小学数学公式大全之基础知识和基本概念19-第2页
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小学数学公式大全之基础知识和基本概念19-2
它们的公倍数是60，120，180，等等在这些公；如何求最小公倍数；1.分解质因数法；首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所；比如求45和30的最小公倍数；45=3*3*5；30=2*3*5；不同的质因数是2,3,5；最小公倍数等于2*3*3*5=90；又如计算36和270的最小公倍数；36=2*2*3*3；270=2*3*3*3*5；不同的质因数
它们的公倍数是60，120，180，等等 在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数，就是60。如何求最小公倍数1.分解质因数法首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。比如求45和30的最小公倍数。45=3*3*530=2*3*5不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.最小公倍数等于2*3*3*5=90又如计算36和270的最小公倍数36=2*2*3*3270=2*3*3*3*5不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=5402.倍数关系如果较大数是较小数的倍数，较大数就是它们的最小公倍数。 什么叫互质数？定义及定理：【对于两个数来看 】 公因数只有1的两个数，叫做互质数。【对于多个数来看（教材定义）】 若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。
表达及运用注意（1）这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。（2）“公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。”（3）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 两个正整数（N）,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2判定互质数的方法汇总直接分辨（1）两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。（2）相邻的两个自然数是互质数。例如 15与 16。（3）相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。（4）大数是质数的两个数是互质数。例如97与88。（5）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。（6）2和任何奇数是互质数。例如2和87。（7）1和任何自然数（0除外）都是互质数。 计算判定法（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。
85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221462÷221=2……20，20=2×2×5。2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。（4）减除法。如255与182。255－182=73，观察知 73&182。182－（73×2）=36，显然 36&73。73－（36×2）=1，（255，182）=1。所以这两个数是互质数。 什么叫通分？基本定义一：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数，叫做通分。基本定义二：把甲数与乙数之比、乙数与丙数之比，这两个不同的比，化成甲与乙与丙之比，也叫做通分。通分方法1. 求出原来几个分数的分母的最小公倍数2. 根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数通分举例①通分 1/3 和 1/4解：3和4的最小公倍数为121/3 = 4/121/4 = 3/12则通分结果为 4/12 和 3/12②比较 7/9 和 8/11 的大小解：7/9 = 7×11 / 9×11 = 77/998/11 = 8×9 / 11×9 = 72/99∵ 77/99 & 72/99∴ 7/9 & 8/11③ 甲：乙=2：5=8：20乙：丙=4：7=20：35甲：乙：丙=8：20：35 什么叫约分？意义：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分（reduction of a fraction）。 （即把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫约分。）最简分数：分子、分母是互质数（分母不是1）的分数，叫做最简分数(又叫既约分数）。
注意：约分时尽量用口算，一般用分子和把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分.分母的公约数(1除外） 去除分数的分子和分母；通常要除到得出最简分数为止。 （除过的数均划掉，如本例中的6、12、30、15）约分是一定要注意要找它的公约数，也就是分子和分母的公约数，不能只把分母化简或者分子化简，双数的公约数肯定有2，所以你可以先除以2，在慢慢除，然后将你所有除的数加起来就是他们的最大公约数。把分数化成最简分数的过程就叫约分。 什么叫偶数？定义：整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。特别提示：偶数包括正偶数、负偶数和0.偶数=2n ，奇数=2n+1（或-1），这里n是整数。所有整数不是奇数（又称单数），就是偶数（又称双数）。若某数是2的倍数，它就是偶数,可表示为2n（n为整数）；若非，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数），即奇数除以二的余数是一。在十进制里，可以用看个位数的方式判定该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数是奇数；个位为0,2,4,6,8的数是偶数。0是一个特殊的偶数。小学规定0为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0就不是最小的偶数了.50以内且大于等于0的偶数0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50 总共26个。奇数偶数的性质（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数跟奇数和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）除2外所有的正偶数均为合数；（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。（6）奇数的积是奇数；偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数；(7) 偶数的个位上一定是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9。
偶数也叫双数，用2n表示，n为整数。如2 、4 、6 、8 、10 、12 、14 、16 、18 、20... ...偶数其实就是2的倍数，及2乘几的倍数。 另外，0也是偶数（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数）。
-2 ，-4 ，-6 ，-8 ，-10， -12 ，-14 ，-16 ，-18 ，-20... ...为负偶数两个偶数的和或差仍是偶数两个奇数的和或差也是偶数奇数和偶数的和或差是奇数单数个奇数的和是奇数双数个奇数的和是偶数几个偶数的和仍是偶数奇数与奇数的积是奇数偶数与整数的积是偶数任何一个奇数都不等于任何一个偶数若干个奇数的连乘积永远是奇数若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘积必然是偶数偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1即：奇数和偶数加、减或乘时的规律：偶±奇=奇 奇±奇=偶 偶±偶=偶 奇×奇=奇 偶×奇=偶 偶×偶=偶上述性质可通过对奇数和偶数的代数式进行相应运算得出如证明；两个奇数的和或差为偶数可令两奇数k1 k2则k1=2n1-1 k2=2n2-1k1+k2=（2n1-1）+（2n2-1）=2（n1+n2-1）将括号内多项式整体看做一个式子则原命题可得证 什么叫奇数？奇数（英文：odd）数学术语，整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数。奇数包括正奇数、负奇数。奇数和偶数的性质（1）两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。（2）奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数。
补：奇偶性相同的两数之和为偶数；奇偶性不同的两数之和为奇数。（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数。（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数，即：A*B*C*…*偶数*X*Y=偶数，式中A、B、C、…X、Y皆为整数，公式可简化为：奇数*偶数=偶数。(6) 奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8.（0是个特殊的偶数。2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。小学规定0为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0就不是最小的偶数了.）（7）奇数的平方除以8余1奇数就是单数，人们在日常生活中把单数叫做奇数。如：正奇数：1、3、5、7、9.........奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数负奇数：-1、-3、-5、-7、-9.........什么叫质数？质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。质数的分布质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。例如 2、3、5、7、17、101、401、601、701都是质数，但与这些数类似的301（=7×43）和901（=17×53）却是合数。
如何简单的找出一些质数例如，我想要找出100以内的质数，不借助他人，我怎么办呢？利用筛法，我可以将100以内的整数写在纸上，划掉0,1留下2，划掉所有2的倍数，再划掉3的倍数，留下3，一直往后，到7（11*11&100），就可以找出来了。当然，要的数越多，需要划掉x的倍数就越多。质数的判断：1：只能被1和本身整除。2：不能被小于它的平方根的所有素数整除就是素数。什么叫合数？包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、中学教育、生活休闲娱乐、小学数学公式大全之基础知识和基本概念19等内容。　
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初等数论二-夏子厚
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'''哥德巴赫猜想'''是[[數論]]中存在最久的[[未解決的數學問題|未解問題]]之一。其陳述為：
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: '''任一大於2的[[偶數]]，都可表示成兩個[[質數]]之和'''。
{{他用|subject=数学中的哥德巴赫猜想|other=[[徐迟]]的报告文学|哥德巴赫猜想 (报告文学)}}
將一給定的偶數表示成兩個質數之和被稱之為此數的'''哥德巴赫[[整數分拆|分割]]'''。例如，
