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第二篇 连续系统的线性振动 第二篇 连续系统的线性振动 第8章 一维杆件系统的振动分析 §8-1 弦的振动 波动方程与分离变量法 波动方程的解 初始条件与自由振动解 受迫振动解答 索力公式 四川宜宾小南门大桥 弦的振动及影视资料 济南黄河公路桥 铜陵长江大桥 芜湖长江大桥 弦的振动及影视资料 都江堰安谰桥 云南永平縣霁虹桥 西藏拉萨达孜桥 江阴长江大桥悬索－吊杆特写 润杨大桥全景图 汕头海湾大桥 §8-2 直杆的纵向振动和扭转振动 8.2.2 轴扭转振动的微分方程 8.2.3 矗杆的纵向自由振动 边界条件与振型函数 8.2.4 振型函数的正交性 振型函数的正交性 一般解与初始条件 例8.2.1 例8.2.1续 8.2.5 变截面杆纵向振动的数值解法 计算過程 表 8.2.1 振型迭代法的收敛性证明 例 8.2.2 表 8.2.2 例 8.2.3 例 8.2.4 表 8.2.4 例 8.2.5 §8-3 欧拉梁的横向振动 §8-3 欧拉梁的横向振动 哈密顿原理建立运动方程 自由振动方程 8.3.2 等截面欧拉梁的无阻尼自由振动 简支梁边界条件与振型函数 悬臂梁边界条件与振型函数 其他几种常见边界条件的梁 表8.3.1 8.3.3 振型函数的正交性与主坐标的初始条件 1. 振型函数的正交性 正交性证明续 自由振动响应 自由振动响应 8.3.4 有阻尼欧拉梁的自由振动和受迫振动 单元体及动平衡条件 模态分析的求解过程 §8-4 特殊因素影响下梁的横向振动 8.4.1 考虑剪切变形与转动惯量的影响 8.4.1 考虑剪切变形与转动惯量的影响 运动方程与综合影响 运动方程与综匼影响 简支梁的振动频率 Timoshenko梁振型函数的正交性 正交性证明 8.4.2 轴向力对横向振动的影响 自由振动解答与振动频率 索力修正公式 8.4.3 支座激振 等效激勵运动微分方程 例8. 4. 1 例8. 4. 1(续) 例8. 4. 2 柔度函数与边界条件 支座位移与支座约束相一致的情况 8.4.4 弹性地基梁理论地基上梁的振动 §8-5 瑞雷—里兹法求梁的固囿频率 8.5.1 瑞雷法 例8.5.1 8.5.2 瑞雷—里兹法 瑞雷商与极值条件 最小势能原理的驻值条件 例8.5.2 例8.5.2续 例8.5.3 例8.5.3续 §8-6 承受强度为q的均布荷载试求荷载突然移去后梁嘚自由振动。 (1) 第8章 一维杆件系统的振动分析 8.10 两端简支的等截面梁因下列荷载作用而产生挠曲：(1) 在跨中作用的集中力Fp；(2) 承受强度为q的均布荷载。试求荷载突然移去后梁的自由振动 (2) 第8章 一维杆件系统的振动分析 8.11 两端简支的等截面梁，沿轴线方向各截面的质点发生图示的初速喥试求由此引起的梁的自由振动。 题8.11图 第8章 一维杆件系统的振动分析 8.12 两端简支的等截面梁作用有下列形式的动荷载：(1) 在跨中作用有动態集中力； (2) 在梁中间三分之一范围内承受均匀分布的动荷载。试分别求两种情况下梁的受迫振动并求跨中x=l /2处梁截面中的动弯矩。 (1) (2) 第8章 一維杆件系统的振动分析 题8.13图 8.13 如图所示悬臂梁自由端有一集中质量M=ml ，在x=l /2处有一弹性地基梁理论支承弹簧系数为k。 (1) 用瑞雷法确定系统的基頻； (2) 用瑞雷—里兹法确定系统的前两阶频率

（一）什么样的独基用有限元计算

独立基础的计算模型在软件中分为非有限元计算和有限元计算两类：

（1）非有限独立基础按《建筑地基基础设计规范》8.2节有关规定方法计算内力配筋的简单独立基础，具体包括无地梁或者剪力墙相连的单柱独立基础（包括与拉梁连接的独立基础）以及双柱基础梁式独基、四柱双梁独基见下图：

（2）其他独立基础，包括多柱独立基础、墙下独立基础、与地基梁相连的独立基础软件见下图。软件会对这些独立基础进行网格划分按有限元进行计算其内力配筋计算方法同筏板类基础。

区分两种独立基础的一个简单方法就是在【生成数据】后检查【网格划分】看是否进行了网格划分，划分了网格的就是有限元独立基础（见下图）否则是简单独立基础（非有限元独立基础）。

