这是非常好的设想，整个教材的编拟在这方面体现得也比较成功。
3．突出了应用
数学应用与数学知识学习是相互促进、相辅相成的，在数学教学中加强数学应用和联系实际，不仅仅有利于不断提高学生学习的兴趣，加强学生的应用意识，而且有利于学生的对数学的理解，提高学生的数学创造力。教科书在编排上努力开发数学应用的背景素材，通过解决具体的有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用、与生活及其他学科的联系，发展应用意识。提高实践能力。教科书紧紧的把握了课标的要求，并将具体要求很好的落实到了教材的实际内容当中，通过大量丰富有趣的实际问题的分析解决，进一步促进了学生学习数学、应用数学的积极性。
4．大部分师生喜欢“阅读材料”，认为它对数学学习有帮助
数学已成为人类文化的重要组成部分．高中数学课程标准提倡在数学课程中体现数学的文化价值，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。新教材中每章均按排了一至二个阅读材料，供学生课外阅读。内容涉及知识的延伸拓展、知识的应用、数学发展的一些故事等。新教材通过这种方式渗透数学的文化价值，“阅读材料”是一个很好的形式，在数学教材中适当穿插一些阅读材料，往往能引起学生更大的学习兴趣。当然，在什么地方，穿插什么样的材料还有待我们进一步的思考。
5．常用的数学思想方法在教材中逐步得到体现和展现。例如，待定系数法、函数与方程以及方程的近似解的求法──二分法的引进等。
6．“思考与讨论”以及“探索与研究”的给出，一方面给师生进行合作交流提供了很好的素材，另一方面是将研究性学习贯串到平时教学中去的好典范，又是调动学生学习兴趣的好素材。
7．会读数学教材，过去一直没有得到足够的重视，相当多的学生不会读数学书，只是把它当作公式定理本、习题集。这套教材在可读性上有很大改观，比较适合学生自学阅读
总而言之，数学教材的改革并非一朝一夕的事情．在教材的实验过程中遇到一些困难和问题是难免的，这需要数学教育工作者共同努力去解决。教师在使用教材的过程中，也需要注意教学方法的改进和教学手段的革新。大家都来关心与支持新教材的建设，为提高我国新世纪学生的数学素养贡献力量。
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高中数学新教材习题的比较
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高中数学新课标实验教材内容结构和使用情况若干比较.pdf58页
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综观中外数学课程改革，无不把教材改革摆在突出的位置．而教材的结构是
教材的命脉，只有深入了解教材的结构，才能对教材有深入的了解．随着高中数
学课程标准 实验 的颁布实施，我国当前出现五种版本的数学教材，并于2004
年9月在四省区 广东、山东、宁夏、海南 开始实验．本文以正在广东实验区
试验的三版 即由人民教育出版社A版、北京师范大学出版社、江苏教育出版
社出版的 教材为例，从教材的结构方面进行了比较研究．
本课题采用文献分析法、统计分析法、调查研究法、案例分析法等方法，以
上述三版本教材的《数学1》为载体，从以下方面进行了研究：
第一，从文本的角度，比较了三版教材的表层结构 以教材栏目、图表、习
题为例 和深层结构 知识要素、能力要素、情感态度要素 ，总结了它们各自
的特点及共同特点．
第二，深入到新教材实验区，对200多名教师和2500多名学生进行调查，
问卷主要包括问题设置、习题设置、数学知识的形成过程、数学的应用、数学文
化、信息技术的应用、学生学习方式、情感态度的变化、学习的负担、对教材的
满意程度等方面的内容，并对其中的部分师生进行了访谈．从实践层面了解师生
对新教材的看法．
最后，在文本比较和调查研究的基础上，笔者提出了新教材编写应注意的几
个问题： 1 注意趣味性与严谨性相结合； 2 统一要求与注意弹性相结合； 3
精简传统内容与增加近代内容相结合； 4 注意数学与人文精神相结合； 5 加
强数学内部联系与外部联系相结合； 6 新旧学习方式相结合： 7 提供必要的
指导与留有发挥的空间相结合： 8 注意
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高中数学试题
高中数学集合间的基本关系课后强化练习（附解析新人教A版必修1）
集合间的基本关系课后强化练习（附解析新人教A版必修1）
一、选择题
1．对于集合A，B，&A&B&不成立的含义是(　　)
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
[解析]　&A&B&成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2．若集合M＝{x|x＜6}，a＝35，则下列结论正确的是(　　)
A．{a}M& B．aM
C．{a}&M& D．a&M
[解析]　∵a＝35＜36＝6，
即a＜6，∴a&{x|x＜6}，
∴a&M，∴{a}M.