[[File:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 28 300px.png|right|thumb|300px|将一个偶数用两个质数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。]]
&div style="-moz-column-count:2; column-count:2;"&
'''哥德巴赫猜想'''是[[数论|數論]]中存在最久的[[未解決的數學問題|未解問題]]之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人[[克里斯蒂安·哥德巴赫]]与瑞士数学家[[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·欧拉]]的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陳述為：
: {{cquote|'''任一大於2的[[偶數]]，都可表示成兩個[[素数|質數]]之和'''。}}
这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的[[整数分拆问题]]有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个[[平方数|完全平方数]]之和，或者若干个[[立方數|完全立方数]]的和，等等。而將一个給定的偶數分拆成兩個質數之和，则被稱之為此數的'''哥德巴赫[[整數分拆|分拆]]'''。例如，
:10 = 3 + 7 = 5 + 5
&div style="column-count: 2;"&
:12 = 5 + 7
: 4 = 2 + 2
:14 = 3 + 11 = 7 + 7
: 6 = 3 + 3
: 8 = 3 + 5
: 10 = 3 + 7 = 5 + 5
: 12 = 5 + 7
: 14 = 3 + 11 = 7 + 7
換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是'''哥德巴赫數'''－可表示成兩個質數之和的數。&ref&{{MathWorld|title=Goldbach Number|urlname=GoldbachNumber}}&/ref&另有對奇數的相似猜想，稱之為[[李維猜想]]。
換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是'''哥德巴赫數'''——可表示成兩個質數之和的數&ref&{{MathWorld|title=Goldbach Number|urlname=GoldbachNumber}}&/ref&。哥德巴赫猜想也是二十世纪初[[希爾伯特第八問題]]中的一個子問題。
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是[[陈景润]]在1973年发表的[[陈氏定理]]（也被称为“1+2”）。
[[1742年]][[6月7日]]，[[普鲁士]][[数学家]][[克里斯蒂安·哥德巴赫]]写信给[[瑞士]]数学家[[莱昂哈德·欧拉]]&ref&[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf]&/ref&，提出了以下的[[猜想]]：
哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为[[弱哥德巴赫猜想]]）是声称大于5的奇数都可以表示成三个质数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，[[苏联]]數學家[[伊万·维诺格拉多夫]]证明了每个充分大的奇数，都可以表示成三个质数之和，基本证明了弱哥德巴赫猜想。
== 起源 ==
[[File:Letter Goldbach-Euler.jpg|thumb|right|250px|哥德巴赫信件的手稿，原文用德文和拉丁文写成。]]
日，[[普魯士|普鲁士]][[数学家]][[克里斯蒂安·哥德巴赫]]在写给[[瑞士]]数学家[[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·欧拉]]的通信中&ref&[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf
www.math.dartmouth.edu，手稿影印本，1742，第43号信件]&/ref&，提出了以下的[[猜想]]：
:任一大于2的[[整数]]都可以寫成三个[[質数]]之和。
:任一大于2的[[整数]]都可以寫成三个[[質数]]之和。
上述与现今的陳述有所出入，原因是当时的哥德巴赫认为1也是素数，但今天的数学界认为不是。哥德巴赫原初猜想的现代陳述为：
上述与现今的陳述有所出入，原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陳述为：
: '''任一大于5的整数都可寫成三个質数之和。'''
: '''任一大于5的整数都可寫成三个質数之和。'''
欧拉在回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本：
欧拉在6月30日的回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本：
: '''任一大于2的[[偶数]]都可寫成两个質数之和。'''並將此一猜想視為一定理（''ein ganz gewisses Theorema''），儘管他無法證明此一猜想。
:&math&(A):&/math& '''任一大于2的[[奇數和偶數|偶数]]都可寫成两个質数之和。'''
並將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明&ref&[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0766.pdf
www.math.dartmouth.edu，手稿影印本，1742，第44号信件]，第135页倒数第5-8行.&/ref&&ref name="ppy"&{{cite book | title =《哥德巴赫猜想》第一版 |author = 潘承洞，潘承彪 | publisher = 科学出版社| year = 1981}}，引言&/ref&。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為「強」或「二重」哥德巴赫猜想，以和其較弱的推論相區分。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
強哥德巴赫猜想可推出「'''任一大於7的奇數都可寫成三個"單數質數"之和'''」的猜想，後者稱為[[弱哥德巴赫猜想|「弱」或「三重」哥德巴赫猜想]]。這兩個猜想至今依然未解，不過弱猜想顯示出比強猜想要來得接近答案。若強哥德巴赫猜想是對的，則弱哥德巴赫猜想也會是對的。
:&math&(B):&/math& '''任一大於5的奇數都可寫成三個質數之和'''
的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是對的，則关于奇数的哥德巴赫猜想也會是對的&ref name="ppy"/&。1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉多夫定理”或“三素数定理”&ref name="ppy"/&。2013年，秘魯数学家[[哈洛德·賀歐夫各特]]等人将维诺格拉多夫的结论进一步加强，并验证了较小的奇质数的情况，宣称完全证明了弱哥德巴赫猜想。&ref name="major"/&&ref name="minor"/&
目前，没有任何人对哥德巴赫猜想有实质性贡献。1986年9月，王元院士在南开大学的讲话中说“1+1”与“1+2”不是一回事。（参见世界数学名题欣赏从书《希尔伯特第十问题》188页，辽宁教育出版社1987年）日[[王元 (院士)|王元]]在中央电视台《东方之子》节目中说，哥德巴猜想仅指1+1。
== 進展 ==
中国陈景润以哥德巴赫猜想名义获得国家自然科学一等奖受到质疑。
=== 一百六十余年的沉寂 ===
1999年3期《中华传奇》：
哥德巴赫猜想相當困難。直至今日，数学家对于强哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。事实上，从1742年这个猜想正式出现，到二十世纪初期，在超过160年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做一些进一步的猜测&ref name="wangyuan1"&{{cite book | title =''The Goldbach Conjecture''
| author =王元 | year =2002年12月 | publisher = World Scientific Publishing Company 第2版 | isbn =978-
}}第1页&/ref&。1900年，[[大卫·希尔伯特|希尔伯特]]在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个[[希尔伯特的23个问题|希尔伯特问题]]之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的[[孪生素数猜想]]&ref name="wangyuan1"/&。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912年第五届国际数际数学家大会上，德国数论专家[[爱德蒙·朗道]]曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成''K''个质数的和，不管''K''是多少，都是数学家力所不及的。1921年，英国数学家[[戈弗雷·哈罗德·哈代]]曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”&ref name="wangyuan1"/&。
　　一、陈景润证明的不是哥德巴赫猜想 　　陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第118页（辽宁教育出版社）写道：陈景润定理的“1+2”结果，通俗地讲是指：对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立：
=== 第一次重大突破 ===
哈代和朗道做出以上的看法时，对哥德巴赫猜想的研究已经踏在了突破的门槛上。关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出现在二十世纪20年代&ref name="wangyuan2"&{{cite book | title =''The Goldbach Conjecture''
| author =王元 | year =2002年12月 | publisher = World Scientific Publishing Company 第2版 | isbn =978-
}}第2页&/ref&。这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。[[萊昂哈德·歐拉|欧拉]]、[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]、[[波恩哈德·黎曼|黎曼]]、[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷|狄利克雷]]、[[雅克·阿达马|阿达马]]等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础&ref name="wangyuan2"/&。1920年左右，英国数学家哈代和[[约翰·伊登斯尔·利特尔伍德]]极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设[[广义黎曼猜想]]成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和&ref name="wangyuan2"/&&ref name="hl3"&{{cite journal | title =''Some Problems of Partitio Numerorum (III): On the expression of a number as a sum of primes''
| author =Hardy, G. H. and Littlewood, J. E.
