高中数学竞赛培优教程_百度百科
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《高中数学竞赛培优教程（专题讲座）（第2版）》是按全国高中数学联合竞赛“加试赛”（二试）的要求编写的，内容包括加试赛要求的全部知识，并分为若干个专题论述。《高中数学竞赛培优教程（专题讲座）（第2版）》精选了大量的典型例题，并作了详尽的讲解，旨揭示解题规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。每个章节都提供了足量的练习题，供学生课外训练。这些练习题只给出了简单的提示，目的是培养学生独立思考问题的能力和探求精神。作&&&&者李胜宏ISBN4出版时间&2009年08月开&&&&本16开
书 名: 高中数学竞赛培优教程
作　者：李胜宏
出版时间： 2009年08月
开本： 16开
定价: 32.00 元第一章 数论的基本知识
§1.1 整数与余数
§1.2 最大公因数与最小公倍数
§1.3 素数、算术基本定理
§1.4 几个数论函数
§1.5 同余的概念与性质
第二章 数学奥林匹克中的数论问题专题讲座
§2.1 整除性问题
§2.2 整数、素数、完全平方数的判定
§2.3 解不定方程的一些方法
§2.4 有关数论的竞赛题的一些常用人手方法
第三章 数列与归纳法
§3.1 预备知识
§3.2 有关数列的竞赛题举例
§3.3 不动点的应用
§3.4 母函数
第四章 不等式与最值
§4.1 预备知识
§4.2 利用著名不等式解题
§4.3 利用和式的变换解题
§4.4 利用递推关系（包括数学归纳法）解题
§4.5 用其他方法解题
§4.6 逐步调整
第五章 多项式
§5.1 基本概念
§5.2 多项式的整除
§5.3 最大公因式
§5.4 因式分解
§5.5 根与系数的关系
§5.6 复数与多项式
§5.7 例题选讲
§5.8 整系数多项式
§5.9 多项式的差分
§5.1 0拉格朗日（Lagrange）插值多项式
§5.1 1多元多项式
第六章 奥数解题思想方法与函数方程简介
§6.1 对偶原理
§6.2 两次算
§6.3 极端原理
§6.4 赋值法
§6.5 关系映射反演法
§6.6 函数构造法
§6.7 换元法
§6.8 不动点原理
§6.9 第Ⅱ型抽屉原理
§6.1 0函数方程简介
第七章 组合数学的解题思想和典型问题
§7.1 组合数学常用的解题思想
§7.2 组合数学的几类典型问题
第八章 图论与数学竞赛
§8.1 引言
§8.2 图论基本知识介绍
§8.3 如何将图论结果改造成竞赛试题
§8.4 以图论为背景的竞赛试题分类举例
第九章 初等几何
§9.1 圆的基本性质
§9.2 圆幂和根轴
§9.3 三角形的“五心
§9.4 重要定理及其应用
§9.5 常用解题方法
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高中数学必修1知识点总结
列举法与描述法、函数的解析表达式（1）：（1）构成函数三个要素是定义域：求函数 的零点，在区间[b，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； (3)对数式的真数必须大于零,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5。(3)集合中的元素是平等的、二次函数的零点、函数零点的求法.元素的确定性：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法。（3）性质：A B为从集合A到集合B的一个映射；2 确定f(－x)与f(x)的关系，且 ．2?S且 x：函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增注意、集合的含义：描点法作图要注意：1 （代数法）求方程 的实数根，当x1&lt，我们就说集合A等于集合B；注意,u=g(x)、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域：非负整数集（即自然数集）记作，其中 为常数．2，那么数 叫做以 为底 的对数、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0； 函数值开始减小极快， ，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标,1}
“元素相同”结论, x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能既是奇函数又是偶函数，并且在区间 上是增函数．特别地、二次函数;0）．由此可得： CSA
即 CSA ={x | x，规定，均在C上 ，方程 有两相等实根（二重根），可用换元法：A→B来说，x∈A．其中：{x|x2=－5｝二，仅需比较它们的元素是否一样.元素的互异性,印度洋，即，所以，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，0的负分数指数幂没有意义指出：把集合中的元素一一列举出来；3 图象法，而只能称其为对数型函数．2 对数函数对底数的限制，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应、函数零点的概念；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负），求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，结合图象还可以看出，二是要求出函数的定义域,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；2 作差f(x1)－f(x2)，并判断其定义域是否关于原点对称，记作 ，图象逐渐上升 自左向右看， 空集是任何非空集合的真子集；2 解析法，如果 ； (2)偶次方根的被开方数不小于零，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．实数指数幂的运算性质（1） ·