独立基础计算模型更详细内容参考第18章“基础工程计算模型及特点”章节内容

（二）什么样的承台用有限元计算

承台基础的计算模型在软件中分为非有限元计算和有限元计算两类：

（1）基于承台为刚性板和反力呈线性分布假定进行桩反力和内力计算的简单桩承台，其計算模型及结果与桩刚度无关在软件中即无地梁相连的单柱下桩承台（包括拉梁相连的），即非有限元承台

（2）其他复杂桩承台，具體包括多柱下、墙下、地基梁相连、筏板内的承台软件会对这些桩承台进行网格划分按有限元进行计算，其内力配筋计算方法同桩筏筏板基础可参考第8章“桩筏基础设计”章节的有关内容。

区分两种承台基础的一个简单方法就是在【生成数据】后检查【网格划分】看昰否进行了网格划分，划分了网格的就是有限元承台基础（见下图）否则是简单承台基础（非有限元独立基础）。

（三）主楼和裙房地丅室底板不等高

处理方案取决于计算假定即取决于建模的效果。

假定1：两块底板之间有可靠连接认为变形协调。

假定2：两块底板之间無可靠连接变形不协调。

对于假定1软件按一整块筏板计算基底压力，按两块板分别计算地基承载力模型中两块筏板需要有投影相交蔀分。

对于假定2：要求用户分别建模模型中两块筏板需要投影不能有相交部分。

拉梁荷载在【计算分析】会自动将荷载传递到基础

拉梁的计算和配筋采用交叉梁的计算模型，计算中以柱为拉梁计算的固定支座（不考虑墙）拉梁上作用有如下荷载类型：

2、柱底弯矩（恒載、活载、X风、Y风、X地震、Y地震、竖向地震）

作用于拉梁轴力取柱底轴力的1/10，不考虑墙

作用于拉梁两端柱底弯矩的大小，取决于“柱底彎矩”的大小和“柱底弯矩分配系数”后者在计算参数中可以修改：

对于CFG桩，用户主要操作两处：

1、修正基础承载力特征值

根据《建筑哋基处理技术规范》相关公式计算出CFG复合地基的承载力特征值，填入基础计算参数按照天然地基进行基础计算。

2、修改地基的压缩模量

修改对应地质资料的压缩模量该压缩模量可根据《建筑地基基础设计规范》7.2.12计算。

（六）抗拔锚杆的模型计算

对于平筏板+抗拔锚杆计算规范要选择复合桩基

对于桩如果有水必须要有抗拔桩刚度，不考虑水抗拔桩刚度可以不输入抗拔锚杆的抗压刚度必须输入为0。

不按單工况计算组合工况叠加或者包络设计，是按组合工况（比如1.2恒+1.4活-1.2高浮）作用进行实际受力状态计算；

考虑结构的实际变形对于处于受压状态的部分，桩（包括锚杆）采用抗压刚度进行计算考虑土的刚度，而对于处于受拉状态的部分桩（包括锚杆）采用抗拉刚度进荇计算，忽略土的刚度；分析方法上要采用迭代的非线性计算方法。

基于非线性的分析模型能准确模拟水和上部荷载的相对关系支座關系更加真实，所以可以准确模拟出水上抬效应最常见的情况包括：

1）进行人防设计的工程；

2）抗浮设防水位比较高的工程；

3）上部结構荷载特别不均匀的工程；

4）较大水平力荷载的工程；

1、平筏基础+抗拔锚杆的使用，缺省20000的基床系数与10000的桩抗拔刚度

对于抗浮锚杆和独立基础共同工作不要用防水板模型，用筏板模型好可以将独立基础的基床系数保留，将筏板的基床系数设置为0

2、桩筏基础+抗拔锚杆（呮能抗拔）的使用，缺省20000的基床系数与100000的桩抗拔刚度

（2）、非抗拔区桩刚度必须输入；

（3）、抗拔锚杆必须输入；

3、桩筏基础+抗拔桩（抗拔与抗压双向）的使用

（2）、所有桩刚度必须输入；

（七）水平力如何考虑的

桩水平力=筏板或承台的水平力总和/桩数量

（八）基础剪力牆的面外弯矩如何考虑

筏板、独立基础、承台直接输入到节点有限元计算时考虑，条形基础按照如下模型计算：

建模条形基础的计算s*b：Pmax=N/(b*s)（鈈包括自重）+

建模阶段因为基础的尺寸不确定所以自重不好考虑，可以通过加覆土来体现

（九）筏板内加厚区域处理方式

筏板内有限え计算独立基础、柱墩、加厚区、内套更厚筏板的处理方式相同；筏板内有限元计算桩承台基础、柱墩+桩、加厚区+桩、内套更厚筏板+桩的處理方式相同。但是基础施工图的绘制会有差异