| volume=44 | year =1923年 | journal =Acta Mathematica | pages=1-70页}}&/ref&。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。
“ 　　N=P'+P" (A)
大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的质因数个数都不超过9个&ref name="wangyuan2"/&。这个方法的思路是：如果能将其中的“9个”缩减到“1个”，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”，以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。
　N=P1+P2*P3 (B)
　当然并不排除(A)(B)同时成立的情形，例如62=43+19，62=7+5X11。”
　众所周知，哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数（A)式成立，【1+2】是指对于大于10的偶数（B)式成立， 　　两者是不同的两个命题，陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈，并在申报奖项时偷换了概念（命题），陈景润也没有证明【1+2】，因为【1+2】比【1+1】难得多。
　　注意：在逻辑上，一个理证如果是正确的，就不允许有反面的困难，凡是差异的事物，都是可以区别的，可以分离的，也就是说，证明一个观点，是不允许“渗透”的，两个物体组合成为一个物体，只能理解一个物体被消灭了，一个被保存了。“1+2”就是1+2，不能说1+2包含了1+1.
==== 圆法 ====
:&div class="noprint" style="font-size:small"&注意：以下数学公式中的符号&math&\scriptstyle p, \, p_1, \, p_2, \cdots&/math&等都表示质数。&/div&
从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了[[堆垒素数论]]中一个新的分析方法&ref name="ppy"/&。这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家[[拉马努金|拉玛努贾]]合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现&ref name="wangyuan3"&{{cite book| title =''The Goldbach Conjecture''
| author =王元 | year =2002年12月 | publisher = World Scientific Publishing Company 第2版 | isbn =978-
}}第3页&/ref&。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数&math&m&/math&，沿着[[单位圆]]为路径的[[曲线积分|环路积分]]
:&math&\begin{align}
\int_0^1 e^{2\pi i m t} \mathrm{d} t = 0.
\end{align}
当且只当整数&math&m=0&/math&的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑积分式：
:&math&D(N) = \int_0^1 S^2(t,N)e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t.&/math&
其中&math&S(t,N) = \sum_{2 & p \le N}e^{ 2\pi i p t}&/math&，那么这个积分式实际上等于：
　　二、陈景润使用了错误的推理形式 　　陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”：或者A，或者B，A，所以或者A或B，或A与B同时成立。 这是一种错误的推理形式，模棱两可，牵强附会，言之无物，什么也没有肯定，正如算命先生那样“：李大嫂分娩，或者生男孩，或者生女孩，或者同时生男又生女（多胎）”。无论如何都是对的，这种判断在认识论上称为不可证伪，而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式：或者A，或者B，非A，所以B。相容选言推理有两条规则：1，否认一部分选言肢，就必须肯定另一部分选言肢；2，肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱，缺乏基本的逻辑训练。
\begin{align}
D(N) &= \int_0^1 \sum_{2 & p_1, p_2 \leqslant N}e^{ 2\pi i (p_1 + p_2) t} e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t \quad =\sum_{2 & p_1, p_2 \leqslant N} \int_0^1
e^{ 2\pi i (p_1 + p_2) t} e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t \\
　三、陈景润大量使用错误概念 　　陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是：精确性，专义性，稳定性，系统性，可检验性。而“充分大”，陈指10的50万次方，这是不可检验的数。殆素数是说很像素数，小孩子的游戏。 　
&= \sum_{ {2 & p_1, p_2 \leqslant N
\atop { p_1+p_2 = N }} } \int_0^1 e^{ 2\pi i (p_1 + p_2 - N) t} \mathrm{d} t \quad + \sum_{ {2 & p_1, p_2 \leqslant N
\atop { p_1+p_2 \neq N }} } \int_0^1 e^{ 2\pi i (p_1 + p_2 - N) t} \mathrm{d} t \\
&= \operatorname{Card} \{ ( p_1, p_2 ) \, \, | 2 & p_1, p_2 \leqslant N,\,
p_1+p_2 = N \} \quad + \sum_{ {2 & p_1, p_2 \leqslant N
\atop { p_1+p_2 \neq N }} } \int_0^1 e^{ 2\pi i (p_1 + p_2 - N) t} \mathrm{d} t
\end{align}
上式中第二项等于0，所以
　四、陈景润的结论不能算定理 　　陈的结论采用的是特称（某些，一些），即某些N是(A)，某些N是（B)，就不能算定理，因为所有严格的科学的定理，定律都是以全称（所有，一切，全部，每个）命题形式表现出来，一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系，适用于一种无穷大的类，它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论，连概念都算不上。
:&math&D(N) =&/math&方程“&math&p_1+p_2 = N&/math&”的解&math&( p_1, p_2 )&/math&的个数。
所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数&math&N&/math&，单位圆上的环路积分式&math&D(N) & 0&/math&。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：
　五、陈景润的工作严重违背认识规律 　　在没有找到素数普遍公式之前，哥氏猜想是无法解决的，正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清，事物质的规定性决定量的规定性。（哥德巴赫猜想传奇）王晓明1999，3期《中华传奇》责任编辑陶慧洁）。
:&math&T(N) = \int_0^1 S^3(t,N)e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t & 0&/math&
==参考资料==
因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式&math&D(N)&/math& 和 &math&T(N)&/math& 中以质数为变数的[[三角多项式]]&math&e^{2\pi i p t}&/math&。哈代和利特尔伍德猜测，当变量&math&t&/math&接近于分母“比较小”的[[分數|既约分数]]时，&math&S(t,N) &/math&的值会“比较大”，而当&math&t&/math&接近于分母“比较大”的既约分数时，&math&S(t,N) &/math&的值会“比较小”。也就是说，积分&math&D(N)&/math&的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（{{lang|en|major arc}}，与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（{{lang|en|minor arc}}）。将整个积分 &math&D(N)&/math& 分成优弧上的积分&math&D_1(N)&/math& 与劣弧上积分 &math&D_2(N)&/math& 之和，然后证明 &math&D_2(N)&/math& 相比起 &math&D_1(N)&/math& 可以忽略，而 &math&D_1(N)& 0&/math&，这就是圆法的主要思想&ref name="ppy"/&。哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数&math&\theta & \frac34&/math&，使得所有的狄利克雷L函数的全体零点都在半平面&math&\mathit{Re}(z) \le \theta&/math&上，那么充分大的奇数&math& N &/math&一定满足&math&T(N)& 0&/math&，也就是说能够表示成三个素数的和&ref name="ppy"/&。他们还给出了&math&T(N)&/math&的渐进式：在&math& N &/math&趋于无穷大的时候&ref name="hl3"/&，
:&math&T(N) \sim \frac12 \mathfrak{S}_3(N) \frac{N^2}{\ln^3(N)}.&/math&
:&math&\mathfrak{S}_3(N) =
\prod_{p|N} \left( 1-\frac{1}{(p-1)^2} \right) \prod_{p \, \nmid N} \left( 1 + \frac{1}{(p-1)^3} \right) &/math&
他们还证明了，在假设广义黎曼猜想成立的情况下，如果用&math&E(N)&/math&表示&math&N&/math&以内无法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数&math&\epsilon&/math&，都有
:&math&E(N) & N^{\frac12 + \epsilon}&/math&
这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的&ref name="wangyuan5"&{{cite book| title =''The Goldbach Conjecture''
| author =王元 | year =2002年12月 | publisher = World Scientific Publishing Company 第2版 | isbn =978-
}}第5页&/ref&&ref name="hl5"&{{cite journal | title =''Some Problems of Partitio Numerorum (V): A Further Contribution to the Study of Goldbach's Problem''
| author =Hardy, G. H. and Littlewood, J. E.