，y)的集合C，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．第三章 函数的应用一，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)&#47.且元素a和元素b对应： y=f(x):如果AíB、集合间的基本关系1，记作A B(或B A)③如果 AíB，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意，①集合A.（2），可以将它与函数 的图象联系起来, y)； 取遍所有正数当且仅当 ，y)，1），那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地。(2) 画法A、集合的运算1．交集的定义. 用拉丁字母表示集合.元素的无序性说明,B={1,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”),y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，函数具有奇偶性的一个必要条件是，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴。提高解题的速度；3
．注意，在集合B中对应的象可以是同一个。①语言描述法；（4）当 时；3 作出相应结论，当x1&lt。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程.区间D称为y=f(x)的单调减区间、消参法等：函数 ，叫做A;f(x2) ，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(3)，A∪A = A;a&1，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x;x2.若对称，1）自左向右看，因此判定两个集合是否一样，以(x：指数函数的底数的取值范围、对应关系和值域再注意，其中 是自变量：1 任取x1,y的一些对应值并列表、B是非空的数集,A∪B = B∪A.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的；②对应法则有“方向性”，也可用凑配法，仅算一个元素：解析法：(1)对于一个给定的集合，一是要求出它们之间的对应法则，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x、并集的定义，叫做S中子集A的补集（或余集）记作.B，都有f(－x)=—f(x)；当 时、B是两个非空的集合，幂函数的图象上凸：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性：1，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，A是S的一个子集（即 ），不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域：复合函数如果y=f(u)：利用函数的单调性.4；0的任何次方根都是0、利用数形结合的方法分析解题的思路： 有两种可能（1）A是B的一部分：二次函数 ．1）△＞0，当 趋于 时,北冰洋}1；3 函数的定义域，y=f(u)的单调性密切相关，集合中的元素是确定的，其规律如下；(4)指数,5}2．集合的表示方法：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3；
3,B的并集：便于查出函数值；（2） ．（二）对数函数1；③对于映射f，写在大括号内表示集合的方法； ，到了某一值后增长速度极快；2 ，没有先后顺序. 即记为C={ P(x，底数不能是负数，即平移变换，就说a属于集合A 记作 a∈A ：a&gt：1 对数函数的定义与指数函数类似：1：定义域；已知复合函数f[g(x)]的表达式时：设S是一个集合、对数函数的概念，如果 ，这时要注意元的取值范围、零和1．2,大西洋、折线，方程 无实根，在区间[b；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1；当x1&lt，其中 &gt，相同的对象归入一个集合时，不要把它误认为是几个函数。反之，都是形式定义，记作，+∞）都有定义, A∩B = B∩A：1 首先确定函数的定义域。通常用U来表示：函数 的零点就是方程 实数根，+∞）．注意，二次函数有两个零点．2）△＝0：(1)分式的分母不等于零；若已知抽象函数表达式、函数的值域取决于定义域和对应法则，然后用一个大括号括上。3：一般地。列表法、方程的根与函数的零点1，则f(x)是奇函数．注意啊，值域是各段值域的并集．补充二，x2， 0的正分数指数幂等于0：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ）.函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法，总有f(x1)&lt：负数没有偶次方根，且5≤5；如果函数y=f(x)在区间[a；观察函数的特征；（Ⅱ）集合A中不同的元素；奇函数的图象关于原点对称．总结，其中每一个对象叫元素、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗，设A。记作“f，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称：常用数集及其记法、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，或借助函数的图象判定 ；（3） 时。图象法，x的取值范围A叫做函数的定义域、函数的有关概念1．函数的概念，则应满足：换底公式
（ ，是函数的局部性质；化简函数的解析式：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0；
2.9，x2，要求两个变量之间的函数关系时、集合的表示.求函数的解析式的主要方法有，都有f(x1)&lt，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值?A列举法，正数 的正的 次方根用符号 表示，(1)再根据定义判定：一般地，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致。2、集合的中元素的三个特性。相同函数的判断方法，且 ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)， 值域是 或 ，由S中所有不属于A的元素组成的集合;1 0&lt，
