高一数学必修四第一章三角函数综合检测题（北师大版有答案）
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高一数学必修四第一章三角函数综合检测题（北师大版有答案）
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 综合检测(一)第一章　三角函数(时间120分钟，满分150分)一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3sin(x2－π4)，x∈R的最小正周期为(　　)A.π2　　　　　　　　　&B．πC．2π&D．4π【解析】　T＝2πω＝2π12＝4π.& 【答案】　D2．化简sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝(　　)A．2sin α&B．2cos αC．sin α＋cos α&D．0【解析】　sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.【答案】　D3．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图像的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则f(π4)的值是(　　)A．0&B．1C．－1& &D.π4【解析】　由题意知截得线段长为一周期，∴T＝π4，∴ω＝ππ4＝4，∴f(π4)＝tan (4×π4)＝0.【答案】　A4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为(　　)A.5π6& &B.2π3C.5π3& &D.11π6【解析】　∵sin 2π3&0，cos 2π3&0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.【答案】　D5．要得到函数y＝sin(4x－π3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像(　　)A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向右平移π12个单位长度【解析】　由于y＝sin(4x－π3)＝sin[4(x－π12)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移π12个单位长度，故选D.【答案】　D6．设函数f(x)＝sin(2x＋π3)，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的图像关于直线x＝π3对称B．f(x)的图像关于点(π4，0)对称C．把f(x)的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数【解析】　f(π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A错；f(π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B错；把f(x)的图像向左平移π12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．【答案】　C7．(;福建高考)函数f(x)＝sin(x－π4)的图像的一条对称轴是(　　)A．x＝π4&B．x＝π2C．x＝－π4&D．x＝－π2【解析】　法一　∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.法二　x＝π4时，y＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A；x＝π2时，y＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B；x＝－π4时，y＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－π2时，y＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D项也不正确．【答案】　C8．(;西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是(　　)& A．y＝sinx2&B．y＝sin xC．y＝－tan x&D．y＝－cos 2x【解析】　C、D中周期为π，A、B不满足T＝π.又y＝－tan x在(0，π2)为减函数，C错．y＝－cos 2x在(0，π2)为增函数．∴y＝－cos 2x满足条件．【答案】　D9．已知函数y＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)A．6&B．7C．8&D．9【解析】　T＝6，则5T4≤t，如图：∴t≥152，∴tmin＝8.&故选C.【答案】　C10．(;天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω&0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是(　　)A.13　　　　&B．1& C.53　　　&D．2【解析】　根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ω(x－π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω&0，故ω的最小值为2.【答案】　D二、题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.【解析】　15°＝π12，∴扇形的面积为S＝12r2•α＝12×62×π12＝3π2.【答案】　3π212．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.【解析】　原式＝－sin(180°－60°)•cos(3&#°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)•sin(－3×360°＋30°)＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°•sin 30°＝－32×(－32)＋12×12＝1.【答案】　113．(;江苏高考)函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期为________．【解析】　函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期T＝2π2＝π.【答案】　π&图114．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω&0)的图像如图所示，则ω＝________.【解析】　由图像可知，T＝4×(2π3－π3)＝4π3，∴ω＝2πT＝32.【答案】　3215．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对于任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中假命题的序号是________．【解析】　当φ＝2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin x是奇函数；当φ＝(2k＋1)π，k∈Z时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；当φ＝2kπ＋π2，k∈Z时，f(x)＝cos x或φ＝2kπ－π2，k∈Z时，f(x)＝－cos x都是偶函数．所以①和④是错误的，③是正确的．又因为φ无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④. 【答案】　①④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．(1)求：sin(π－x)－sin(π2＋x)的值；(2)写出角x的集合S.【解】　∵x的终边过点P(1，3)，∴r＝|OP|＝12＋ǡ2＝2.∴sin x＝32，cos x＝12.(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.(2)由sin x＝32，cos x＝12.若x∈[0,2π]，则x＝π3，由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋π3，k∈Z}. 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)求函数的对称中心．【解】　(1)由题意得A＝22－2＝2.由T4＝3π8－π8＝π4，∴周期为T＝π.∴ω＝2πT＝2ππ＝2，此时解析式为y＝2sin(2x＋φ)＋2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y＝2sin(2x＋π4)＋2.(2)由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得x＝kπ2－π8(k∈Z)．∴函数的对称中心为(kπ2－π8，2)(k∈Z)．18．(本小题满分12分)(;陕西高考)函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A&0，ω&0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．【解】　(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－π6)＋1.(2)∵f(α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0&α&π2，∴－π6&α－π6&π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b&0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；(2)判断(1)问中函数的奇偶性．【解】　(1)∵y＝a－bcos 3x，b&0，∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.∴函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，∴此函数的周期T＝2π3.当x＝2kπ3＋π6(k∈Z)时，函数取得最小值－2；当x＝2kπ3－π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，x∈R，∴－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A&0，ω&0，|φ|&π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．&图2(1)求函数f1(x)的表达式；(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移π4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．【解】　(1)由题意知T＝π＝2πω，∴ω＝2.将y＝Asin 2x的图像向左平移π12，得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋π6)，得A＝2.故f1(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－π4)＋π6]＝－2cos(2x＋π6)，xKb 1. Com&& ∴y＝f2(x)的最大值为2.当2x＋π6＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，ymax＝2，x的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．∵y＝cos x的减区间为x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，∴f2(x)＝－2cos (2x＋π6)的增区间为{x|2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z}，解得{x|kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z}，∴f2(x)＝－2cos(2x＋π6)的增区间为x∈[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.&图321．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，2π3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－π6对称，当x∈[－π6，2π3]时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A&0，ω&0，－π2&φ&π2)，其图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)在[－π，2π3]上的表达式；(2)求方程f(x)＝22的解．【解】　(1)由图像可知，A＝1，T4＝2π3－π6＝π2，∴T＝2π.∴ω＝2πT＝2π2π＝1.∵f(x)＝sin(x＋φ)过点(2π3，0)，∴2π3＋φ＝π.∴φ＝π3.∴f(x)＝sin(x＋π3)，x∈[－π6，2π3]．∵当－π≤x&－π6时，－π6≤－x－π3≤2π3，又∵函数y＝f(x)在区间[－π，2π3]上的图像关于直线x＝－π6对称，∴f(x)＝f(－x－π3)＝sin[(－x－π3)＋π3]＝sin(－x)＝－sin x，x∈[－π，－π6]．∴f(x)＝sinx＋π3，x∈[－π6，2π3]，－sin x，x∈[－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x＋π3≤π.由f(x)＝sin(x＋π3)＝22，得x＋π3＝π4或x＋π3＝3π4，∴x＝－π12或x＝5π12.当－π≤x&－π6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－π4或x＝－3π4.∴方程f(x)＝22的解为x＝－π12或5π12或－π4或－3π4. 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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