| volume=22 | year =1923年 | journal = Proc. London Math. Soc. | pages=46-56页}}&/ref&。
==== 筛法与布朗方法 ====
布朗使用的“筛法”，其原型为[[埃拉托斯特尼筛法]]，早在公元前250年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范围内（比如说2到100）的质数：先将第一个数2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部划掉……以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍又一遍的筛掉不需要的数字，故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基于同样的理念：给定一个需要筛选的集合&math&\mathfrak{A}&/math&，一个用来作为筛选标准的“筛孔”，即一系列质数的集合&math&\mathit{P}= {p_1, p_2, \cdots, p_n, \cdots}&/math&，以及一个范围&math&z&/math&。记
:&math&P(z) = \prod_{p_k & z}
p_k&/math&
那么可以定义筛函数：
:&math&S\left( \mathfrak{A}, \mathit{P}, z \right) = \sum_{a \in \mathfrak{A} } \bold{1}_{ \{(a, P(z)) = 1\} }(a)&/math&
表示集合&math&\mathfrak{A}&/math&里所有与&math&P(z) &/math&互质的数的个数，也就是筛去了&math&\mathit{P}&/math&内小于&math&z&/math&的质数的所有倍数之后还剩下的数字的个数&ref name="ppy"/&。
布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“质数”的要求，将它改为所谓的“殆质数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在1919年证明了，每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过九个质因数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数&math&N&/math&，令集合为&math&\mathfrak{A} = \left\{n(N-n), \, 2&n&N \right\}&/math&，&math&\mathit{P}&/math&为所有素数的集合，&math&z = N^{1/ \lambda}, \lambda&0&/math&，那么筛函数&math&S\left( \mathfrak{A}, \mathit{P}, z \right)&/math&就是满足
:&math&(n,
\prod_{p_k^\lambda &
p_k) = (N - n,
\prod_{p_k^\lambda &
p_k) = 1&/math&
的数对&math&(n, N-n)&/math&的个数&ref name="ppy2"&{{cite book | title =《哥德巴赫猜想》第一版 |author = 潘承洞，潘承彪 | publisher = 科学出版社| year = 1981}}第148-149页.&/ref&。其中的&math& n &/math&和&math&N-n&/math&都与&math&\prod_{p_k^\lambda &
p_k&/math&互质，也就是说它们的质因数都要大于等于&math& N^{1/ \lambda} &/math&，因此它们的质因数个数至多有&math&a = \lceil \lambda \rceil - 1&/math& 个。所以对于&math&\lambda&/math&来说筛函数大于0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明&math&\lambda = 2&/math&的时候筛函数大于0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想&ref name="ppy2"/&。
=== 弱哥德巴赫猜想的解决 ===
这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发展。1933年，苏联数学家{{tsl|ru|Шнирельман, Лев Генрихович|列夫·杰里科维奇·史尼尔曼}}同样基于筛法证明了：存在某个整数{{math|K}}，使得每个偶数能够表示成{{math|K}}个质数的和，弥补了朗道的遗憾&ref name="wangyuan2"/&。史尼尔曼给出的{{math|K}}的上限是{{math|800000}}，不久后罗曼诺夫证明了这个{{math|K}}不会超过{{math|2208}}。1936年，朗道和{{tsl|de|Peter Scherk|彼得·希尔克}}把结果改进到{{math|71}}，一年后意大利数学家{{tsl|de|Giovanni Ricci (Mathematiker)|吉奥凡尼·里奇}}又将结果改良为{{math|67}}。1956年，Sharpio证明了{{math|K}}不超过{{math|20}}，1956年尹文霖证明了{{math|K}}不超过{{math|18}}。1976年，英国数学家{{tsl|en|Bob Vaughan|罗伯特·查尔斯·沃恩}}证明了{{math|K}}小于等于{{math|6}}&ref name="ppy"/&。
1937年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T·艾斯特曼证明了：每个充分大的奇数都可以表示成两个奇质数和一个不超过两个质数的乘积的数的和：
:&math&2N+1=p_1 + p_2 + p_3 p_4&/math& 或 &math&2N+1=p_1 + p_2 + p_3&/math&&ref name="ppy"/&
同一年，维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了：每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和。维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以质数为变数的指数和 &math&S(t, N)&/math& 做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是：维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：&math&
e^{e^{16.038}} &/math&，也就是说大于&math& e^{e^{16.038}}&/math&的整数都可以写成三个质数的和&ref name="wangyuan8"&{{cite book | author = 王元 |title =''Goldbach Conjecture''| publisher =
World Scientific Publishing Company 第2版 |year =2002年12月 | isbn= 978-}}第8页&/ref&。1946年，苏联数学家{{tsl|ru|Линник, Юрий Владимирович (математик)|尤里·弗拉基米罗维奇·林尼克}}沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果&ref name="wangyuan8"/&。然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。&math& e^{e^{16.038}} &/math&写出来有{{math|6846168}}位数字，要验证之前的偶数都能写成两个质数的和，计算量仍然太大。1989年陈景润与王元将这个下限减低到{{math|10&sup&43000.5&/sup&}}&ref name="Vino1"&{{cite journal | title = A Complete Vinogradov 3-Prime Theorem under the Riemann Hypothesis| author = J M Deshouillers, G Effinger, H Te Riele, D Zinoviev | year = | journal =Electronic Research Announcements Of The American Mathematical Society | volume = 3 |pages = 99-104｜issn = | doi = 10.-31-0 }}&/ref&，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至{{math|e&sup&3100&/sup&≈10&sup&1346.3&/sup&}}&ref name="wangyuan3"/&，但仍然与实际验证过的范围（{{math|4×10&sup&14&/sup&}}）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，{{tsl|en|Jean-Marc Deshouillers|让-马克·德苏耶}}等人在1998年证明了：每个大于等于{{math|7}}的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）&ref&{{cite journal | title = ''New experimental results concerning the Goldbach conjecture'' |author = J. -M. Deshouillers, H. J. J. te Riele and Y. Saouter| journal = Lecture Notes in Computer Science | volume= | year = 1998年|pages = 第204-215页 | doi=10.1007/BFb0054863}}&/ref&。