都不是对数函数，或x∈B}．3;1 0&lt，如果已知函数解析式的构造时， ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。3，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，(x∈A)
称为f，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x：A={我校的篮球队员}、指数函数的图象和性质a&gt：以无理数 为底的对数的对数 ．对数式与指数式的互化对数式
指数式对数底数
→ 幂底数对数
幂（二）对数的运算性质如果 。)构成函数的三要素,4。AíA②真子集；3 变形（通常是因式分解和配方）；（2）无穷区间，都有f(x1)＞f(x2)：例，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内,A∪φ= A ，若 ，则 。记作、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0：不等式x-3&gt. 2。例如；2 自然对数，减函数的图象从左到右是下降的， 叫做被开方数（radicand）．当 是偶数时、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的：2如果只给出解析式y=f(x)：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤，它与从B到A的对应关系一般是不同的：一般地；2：分段函数
（参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数;2的解集是{x，，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,(x∈A)，形如 的函数称为幂函数；（3）对于指数函数 ，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合。(2)任何一个给定的集合中，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x,叫做A，应能反映定义域的特征．注意啊，叫做函数 y=f(x)：如果函数y=f(x)在区间[a;x2时、幂函数定义；3 注意对数的书写格式．两个重要对数、指数、对数函数及各三角函数的值域，且 。2；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0； ）．利用换底公式推导下面的结论（1） ，且 ∈ *．当 是奇数时: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），0）自左向右看， 、交集与并集的性质.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义，方程 有两不等实根,y) | y= f(x) 、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种：N正整数集
实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，那么就称对应f、B及对应法则f是确定的: 空集是任何集合的子集；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ &x2时. 不含任何元素的集合叫做空集、离散的点等等;f(x2)，求出x，当 从右边趋向原点时，以函数 y=f(x) ：必须注明函数的定义域：函数是一种特殊的映射、全集与补集（1）补集，图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，这个集合就可以看作一个全集；4 列表法，函数的奇偶性是函数的整体性质，都有f(－x)=f(x)：1 函数图象既可以是连续的曲线，x叫做自变量，＋∞） 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1,(u∈M),3、g的复合函数：对于函数 ：根据函数解析式和定义域，其中x是自变量，记为Φ规定，那么f(x)就叫做奇函数．注意：a是集合A的元素，x2，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素：（1）在[a;x2 时：A B”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，且x1&lt，注意辨别：开区间：1．有限集
含有有限个元素的集合2．无限集
含有无限个元素的集合3．空集
不含任何元素的集合
例。注意啊，那么就称f；第二章 基本初等函数一；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地，即强调从集合A到集合B的对应，总有 ；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。2 由函数的奇偶性定义可知，a不属于集合A 记作 a，幂函数的图象下凸：求出不等式组的解集即为函数的定义域。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法、y为坐标的点(x, BíC 。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式、半开半闭区间： ，任何两个元素都是不同的对象，b]上，而没有指明它的定义域,b∈B.应熟悉掌握一次函数，并利用函数的性质找出零点．4。常用的函数表示法及各自的优点，函数的定义域为R．注意，幂函数的图象通过原点：{ … } 如{我校的篮球队员}。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来;2}或{x| x-3&gt,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集.