[点拨]　描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A＝{x|x＞1}＝B{y|y＞1}，但是集合M＝{x|y＝x2＋1，x&R}和N＝{y|y＝x2＋1，x&R}的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．
3．下列四个集合中，是空集的是(　　)
A．{0}& B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x&N|x2－1＝0}& D．{x|x＞4}
[解析]　选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.
4．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k&Z}，B＝{x|x＝2k－1，k&Z}，则集合A，B间的关系为(　　)
A．A＝B& B．AB
C．BA& D．以上都不对
[解析]　A、B中的元素显然都是奇数，A、B都是有所有等数构成的集合．故A＝B.选A.
[探究]　若在此题的基础上演变为k&N.又如何呢？答案选B你知道吗？
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a&R}，若集合A有且只有2个子集，则a的取值是(　　)
A．1& B．－1
C．0,1& D．－1,0,1
[解析]　∵集合A有且仅有2个子集，∴A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a&R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a&0时，&D＝22－4&a&a＝0，即a2＝1，∴a＝&1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝&1.
6．设集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{(x，y)}y＝x2}，则P，Q的关系是(　　)
A．P&Q& B．P&Q
C．P＝Q& D．以上都不对
[解析]　因为集合P、Q代表元素不同，集合P为数集，集合Q为点集，故选D.
二、填空题
7．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝&，则实数m的取值范围是________．
[答案]　m&1
[解析]　∵M＝&，∴2m&m＋1，∴m&1.
8．集合x，yy＝－x＋2，y＝12x＋2&{(x，y)}y＝3x＋b}，则b＝________.
[解析]　解方程组y＝－x＋2y＝12x＋2得x＝0y＝2
代入y＝3x＋b得b＝2.
9．设集合M＝{(x，y)}x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________．
[答案]　M＝P
[解析]　∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
10．判断下列表示是否正确：
(1)a&{a}；
(2){a}&{a，b}；
(3)&{－1,1}；
(4){0,1}＝{(0,1)}；
(5){x|x＝3n，n&Z}＝{x|x＝6n，n&Z}．
[解析]　(1)错误．a是集合{a}的元素，应表示为a&{a}．
(2)错误．集合{a}与{a，b}之间的关系应用&(&)&表示．
(3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．
(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}&{(0,1)}．
(5)错误．集合{x|x＝3n，n&Z}中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x|x＝6n，n&Z}中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x|x＝6n，n&Z}{x|x＝3n，n&Z}．
11．已知集合A＝{x|2a－2＜x&a＋2}，B＝{x|－2&x＜3}，且A&B，求实数a的取值范围．
[解析]　由已知A&B.
(1)当A＝&时，应有2a－2&a＋2&rAa&4.
(2)当A&&时，由A＝{x|2a－2＜x&a＋2}，B＝{x|－2&x＜3}，
得2a－2＜a＋22a－2&－2a＋2＜3&rAa＜4a&0&rA0&a＜1.a＜1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围是{a|0&a＜1，或a&4}．
12．设S是非空集合，且满足两个条件：①S&{1,2,3,4,5}；②若a&S，则6－a&S.那么满足条件的S有多少个？
[分析]　本题主要考查子集的有关问题，解决本题的关键是正确理解题意．非空集合S所满足的第一个条件：S是集合{1,2,3,4,5}的任何一个子集，第二个条件：若a&S，则6－a&S，即a和6－a都是S中的元素，且它们允许的取值范围都是1,2,3,4,5.
[解析]　用列举法表示出符合题意的全部S：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．共有7个．
[点评]　从本题可以看出，S中的元素在取值方面应满足的条件是：1,5同时选，2,4同时选，3单独选．
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