1938年，[[华罗庚]]证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数{{math|k}}，每个充分大的奇数都可以表示{{math|p&sub&1&/sub& + p&sub&2&/sub& + p&sub&3&/sub&&sup&k&/sup&}}的形式。当{{math|k}} = {{math|1}}的时候，就是弱哥德巴赫猜想&ref name="ppy"/&。
由于维诺格拉多夫估计&math&S(t, N)&/math& 时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年[[潘承洞]]得到了仅利用L函数初等性质的简易证明&ref name="ppy"/&。
日，[[法国科学院|法国国家科学研究院]]和[[巴黎高等师范学院]]的数论领域的研究员[[哈洛德·賀歐夫各特]]，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（{{lang|en|''Major arcs for Goldbach's theorem''}}）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想&ref name="minor"&{{cite web|author=H. A. Helfgott|title=''Minor arcs for Goldbach’s problem''|url=http://arxiv.org/pdf/.pdf|language=en|accessdate=}}&/ref&&ref name="major"&{{cite web|author=H. A. Helfgott|title=''Major arcs for Goldbach’s theorem''|url=http://arxiv.org/pdf/.pdf|language=en|accessdate=}}&/ref&。賀歐夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得[[普林斯顿大学]]博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，賀歐夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（{{lang|en|''Minor arcs for Goldbach's problem''}}）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界&ref name="minor"/&。在这个更优估计的基础上，賀歐夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了{{math|10&sup&29&/sup&}}左右，賀歐夫各特和同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。&ref&[/sbhtmlnews/419.shtm“‘无名之辈’的逆袭
两项证明激荡数论研究”作者：张冬冬《中国科学报》
第3版 ]&/ref&&ref name="major"/&&ref name="major"&{{cite web|author=H. A. Helfgott, David J. Platt|title=''Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30''|url=http://arxiv.org/pdf/.pdf|language=en|accessdate=}}&/ref&
=== 强哥德巴赫猜想：布朗方法与陈氏定理 ===
弱哥德巴赫猜想已经基本得到解决，对于偶数的哥德巴赫猜想，数学家们则主要将希望放在布朗的方法上。而二十世纪中叶，数学家们沿着布朗的思路，得到了不少改进后的成果。1924年{{tsl|en|Hans Rademacher|汉斯·拉代马海尔}}证明了“7+7”，1932年艾斯特曼证明了“6+6”，苏联数学家布赫希塔布在1938年和1940年分别证明了
“5+5”与“4+4”。孔恩在1941年提出了“加权筛法”的概念，能在同样的筛函数上界和下界条件下取得更好的结果，他在1954年证明了“a+b”（a+b&7&ref group="ref"&表示命题“每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的质因数个数加起来的总和小于7”&/ref&）。[[阿特勒·塞尔伯格]]利用求[[二次型]]极值的方法极大地改进了布朗的筛法，对筛函数的上界和下界做出了更精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在1956年证明了“3+3”，[[王元 (院士)|王元]]在1956年证明了“3+4”，并在1957年证明了“3+3”和“a+b”（a+b&6）以及“2+3”&ref name="ppy"/&。
以上的结果中，没有能够证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是质数的。1932年，埃斯特曼证明了，在假设广义黎曼猜想成立的前提下，“1+6”成立。1948年，{{tsl|en|Alfréd Rényi|伦伊·阿尔弗雷德}}利用林尼克创造的“大筛法”，证明了“1+''b''”的结果&ref group="ref"&存在某个正整数''b''使得 “1+''b''”成立，但无法确定 ''b'' 的值&/ref&。1956年，王元与维诺格拉多夫则证明了在同样的假定之下，“1+4”成立。1961年，苏联数学家巴尔巴恩证明了一个可以用来代替广义黎曼猜想的公式的弱化版。1962年，[[潘承洞]]也独立证明了此公式的另一个弱化版本，并得到“1+5”。而王元则指出潘承洞的结果其实可以推出“1+4”。潘承洞在同年用加强的结论得到了“1+4”的简化的证明，1963年巴尔巴恩也得到了同样的结果。1965年布赫希塔布则用同样的版本证明了“1+3”。与此同时，{{tsl|en|Enrico Bombieri|恩里科·邦別里}}与维诺格拉多夫也独立地用更简洁的方法证明了“1+3”&ref name="ppy"/&。
使用布朗方法的最好结果是[[陈景润]]得到的。他在1973年发表了“1+2”的证明，其中对[[篩法]]作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法&ref&J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157–176.&/ref&。因此“1+2”也被称作是[[陈氏定理|陳氏定理]]。现今数学家们普遍认为，陈景润使用的方法已经将筛法发挥到了极致，以筛法来证明最终的“1+1”的可能性已经很低了。布朗方法似乎在最后的一步上停止了下来。如今数学界的主流意见认为：证明关于偶数的哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行重大的改进&ref name="ppy"/&，也有认为仅仅基于现有的方法上的改进无法证明偶数哥德巴赫猜想&ref name="wangyuan18"&{{cite book | title =''The Goldbach Conjecture''| author =王元 | year =2002年12月 | publisher = World Scientific Publishing Company 第2版 | isbn =978-}}第18页&/ref&。
=== 哥德巴赫分拆数 ===
[[File:Goldbach-1000000.png|thumb|right|330px|1000000以下的偶数的哥德巴赫分拆数]]
对于哥德巴赫猜想的实际验证表明，至少&math&\scriptstyle 4 \cdot 10^{14}&/math&以下的偶数都能表示成两个质数的和。很多时候，偶数表示成两个质数和的方法还不止一种，比如&math&18 = 5+13=7+11&/math&，&math&64 = 3+61=5+59 = 11+53 = 17+47 = 23+ 41&/math&，等等。设有偶数&math&N&/math&，它的哥德巴赫分拆数&math&G_2(N)&/math&定义为它能够表示成两个质数相加之和的方法的个数，也就是集合&math&\left\{ (p_1, p_2) \left| p_1 + p_2 = N, p_1 \leqslant p_2 \right. \right\}&/math&中元素的个数：
:&math&G_2(N) = \operatorname{Card}\left\{ (p_1, p_2) \left| p_1 + p_2 = N, p_1 \leqslant p_2 \right. \right\}&/math&
哥德巴赫猜想就等于是说，每个大于等于6的偶数的哥德巴赫分拆数都大于0。如果能够找到哥德巴赫分拆数的表达式，或者找到它的某个严格大于0的下限，就能够证明哥德巴赫猜想了。因此，有不少关于哥德巴赫分拆数的范围的猜测。1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜测&ref name="hl5"/&：
:&math&G_2(N) \sim
2\prod_{p&2} \left( 1-\frac{1}{(p-1)^2} \right) \prod_{p|N, p&2} \left( \frac{p-1}{p-2} \right) \frac{N}{\ln^2(N)}&/math&
== 数值验证 ==
与不少数学猜想一样，数值上的验证也是哥德巴赫猜想的重要一环。
*1938年，[[尼尔斯·皮平]]（{{lang|de|Nils Pipping}}）验证了所有小于&math&\scriptstyle 10^5&/math&的偶数&ref&Pipping, Nils (), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta. Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.&/ref&。
*1964年，M·L·斯坦恩和P·R·斯坦恩验证了小于&math&\scriptstyle 10^7&/math&的偶数&ref&{{cite journal | title =''Experimental
2-Bases'' | author = M. L. Stein and
P. R. Stein
|url = http://www.ams.org/journals/mcom//S-25-51-3.pdf| journal = Math. Comp.