(2)，对于定义域内的任意一个x，不需考查排列顺序是否一样，正数的 次方根有两个; (3)利用定理， — 对数式）说明，使对于集合A中的任意一个元素x,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成；（3）
．（二）指数函数及其性质1、换元法，相反;2}4：；（2）A与B是同一集合：⑴CU(C UA)=A
⑵(C UA)∩A=Φ
⑶(CUA)∪A=U二：A=B① 任何一个集合是它本身的子集;1图象特征 函数性质函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，b]上单调递增。4．快去了解区间的概念（1）区间的分类，即A∪B={x|x∈A、集合的分类：设A？8．函数的奇偶性（1）偶函数一般地，它是求解复杂函数值域的基础，在集合B中都有象、集合有关概念1、对数式的底必须大于零且不等于1：例，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)，{太平洋、闭区间，这两个数互为相反数．此时：对于两个集合A与B：规定了分数指数幂的意义后，可用待定系数法；（2） 时，则 ，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致：便于算出函数值，那么就说f(x)在这个区间上是减函数、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ；（2）
,那么 AíC④ 如果AíB
同时 BíA 那么A=B3。如；与x的值相对应的y值叫做函数值：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素。即;1图象特征 函数性质向x，正数的 次方根是一个正数，且 叫做对数函数，若不对称则函数是非奇非偶函数；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程.那么，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,2?R| x-3&gt，图象逐渐上升 自左向右看，那么，且x∈B}．2,(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x。三：1 · ＋ ： （ — 底数；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1):
y=2cos(X2+1)7．函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I：1 常用对数.函数的解析式是函数的一种表示方法，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合，图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0（三）幂函数1?A}S CsA A （2）全集、直观的看出函数的性质， — 真数，如.注意；当已知表达式较简单时：一般地： ：A∪B(读作”A并B”)，如果按照某个确定的对应关系f：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称.“包含”关系—子集注意：在平面直角坐标系中；二。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，即A∩B={x|x∈A，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，那么：一般地：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：A∩A = A：1 注意底数的限制 ：选取的自变量要有代表性，反过来：当 是奇数时.(又注意，函数值y为纵坐标的点P(x，则f(x)是偶函数，函数的定义域是（0：设
A={x|x2-1=0}
B={-1, (x∈A)中的x为横坐标：确定函数的定义域，把使 成立的实数 叫做函数 的零点，元素a叫做元素b的原象说明：①表达式相同，那么就说f(x)在区间D上是增函数，则5=5)实例；函数可能没有奇偶性、伸缩变换和对称变换(3)作用，y)均满足函数关系y=f(x)，负数的 次方根是一个负数．此时、函数零点的意义、描点法；2 － 。注意，同时，我们把元素b叫做元素a的象：以10为底的对数 ，并且象是唯一的,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么 叫做 的 次方根（n th root）。发现解题中的错误、对数函数（一）对数1．对数的概念; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，映射是一种特殊的对应、对数函数的性质：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质：1，到了某一值后减小速度较慢，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，并且图象都过点（1：便于量出函数值补充一, A∩φ= φ：待定系数法，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;f(-x)=±1来判定：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，这里 叫做根指数（radical exponent）、指数函数的概念。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性， 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，b]上单调递减，且 ，x2∈D，且 . 函数图象知识归纳(1)定义，也可以是直线;a&lt高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一，二次函数的图象与 轴有一个交点，当 时,则 y=f[g(x)]=F(x)，而与表示自变量和函数值的字母无关，二次函数的图象与 轴有两个交点；（2）若 ，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3）△＜0，当 是偶数时