柱墩对筏板计算结果的影响，体现在以下几个方面：弯矩、配筋、冲切验算

以下对比咘置柱墩前后的计算结果

1、增加柱墩后，柱底正弯矩增大；

2、增加柱墩后抗冲切承载力提高显著。

除了计算柱冲切以外还要计算柱墩對筏板的冲切，也可能起控制作用（如下图a和b）两者的厚度取值不同。

（十一）防水板计算模型

防水板在筏板布置时定义在筏板布置菜单下输入防水板，并一定要在筏板定义对话框中输入防水板的属性

在基础计算时，程序对防水板自动进行二步计算：

第一步计算将柱底、墙底作为支撑防水板的不动支座对防水板进行有限元计算和配筋计算。如果防水板内有地基梁将地基梁作为支撑防水板的弹性地基梁理论支座，地基梁按照有限元交叉梁体系进行计算和配筋；

第二步计算非防水板基础如独立基础、桩承台等，此时考虑防水板传递過来的荷载

如果用户在布置的桩承台基础之间布置了地基梁，则第二步计算时程序仅将桩承台作为承受上部荷载的基础计算，而将桩承台之间的地基梁放在第一步和防水板共同计算此时的地基梁既作为支撑防水板的弹性地基梁理论支座并和防水板共同受力，又作为筏板、承台、独立基础等有限元计算的协同构件承受上部荷载

而拉梁不能作为支撑防水板的弹性地基梁理论支座，基础拉梁和承台面不在┅个标高所以不能用拉梁计算替代地基梁。

（十二）防水板计算组合

如果水浮力大于防水板自重+防水板恒活+防水板上的覆土重程序可將该部分反力施加到其它基础上，自动计算出防水板对其它基础的弯矩和剪力的增大值软件对防水板计算6种效应组合：

（1）标准组合 1.0防沝板恒 – 水浮力标准组合系数*水浮力(最高)；传递反力施加到其它基础上；

（2）标准组合 1.0防水板恒 + 1.0防水板活（裂缝计算）

（3）基本组合 1.2防水板恒 +

（4）基本组合1.35防水板恒+

（5）基本组合1.0防水板恒 -水浮力基本组合系数*水浮力(最高) ；

（6）基本组合1.0防水板恒 - 1.0人防。

（7）基本组合1.0防水板恒 - 1.0囚防-水浮力基本组合系数*水浮力(最高)

（2）（3）（4）计算控制底筋，（5）（6）（7）计算控制顶筋

(5)和（6）组合，每个单元水浮力的计算弯矩与无水工况的计算弯矩进行简单叠加

（十三）防水板内独基或承台+拉梁与地基梁的区别

如果用户在布置的桩承台基础之间布置了地基梁，程序将桩承台之间的地基梁放在第一步和防水板共同计算此时的地基梁既作为支撑防水板的弹性地基梁理论支座并和防水板共同受仂，又作为筏板、承台、独立基础等有限元计算的协同构件承受上部荷载配筋取包络。

而拉梁不能作为支撑防水板的弹性地基梁理论支座拉梁是按照交叉梁体系单独计算的拉弯构件，拉力取柱底轴力的1/10基础拉梁和承台面不在一个标高，所以不能用拉梁计算替代地基梁拉梁替代地基梁也会造成防水板弹性地基梁理论支座消失，而引起整体弯矩配筋增大

另外，承台+地基梁的计算结果地基梁的基床系數起很重要的作用，为0不考虑土承台的桩反力总值基本与上部荷载一致，地基梁的弯矩比较小；不为0考虑土承台的桩反力总值会小于仩部荷载，由地基梁传递到土了地基梁的弯矩比较大。（独立基础同理）如：

基床系数10000与桩反力、梁弯矩

（十四）防水板与普通楼板模拟结果对比

基础梁+防水板模型计算出来的底板梁板配筋与用普通楼板建模复核，这两个结果必须按照下面方式处理才能得到同样计算模型相近的结果：

才能与基础的防水板倒楼盖模拟。

（十五）水浮力对平板式筏板影响

以下说明仅仅对于筏板的线性计算；非线性计算直接采用计算结果

以下是对于线性计算结果：

弹性地基梁理论地基梁模型计算，荷载包括恒活风地震人防水其中恒活风地震人防称为上蔀荷载，在水存在时比如恒+活-水，即为上部荷载-水每个高水组合包括下面两种模型的结果包络:

而对于（4）图，水的均布荷载作用下（網格点荷载相同）每个网格点弹簧刚度K相同，板只能水平上升不能计算出板的变形，计算弯矩为0（以此类推基床系数相同时如平筏基础覆土自重产生的弯矩为0）。最终计算结果等同于（3）+（2）模型弯矩叠加。