| volume =
19 (1965年) | pages = 427-434页 }}&/ref&。
*1989年，A·格兰维尔将验证范围扩大到&math&\scriptstyle 2 \times 10^{10}&/math&&ref&{{cite book | title =''Checking the Goldbach conjecture on a vector computer'' | author =
A. Granville, J. van de Lune, and H. J. J. te Riele
|url =http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/Goldbach1.pdf| publisher = Number Theory and Applications,R. A. Mollin (ed.) Kluwer Academic Press| year = 1989年| pages = 423-433页 }}&/ref&。
*1993年，Matti K. Sinisalo验证了&math&\scriptstyle 4 \times 10^{11}&/math&以内的偶数&ref&Matti K. Sinisalo, Checking the Goldbach conjecture up to 4·10^11, Mathematics of Computation, vol. 61, no. 204, pp. 931-934, October 1993.&/ref&。
*2000年，J?rg Richstein验证了&math&\scriptstyle 4 \times 10^{14}&/math&以内的偶数&ref&J?rg Richstein, [http://www.mscs.dal.ca/~joerg/res/g-en.html Verifying the Goldbach conjecture up to 4·10^14], Mathematics of Computation, vol. 70, no. 236, pp. , July 2000.&/ref&。
至2012年2月为止，数学家已经验证了&math&\scriptstyle 3.5 \times 10^{18}&/math&以内的偶数&ref&{{cite web | title =Goldbach conjecture verification | url = http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html | author = Tomás Oliveira e Silva |accessdate =日}}&/ref&，在所有的验证中，没有发现偶数哥德巴赫猜想的反例。
== 类似猜想和定理 ==
在数论中，有一些类似于哥德巴赫猜想的命题，其中有一些已经被证明，其余的仍然属于猜想，如哥德巴赫猜想一样。
*[[勒穆瓦纳猜想|李維猜想]]（勒穆瓦纳猜想），由法国数学家{{tsl|en|?mile Lemoine|埃米勒·勒穆瓦纳}}于1895年提出。命题为：所有大于5的奇数''n'' 都能写成一个质数和另一个质数的两倍的和，
*:&math&n = p_1 + 2 p_2&/math&
&ref&{{cite journal | author =
"On Goldbach's Conjecture" | journal = ''Math. Gaz.''
| volume = 47 |year =1963年 |pages = 274页}}&/ref&
*{{tsl|en|Waring–Goldbach problem|华林-哥德巴赫问题}}：对于任何一个正整数''n''，是否存在一个数''k''，使得每个充分大的整数都可以写成''k''个质数的''n''次幂的和？
*:&math&N = p^n_1 + p^n_2 + \cdots + p^n_k&/math&
:华林-哥德巴赫问题在1938年被[[华罗庚]]解决。他证明了对每个''n''，上述所说的''k''都存在&ref&{{cite journal | title =''Solution of the Waring-Goldbach problem for algebraic number fields'' | author = G. J. Rieger
| journal = Bull. Amer. Math. Soc.
| volume = 68, Number 3 (1962年) | pages =234-236页 }}&/ref&。此后数学家们转而研究对于特定的''n''与''k''时相关的猜想。
*[[孪生素数猜想]]：哥德巴赫猜想是关于整数表达成素数之和的猜想，相对应的，也有整数表达成素数之差的猜想。孪生素数问题是其中最自然的一个：是否有无穷个素数对(p&sub&1&/sub&, p&sub&2&/sub&)，满足
*:&math&p_1 - p_2 = 2&/math& &ref&{{cite book | author =
Richard E. Crandall, Carl Pomerance | title = "Prime numbers: a computational perspective" | publisher =Springer
|year =2005年 |pages = 第14页 | isbn = 7 }}&/ref&
== 相关文化 ==
*1978年，散文家、诗人[[徐迟]]应《[[人民文学]]》月刊杂志邀请写作了以陈景润证明“1+2”命题为主题的[[报告文学]]《[[哥德巴赫猜想 (报告文学)|哥德巴赫猜想]]》。文章在《人民文学》上发表后，产生了很大反响，也令中国大陆普通民众对哥德巴赫猜想留下印象&ref&周明，《徐迟与&哥德巴赫猜想&》，《人民文学》2008年01期.&/ref&。
*哥德巴赫猜想是中国民间科学爱好者热衷研究的数学问题之一。在徐迟的报告文学影响下，不少民间科学爱好者对哥德巴赫猜想产生兴趣，许多人自称在此问题上取得了进展，甚至自称证明了哥德巴赫猜想。中国科学院每年都收到“几麻袋”的讨论或声称证明了哥德巴赫猜想的来信来稿。不少报章也刊登过哥德巴赫猜想被民间科学爱好者证明的消息。许多数学家都认为，缺乏专业的学科知识和系统的训练的人，是无法在哥德巴赫猜想上做出进展的，甚至不可能理解此方面的研究。数学家建议，相关爱好者在研究哥德巴赫猜想之前至少应当“系统掌握相应的数学知识，以免走不必要的弯路”&ref name="cctvg"&新华网，[/special/690/4/43577.html 哥德巴赫猜想 还要“猜”多久]，新华社，日.&/ref&。[[中國科學院]]數學與系統科學研究院研究員[[陸柱家]]稱「業餘研究者是無法證明這個猜想（哥德巴赫猜想）的，除非世界一流的數學家，否則無法求證」、「哥德巴赫猜想是一個艱深的數論難題，證明它所需要的數學能力和突出的思維能力，都並非普通數學愛好者所能企及」&ref&{{cite news|title=悬赏期限将至 哥德巴赫猜想百万巨奖无人能拿？|url=.cn/o//107063.shtml|accessdate=|newspaper=北京青年报|date=}}&/ref&。中国科学院已声明不会审理来自科学共同体之外的任何自称证明了哥德巴赫猜想的文章&ref&{{ cite journal | author =田松 | title =《论民间科学爱好者为什么不能取得科学意义上的成功？》| journal = 《科学技术与辩证法》|volume = 2004年第三期 | pages = 108-112页}}&/ref&。
*希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》于2000年出版。其中讲述了一个年轻人和他的叔叔，一个致力于研究哥德巴赫猜想的数学研究者的故事。英国费伯出版社和美国布卢姆斯伯里出版社在出版这本小说时悬赏一百万美元，奖励能在小说出版后两年之内能够证明哥德巴赫猜想的人。然而奖金无人获得&ref name="cctvg"/&。
== 注释 ==
&div class="references-small"&
&div class="references-small"&
&references /&
&references group="ref" /&
== 参考资料 ==
{{reflist|2}}
==相关书籍==
== 相关书籍 ==
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#[[徐遲]]介绍[[陈景润]]的报告文学《[[哥德巴赫猜想 (报告文学)|哥德巴赫猜想]]》（《人民文學》1978年第1期）
#[[徐遲]]介绍[[陈景润]]的报告文学《[[哥德巴赫猜想 (报告文学)|哥德巴赫猜想]]》（《人民文學》1978年第1期）
#[[王晓明]]介绍陈景润的报告文学《[[哥德巴赫猜想传奇（报告文学）|哥德巴赫猜想传奇]]》《中华传奇》1999年3期）
# {{cite book | title =《哥德巴赫猜想》 | author = [[潘承洞]]、[[潘承彪]] | publisher =科学出版社 | year =1981年
# {{cite book | title =《王元论哥德巴赫猜想》 | author =[[王元_(院士)|王元]] | publisher =山东教育出版社 | year =1999年 | isbn = 3 }}
{{refend}}
==外部連結==
== 参见 ==
* [[素数]]
* [[埃拉托斯特尼筛法]]
* [[素数判定法则]]
* [[孪生素数]]
== 外部連結 ==
* [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/correspondents/Goldbach.html 哥德巴赫和歐拉的通信]
* [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/correspondents/Goldbach.html 哥德巴赫和歐拉的通信]
[[Category:素数猜想]]
[[Category:素数猜想]]
[[Category:加性数论]]
[[Category:加性数论]]
[[ar:????? ???????]]