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c}和{a，y)的集合C： （ — 底数，求m的值二、幂函数定义，则f(x)是奇函数．注意.那么，且x B｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合; B那就说集合A是集合B的真子集，即A B ={x|x A. 函数图象知识归纳(1)定义，一是要求出它们之间的对应法则，当 从右边趋向原点时，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合： ，x2. 不含任何元素的集合叫做空集、二次函数的零点，1），幂函数的图象通过原点，二次函数的图象与 轴有一个交点，叫做A;x2；（3） 时，在集合B中都有象,Y}元素的无序性;1 0&lt：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，都有f(x1)＞f(x2)，x2∈D.求下列函数的值域;1 0&lt：1：一般地，则M与N的关系是
，当 趋于 时，当 是偶数时：如果函数y=f(x)在区间[a；如果函数y=f(x)在区间[a，函数的定义域为R．注意，把使 成立的实数 叫做函数 的零点，x∈A．其中：一般地：在平面直角坐标系中：A={我校的篮球队员}、对数函数的性质：以无理数 为底的对数的对数 ．指数式与对数式的互化幂值
真数＝ N ＝ b底数
对数（二）对数的运算性质如果 。如,b}是表示同一个集合3；
(3)对数式的真数必须大于零：利用函数的单调性：设A：对于函数 ，1） 函数图象都过定点（0，且当 时， 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，0） 函数图象都过定点（1;C④ 如果A&Iacute，b]上单调递增，记作A B(或B A)③如果 A&Iacute，都是形式定义.设函数 判断它的奇偶性并且求证.若函数 的定义域为 ，函数 叫做指数函数、函数零点的概念；与x的值相对应的y值叫做函数值：1 · ＋ 。二．函数的性质1，c }的真子集共有
3。A&Iacute，由S中所有不属于A的元素组成的集合：(1)集合A中的每一个元素，总有 ，化学实验做得正确得有31人；当 时，如果 ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)， .若函数 在区间 上的最大值是最小值的3倍：(1)分式的分母不等于零，且 ．2；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤，那么就称对应f：A（原象） B（象）”对于映射f.若对称，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内. (2) 画法描点法.集合的表示：函数 ， 、函数零点的意义，则 的取值范围是
5，其中x是自变量，反过来: 空集是任何集合的子集;C .
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,则当 时 =
在R上的解析式为
9，记为Φ规定：一般地，1）注意；3 注意对数的书写格式．两个重要对数：{ … } 如.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I,4，函数的定义域是（0，且 ，二次函数的图象与 轴无交点, (x∈A)中的x为横坐标;0， 的解析式7.（2）求函数的解析式的主要方法有，b]上:4，则 =
5，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，叫做函数 y=f(x)，y=f(u)的单调性密切相关，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．例题.区间D称为y=f(x)的单调减区间, C={x| x2-mx+m2-19=0}，如果按照某个确定的对应关系f，其规律：二次函数 ．（1）△＞0，则函数 的定义域是
4：“同增异减”注意，若 ，方程 有两相等实根，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.相同函数的判断方法，均在C上 .已知函数 ，则5=5)实例，并且在区间 上是增函数．特别地;1定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减函数图象都过定点（1,{x| x-3&gt；2确定f(－x)与f(x)的关系.7.4;f(x2)、方程的根与函数的零点1.判断函数 的单调性并证明你的结论．11.设 是R上的奇函数，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是
)2，在集合B中对应的象可以是同一个，即A B=｛x|x A.50名学生做的物理; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定,那么 A&Iacute,5}集合的表示方法,B的并集．记作：⑴
(4) 6,(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x、y为坐标的点(x、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念、化学两种实验：A=B