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[[ca:Conjectura de Goldbach]]
[[cs:Goldbachova hypotéza]]
[[da:Goldbachs formodning]]
[[de:Goldbachsche Vermutung]]
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[[en:Goldbach's conjecture]]
[[eo:Konjekto de Goldbach]]
[[es:Conjetura de Goldbach]]
[[fa:??? ??????]]
[[fi:Goldbachin konjektuuri]]
[[fr:Conjecture de Goldbach]]
[[gl:Conxectura de Goldbach]]
[[he:????? ??????]]
[[hi:???????? ?? ??????]]
[[hu:Goldbach-sejtés]]
[[id:Konjektur Goldbach]]
[[it:Congettura di Goldbach]]
[[ja:ゴールドバッハの予想]]
[[kk:Голдбах есеб?]]
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[[nl:Vermoeden van Goldbach]]
[[no:Goldbachs formodning]]
[[pl:Hipoteza Goldbacha]]
[[pms:Congetura ?d Goldbach]]
[[pt:Conjectura de Goldbach]]
[[ro:Conjectura lui Goldbach]]
[[ru:Проблема Гольдбаха]]
[[scn:Cungittura di Goldbach]]
[[simple:Goldbach's conjecture]]
[[sl:Goldbachova domneva]]
[[sr:Goldbahova hipoteza]]
[[sv:Goldbachs hypotes]]
[[th:??????????????????????????]]
[[tr:Goldbach hipotezi]]
[[uk:Г?потеза Гольдбаха]]
[[uz:Goldbax muammosi]]
[[zh-classical:哥德巴赫猜想]]
[[zh-min-nan:Goldbach Chhai-chhek]]
日 (三) 11:02的最后版本
本文介紹的是数学中的哥德巴赫猜想。關於的报告文学，詳見「」。
将一个偶数用两个质数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是中存在最久的之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人与瑞士数学家的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陳述為：
任一大於2的，都可表示成兩個之和。
这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个之和，或者若干个的和，等等。而將一个給定的偶數分拆成兩個質數之和，则被稱之為此數的哥德巴赫。例如，
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個質數之和的數。哥德巴赫猜想也是二十世纪初中的一個子問題。
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是在1973年发表的（也被称为“1+2”）。
哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为）是声称大于5的奇数都可以表示成三个质数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，數學家证明了每个充分大的奇数，都可以表示成三个质数之和，基本证明了弱哥德巴赫猜想。
哥德巴赫信件的手稿，原文用德文和拉丁文写成。
日，在写给数学家的通信中，提出了以下的：
任一大于2的都可以寫成三个之和。
上述与现今的陳述有所出入，原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陳述为：
任一大于5的整数都可寫成三个質数之和。
欧拉在6月30日的回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本：
任一大于2的都可寫成两个質数之和。
並將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
任一大於5的奇數都可寫成三個質數之和
的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是對的，則关于奇数的哥德巴赫猜想也會是對的。1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉多夫定理”或“三素数定理”。2013年，秘魯数学家等人将维诺格拉多夫的结论进一步加强，并验证了较小的奇质数的情况，宣称完全证明了弱哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想相當困難。直至今日，数学家对于强哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。事实上，从1742年这个猜想正式出现，到二十世纪初期，在超过160年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做一些进一步的猜测。1900年，在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912年第五届国际数际数学家大会上，德国数论专家曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成K个质数的和，不管K是多少，都是数学家力所不及的。1921年，英国数学家曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。
哈代和朗道做出以上的看法时，对哥德巴赫猜想的研究已经踏在了突破的门槛上。关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出现在二十世纪20年代。这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。、、、、等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础。1920年左右，英国数学家哈代和极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。
大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的质因数个数都不超过9个。这个方法的思路是：如果能将其中的“9个”缩减到“1个”，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”，以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。
注意：以下数学公式中的符号等都表示质数。
从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了中一个新的分析方法。这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着为路径的
当且只当整数的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑积分式：
其中，那么这个积分式实际上等于：
上式中第二项等于0，所以
方程“”的解的个数。
所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数，单位圆上的环路积分式。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：
因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式 和
中以质数为变数的。哈代和利特尔伍德猜测，当变量接近于分母“比较小”的时，的值会“比较大”，而当接近于分母“比较大”的既约分数时，的值会“比较小”。也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc，与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（minor arc）。将整个积分
分成优弧上的积分 与劣弧上积分
之和，然后证明
可以忽略，而 ，这就是圆法的主要思想。哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数，使得所有的狄利克雷L函数的全体零点都在半平面上，那么充分大的奇数一定满足，也就是说能够表示成三个素数的和。他们还给出了的渐进式：在趋于无穷大的时候，
他们还证明了，在假设广义黎曼猜想成立的情况下，如果用表示以内无法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数，都有
这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的。
布朗使用的“筛法”，其原型为，早在公元前250年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范围内（比如说2到100）的质数：先将第一个数2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部划掉……以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍又一遍的筛掉不需要的数字，故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基于同样的理念：给定一个需要筛选的集合，一个用来作为筛选标准的“筛孔”，即一系列质数的集合，以及一个范围。记
那么可以定义筛函数：
表示集合里所有与互质的数的个数，也就是筛去了内小于的质数的所有倍数之后还剩下的数字的个数。
布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“质数”的要求，将它改为所谓的“殆质数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在1919年证明了，每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过九个质因数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数，令集合为，为所有素数的集合，，那么筛函数就是满足
的数对的个数。其中的和都与互质，也就是说它们的质因数都要大于等于，因此它们的质因数个数至多有 个。所以对于来说筛函数大于0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明的时候筛函数大于0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。
这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发展。1933年，苏联数学家：）同样基于筛法证明了：存在某个整数K，使得每个偶数能够表示成K个质数的和，弥补了朗道的遗憾。史尼尔曼给出的K的上限是800000，不久后罗曼诺夫证明了这个K不会超过2208。1936年，朗道和：）把结果改进到71，一年后意大利数学家：）又将结果改良为67。1956年，Sharpio证明了K不超过20，1956年尹文霖证明了K不超过18。1976年，英国数学家：）证明了K小于等于6。
1937年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T·艾斯特曼证明了：每个充分大的奇数都可以表示成两个奇质数和一个不超过两个质数的乘积的数的和：
同一年，维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了：每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和。维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以质数为变数的指数和
做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是：维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：，也就是说大于的整数都可以写成三个质数的和。1946年，苏联数学家：）沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。写出来有6846168位数字，要验证之前的偶数都能写成两个质数的和，计算量仍然太大。1989年陈景润与王元将这个下限减低到1043000.5，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至e3100≈101346.3，但仍然与实际验证过的范围（4×1014）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，：）等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。
1938年，证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数都可以表示p1 + p2 + p3k的形式。当k = 1的时候，就是弱哥德巴赫猜想。
由于维诺格拉多夫估计 时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年得到了仅利用L函数初等性质的简易证明。
日，和的数论领域的研究员，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，賀歐夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上，賀歐夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，賀歐夫各特和同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。
弱哥德巴赫猜想已经基本得到解决，对于偶数的哥德巴赫猜想，数学家们则主要将希望放在布朗的方法上。而二十世纪中叶，数学家们沿着布朗的思路，得到了不少改进后的成果。1924年：）证明了“7+7”，1932年艾斯特曼证明了“6+6”，苏联数学家布赫希塔布在1938年和1940年分别证明了 “5+5”与“4+4”。孔恩在1941年提出了“加权筛法”的概念，能在同样的筛函数上界和下界条件下取得更好的结果，他在1954年证明了“a+b”（a+b&7）。利用求极值的方法极大地改进了布朗的筛法，对筛函数的上界和下界做出了更精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在1956年证明了“3+3”，在1956年证明了“3+4”，并在1957年证明了“3+3”和“a+b”（a+b&6）以及“2+3”。
以上的结果中，没有能够证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是质数的。1932年，埃斯特曼证明了，在假设广义黎曼猜想成立的前提下，“1+6”成立。1948年，：）利用林尼克创造的“大筛法”，证明了“1+b”的结果。1956年，王元与维诺格拉多夫则证明了在同样的假定之下，“1+4”成立。1961年，苏联数学家巴尔巴恩证明了一个可以用来代替广义黎曼猜想的公式的弱化版。1962年，也独立证明了此公式的另一个弱化版本，并得到“1+5”。而王元则指出潘承洞的结果其实可以推出“1+4”。潘承洞在同年用加强的结论得到了“1+4”的简化的证明，1963年巴尔巴恩也得到了同样的结果。1965年布赫希塔布则用同样的版本证明了“1+3”。与此同时，：）与维诺格拉多夫也独立地用更简洁的方法证明了“1+3”。
使用布朗方法的最好结果是得到的。他在1973年发表了“1+2”的证明，其中对作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此“1+2”也被称作是。现今数学家们普遍认为，陈景润使用的方法已经将筛法发挥到了极致，以筛法来证明最终的“1+1”的可能性已经很低了。布朗方法似乎在最后的一步上停止了下来。如今数学界的主流意见认为：证明关于偶数的哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行重大的改进，也有认为仅仅基于现有的方法上的改进无法证明偶数哥德巴赫猜想。
1000000以下的偶数的哥德巴赫分拆数
对于哥德巴赫猜想的实际验证表明，至少以下的偶数都能表示成两个质数的和。很多时候，偶数表示成两个质数和的方法还不止一种，比如，，等等。设有偶数，它的哥德巴赫分拆数定义为它能够表示成两个质数相加之和的方法的个数，也就是集合中元素的个数：
哥德巴赫猜想就等于是说，每个大于等于6的偶数的哥德巴赫分拆数都大于0。如果能够找到哥德巴赫分拆数的表达式，或者找到它的某个严格大于0的下限，就能够证明哥德巴赫猜想了。因此，有不少关于哥德巴赫分拆数的范围的猜测。1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜测：
与不少数学猜想一样，数值上的验证也是哥德巴赫猜想的重要一环。
1938年，（Nils Pipping）验证了所有小于的偶数。
1964年，M·L·斯坦恩和P·R·斯坦恩验证了小于的偶数。
1989年，A·格兰维尔将验证范围扩大到。
1993年，Matti K. Sinisalo验证了以内的偶数。
2000年，J?rg Richstein验证了以内的偶数。
至2012年2月为止，数学家已经验证了以内的偶数，在所有的验证中，没有发现偶数哥德巴赫猜想的反例。
在数论中，有一些类似于哥德巴赫猜想的命题，其中有一些已经被证明，其余的仍然属于猜想，如哥德巴赫猜想一样。
（勒穆瓦纳猜想），由法国数学家：）于1895年提出。命题为：所有大于5的奇数n 都能写成一个质数和另一个质数的两倍的和，
：）：对于任何一个正整数n，是否存在一个数k，使得每个充分大的整数都可以写成k个质数的n次幂的和？
华林-哥德巴赫问题在1938年被解决。他证明了对每个n，上述所说的k都存在。此后数学家们转而研究对于特定的n与k时相关的猜想。
：哥德巴赫猜想是关于整数表达成素数之和的猜想，相对应的，也有整数表达成素数之差的猜想。孪生素数问题是其中最自然的一个：是否有无穷个素数对(p1, p2)，满足
1978年，散文家、诗人应《》月刊杂志邀请写作了以陈景润证明“1+2”命题为主题的《》。文章在《人民文学》上发表后，产生了很大反响，也令中国大陆普通民众对哥德巴赫猜想留下印象。
哥德巴赫猜想是中国民间科学爱好者热衷研究的数学问题之一。在徐迟的报告文学影响下，不少民间科学爱好者对哥德巴赫猜想产生兴趣，许多人自称在此问题上取得了进展，甚至自称证明了哥德巴赫猜想。中国科学院每年都收到“几麻袋”的讨论或声称证明了哥德巴赫猜想的来信来稿。不少报章也刊登过哥德巴赫猜想被民间科学爱好者证明的消息。许多数学家都认为，缺乏专业的学科知识和系统的训练的人，是无法在哥德巴赫猜想上做出进展的，甚至不可能理解此方面的研究。数学家建议，相关爱好者在研究哥德巴赫猜想之前至少应当“系统掌握相应的数学知识，以免走不必要的弯路”。數學與系統科學研究院研究員稱「業餘研究者是無法證明這個猜想（哥德巴赫猜想）的，除非世界一流的數學家，否則無法求證」、「哥德巴赫猜想是一個艱深的數論難題，證明它所需要的數學能力和突出的思維能力，都並非普通數學愛好者所能企及」。中国科学院已声明不会审理来自科学共同体之外的任何自称证明了哥德巴赫猜想的文章。
希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》于2000年出版。其中讲述了一个年轻人和他的叔叔，一个致力于研究哥德巴赫猜想的数学研究者的故事。英国费伯出版社和美国布卢姆斯伯里出版社在出版这本小说时悬赏一百万美元，奖励能在小说出版后两年之内能够证明哥德巴赫猜想的人。然而奖金无人获得。
表示命题“每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的质因数个数加起来的总和小于7”
存在某个正整数b使得 “1+b”成立，但无法确定 b 的值
的资料，作者：。
，第135页倒数第5-8行.
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