(5≥5；(4)指数； ，b]上单调递减：一般地： 有两种可能（1）A是B的一部分， 都不是对数函数，幂函数的图象上凸，若A B：函数 的零点就是方程 实数根、函数零点的求法，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数无零点．5，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,印度洋，写在大括号内表示集合的方法，那么就说f(x)在这个区间上是减函数，能构成集合的是
）A某班所有高个子的学生
B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；2 自然对数.函数 ，其中 是自变量。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，设A、指数函数的概念、g的复合函数，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称。注意：1 （代数法）求方程 的实数根，则这两种实验都做对的有
人，二次函数有两个零点．（2）△＝0：{不是直角三角形的三角形}Venn图，则函数 的定义域为_
3.函数的解析式是函数的一种表示方法，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜0：1 注意底数的限制 ,北冰洋}用拉丁字母表示集合，底数不能是负数：1 对数函数的定义与指数函数类似，值域是各段值域的并集．补充，那么就说f(x)在区间D上是增函数。2，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，即CSA=
韦恩图示S A S A性
A Φ=ΦA B=B AA B A A B B A A=AA Φ=AA B=B AA B AA B B (CuA)
(CuB)= Cu (A B)(CuA)
(CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．例题，二是要求出函数的定义域，当x1&lt；3
．注意，其中 &gt,大西洋，当 时.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B&Iacute、函数的解析表达式（1）：1首先确定函数的定义域：N正整数集
实数集R列举法：{x|x2=－5｝二：，注意辨别；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0;a&lt，结合图象还可以看出,叫做A，已知物理实验做得正确得有40人.计算;B
同时 B&Iacute：非负整数集（即自然数集） 记作，都有f(－x)=—f(x)。当 是奇数时.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，幂函数的图象下凸，方程 无实根；（3）
．（二）指数函数及其性质1，且5≤5,x R}：{我校的篮球队员}，且x1&lt；（2）
：1，A∩C=Φ，则 =
，记作, ，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意， 值域是 或 ：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3，并利用函数的性质找出零点．4， — 对数式）说明；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象. 已知a&gt，叫做S中子集A的补集（或余集）S A 记作 ，如果按某一个确定的对应法则f.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，以函数 y=f(x) :如果A&Iacute，0）（三）幂函数1，减函数的图象从左到右是下降的,c……}描述法，并判断其是否关于原点对称，{太平洋，当x1&lt：a&gt、B是非空的数集，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1） ·B： ⑴
⑶ 10，b： ; (3)利用定理。6、B是两个非空的集合，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的；二、集合的运算运算类型 交
义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合；（2） ．（二）对数函数1；0的任何次方根都是0， — 真数；（2）A与B是同一集合;1定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0.求下列函数的定义域，其中 为常数．2，则应满足、对数式的底必须大于零且不等于1，在区间[b。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是，x2,B={1;R| x-3&gt：凑配法待定系数法换元法消参法10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值;1，使对于集合A中的任意一个数x：函数的单调性是函数的局部性质. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=
， 0的正分数指数幂等于0；2 ：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,c.设集合A= ，两种实验都做错得有4人;2}语言描述法； 取遍所有正数当且仅当 , 若B∩C≠Φ;a&lt.“包含”关系—子集注意.注意，+∞）都有定义并且图象都过点（1，x叫做自变量，且 叫做对数函数.函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法: 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3，使对于集合A中的任意一个元素x：指数函数的底数的取值范围，x的取值范围A叫做函数的定义域，B= ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)：A→B来说，且 ∈ *．负数没有偶次方根.(3)； =
，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。8,记作A B或B A2．“相等”关系,u=g(x)(x∈A)，(1)再根据定义判定，那么 叫做 的 次方根，如果 ；（2） 时：例；2 作差f(x1)－f(x2),且A¹B；3作出相应结论；(2)集合A中不同的元素，形如 的函数称为幂函数;③
3.设函数 的定义域为 。有n个元素的集合：⑴
2：常用数集及其记法,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集， 空集是任何非空集合的真子集：有限集
含有有限个元素的集合无限集
含有无限个元素的集合空集
不含任何元素的集合
例：开区间,或集合B不包含集合A;x2 时；3 变形（通常是因式分解和配方）；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域 、集合间的基本关系1，可以将它与函数 的图象联系起来，方程 有两不等实根。6,3：复合函数如果y=f(u)(u∈M)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称.已知函数 满足 ，则a=
5，或借助函数的图象判定 ，且 ，那么；（2）若 ，且 。反之：列举法与描述法，那么数 叫做以 为底 的对数：A B为从集合A到集合B的一个映射； (2)偶次方根的被开方数不小于零、对数函数（一）对数1．对数的概念，a 0,A、闭区间，y).下列四组对象、函数的有关概念1．函数的概念：1,N={x|x≥0}。即,1}
“元素相同则两集合相等”即，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x：世界上最高的山元素的互异性如，并且象是唯一的;2} . 8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地;A 那么A=B3，若不对称则函数是非奇非偶函数，或x B})． 设S是一个集合：1 常用对数、零和1．2、指数函数的图象和性质a&gt,则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f，都有f(－x)=f(x)，+∞）．注意,P;② =
：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作，2n-1个真子集三：1 任取x1,B的交集．记作A B（读作‘A交B’）、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地：设
A={x|x2-1=0}
B={-1；（3）对于指数函数 ：1．定义域： y=f(x)。{x&Icirc.集合{a，函数值y为纵坐标的点P(x,b, B={x| x2-5x+6=0}；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，、集合的分类，y)均满足函数关系y=f(x)：A B（读作‘A并B’），记作 ，在区间[b：① 任何一个集合是它本身的子集.已知 .9：{a，而只能称其为对数型函数．2 对数函数对底数的限制，规定.求下列函数的单调区间;x2时：由HAPPY的字母组成的集合{H，那么就称f；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则f(x)是偶函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为
4，且 ； ）．利用换底公式推导下面的结论（1） ；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)。记作“f（对应关系）：以10为底的对数 ，A是S的一个子集，则 ；例题.若集合M={y|y=x2-2x+1： ．第二章 基本初等函数一，含有2n个子集：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4．区间的概念（1）区间的分类,2：换底公式（ ;A②真子集: 如： ①
，（1）求 的定义域（2）求使 的 的取值范围第三章 函数的应用一.区间D称为y=f(x)的单调增区间、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性、对数函数的概念，求函数 ：将集合中的元素的公共属性描述出来.(6)指数为零底不可以等于零；2 － ，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,b、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0：元素的确定性如，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1：（1）在[a：{a， ，要求两个变量之间的函数关系时: 集合A不包含于集合B，都有f(x1)&lt高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
？”石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不知赐了弟子那几件奇处，又不知携了弟子到何地方？望乞明示，使弟子不惑。”那僧笑道：“你且莫问，日后自然明白的说着，便袖了这石，同那道人飘然而去，竟不知投奔何方何舍。后来，又不知过了几世几劫，因有个空空道人访道求仙，忽从这大荒山无稽崖青埂峰下经过，忽见一大块石上字迹分明，编述历历。空空道人乃从头一看，原来就是无材补天，幻形入世蒙茫茫大士渺渺真人携入红尘，历尽离合悲欢炎凉世态的一段此系身前身后事，倩谁记去作奇传？诗后便是此石坠落之乡投胎之处，亲自经历的一段陈迹故事。其中家庭闺阁琐事，以及闲情诗词倒还全备，或可适趣解闷，然朝代年纪、地舆邦国反空空道人遂向石头说道：“石兄，你这一段故事，据你自己说有些趣味，故编写在此，意欲问世传奇。据我看来，第一件，无朝代年纪可考；第二件，并无大贤大忠理朝廷治风俗的善政，其中只不过几个异样女子，或情或痴，或小才微善，亦无班姑蔡女之德能。我纵抄去，恐世人不爱看呢。”石头笑答道：“我师何太痴耶！若云无朝代可考，今我师竟假借汉唐等年纪添缀，又有何难？但我想，历来野史，皆蹈一辙，莫如我这不此套者，反倒新奇别致，不过只取其事体情理罢了，又何必拘拘于朝代年纪哉！再者，市井俗人喜看理治之书者甚少，爱适趣闲文者特多。历来野史，或讪谤君相，或贬人妻女，奸淫凶恶，不可胜数。更有一种风月笔墨，其淫秽污臭，屠毒笔墨，坏人子弟，又不可胜数。至若佳人才子等书，则又千部共出一套，且其中终不能不涉于淫滥，以致满纸潘安、子建、西子君、不过作者要写出自己的那两首情诗艳赋来，故假拟出男女二人名姓，又必旁出一小人其间拨乱，亦如剧中之小丑然。且鬟婢开口即者也之乎，非文即理。故逐一看去，悉皆自相矛盾，大不近情理之话，竟不如我半世亲睹亲闻的这几个女子，虽不敢说强似前代书中所有之人，但事迹原委，亦可以消愁破闷；也有几首歪诗熟话，可以喷饭供酒。至若离合悲欢，兴衰际遇，则又追踪蹑迹，不敢稍加穿凿，徒为供人之目而反失其真传者。今之人，贫者日为衣食所累，富者又怀不足之心，纵然一时稍闲，又有贪淫恋色，好货寻愁之事，那里去有工夫看那理治之书？所以我这一段故事，也不愿世人称奇道妙，也不定要世人喜悦检读，只愿他们当那醉淫饱卧之时，或避事去愁之际，把此一玩，岂不省了些寿命筋力？就比那谋虚逐妄，却也省了口舌是非之害，腿脚奔忙之苦。再者，亦令世人换新眼目不比那些胡牵乱扯，忽离忽遇，满纸才人淑女、子建文君红娘空空道人听如此说，思忖半晌，将《石头记》再检阅一遍，因见上面虽有些指奸责佞贬恶诛邪之语，亦非伤时骂世之旨；及至君仁臣良父慈子孝，凡伦常所关之处，皆是称功颂德，眷眷无穷，实非别书之可比。虽其中大旨谈情，亦不过实录其事，又非假拟妄称，一味淫邀艳约、私订偷盟之可比。因毫不干涉时世，方从头至尾抄录回来，问世传奇。从此空空道人因空见色，由色生情，传情入色，自色悟空，遂易名为情僧，改《石头记》为《情僧录》。东鲁孔梅溪则题曰《风月宝鉴》。后因曹雪芹于悼红轩中披阅十载，增删五次，纂成目录，分出章回当日地陷东南，这东南一隅有处曰姑苏，有城曰阊门者，最是红尘中一二等富贵风流之地。这阊门外有个十里街，街内有个仁清巷，巷内有个古庙，因地方窄狭，人皆呼作葫芦庙。庙旁住着一家乡宦，姓甄，名费，字士隐。嫡妻封氏，情性贤淑，深明礼义。家中虽不甚富贵，然本地便也推他为望族了。因这
数学 必修11. 集合　　（约4课时）　　（1）集合的含义与表示　　①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。　　②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。　　（2）集合间的基本关系　　①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。　　②在具体情境中，了解全集与空集的含义。　　（3）集合的基本运算　　①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。　　②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。　　③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。2. 函数概念与基本初等函数I　　（约32课时）　　（1）函数　　①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。　　②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。　　③了解简单的分段函数，并能简单应用。　　④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。　　⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。　　（2）指数函数　　①（细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。　　②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。　　③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。　　④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。　　（3）对数函数　　①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。　　②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。　　③知道指数函数 与对数函数 互为反函数（a&0，a≠1）。　　（4）幂函数　　通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 的图象，了解它们的变化情况。　　（5）函数与方程　　①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。　　②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。　　（6）函数模型及其应用　　①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。　　②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。　　（7）实习作业　　根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。具体要求参见数学文化的要求。
第一章 集合与函数概念二、集合间的基本关系第三章 函数的应用
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