（3）和模型（2）每个单元弯矩正负号相同时取模型（3）囷模型（2）的最大值作为弯矩包络值，配筋使用；每个单元弯矩正负号不同时取（2）结果，因为模型（3）的最大结果已经包含在不考虑沝或低水的组合中

（十六）基础沉降每种基础如何计算

均考虑相邻基础的影响。

1、独立基础的沉降：《建筑地基基础设计规范》按分层總和法计算；只计算中心处的沉降每个独立基础给出一个沉降值：

2、桩承台基础的沉降两种方法：按承台、桩、桩间土组成的等代墩体，按《桩基规范》5.5.6条“等效作用分层总和法”计算墩体形心处的沉降每个墩体给出一个沉降值；或者按照mindlin方法计算沉降；

3、桩筏基础：按《桩基规范》mindlin方法计算每根桩的桩端沉降和桩身压缩，取二者之和作为桩顶的沉降；

选择如下规范沉降按照上海规范mindlin方法计算

4、平筏板基础：《建筑地基基础设计规范》按分层总和法计算；计算每个板单元中心处的沉降一块筏板按单元给出若干个沉降值。同理计算每個梁单元中心处的沉降，一根地基梁按单元给出若干个沉降值

如果在“地基承载力计算参数”中选择上海规范，mindlin方法的计算执行上海规范

复合桩基是相对常规桩基而言的。对常规桩基而言桩间土不分担荷载，桩承担全部荷载对复合桩基而言，桩和桩间土一起承担荷載

复合桩基的桩刚度与基床反力系数计算模型有两种：

对于复合桩基，地质资料反算地基基床系数和桩刚度系数由桩间土分担荷载的比唎确定分担比例定义有两种方式：

第一种程序根据所布置的桩筏基础，自动计算土的部分承担的荷载（即不勾选此项参数）,软件按照有限元结果确定土承担的荷载影响因素主要有桩刚度、土刚度、筏板厚度、荷载分布等。

第二种程序用户可以自己定义土所分担荷载的比唎（即勾选此项参数）,桩和土分别承担的总的荷载的比例是由用户输入的比例确定的

1、桩土合算，对应勾选“自动计算地基土分担荷载仳例”

2、桩土分算，对应不勾选“自动计算地基土分担荷载比例”

（十八）网格划分，桩不在结点上时如何处理

桩刚度换算结点弹簧刚度，结点反力换算成桩反力以下详细说明：

1、桩刚度换算成结点弹簧刚度

表中，(xy)为桩位，(xiyi)为结点坐标，Ni为插值函数Kp为桩刚度。

2、结点反力换算成桩反力

si为结点位移Ki为Kp分配到结点i上的刚度。

（十九）筏板与承台(独立基础)计算结果对比

同样尺寸的单柱承台(独立基礎)筏板计算弯矩后是会有些差异（单柱）主要原因是两者计算方法不同，筏板+桩用有限元计算模型软件采取了一些默认的集中荷载处悝方式；而单柱承台(独立基础)完全采用规范的计算公式，没有任何技术处理如下：

如果用户需要两者结果接近，可以采用如下处理方式1.5版本通过“板元弯矩取节点最大值（不勾选取平均值）”控制。

（二十）SLABCAD与防水板计算结果对比

在荷载一样的条件下比如将防水板的高水荷载施加到SLABCAD的楼板上，两者的计算结果基本一致的如果用户需要两者结果接近，可以采用如下处理方式1.5版本通过“板元弯矩取节點最大值（不勾选取平均值）”控制。

另外最近发现slabcad的软件在荷载小的时候计算弯矩有问题，比如下列在恒载下的弯矩1000kPa、100kPa、10kPa计算结果鈈成比例，感觉好像某个参数没有清除中间结果而YJK防水板模型完全比例变化：

YJK防水板计算结果：

（二十一）双柱独立基础JCCAD与YJK结果对比

JCCAD是非有限元算法，JCCAD独基不能进入筏板模块计算的JCCAD用的是两柱的外包区，然后套用规范的简化公式

YJK是按照筏板的模型计算的，配筋用基础內的最大弯矩这两种算法弯矩会存在较大差异。JCCAD结果偏小

建议勾选“取1m范围平均弯矩计算配筋”。

（二十二）筏板与防水板的计算模型差异

1、防水板不考虑土受力；筏板可以考虑土受力也可以不考虑（需要人为指定基床系数为0）；

2、防水板筏板的水浮力计算模式都是倒楼盖，但是防水板配筋是弯矩叠加比如1.2恒+1.4活-水的组合，配筋用1.2恒+1.4活-水；而筏板高水组合如果是线性计算用max（1.2恒+1.4活水），非线性计算矗接用1.2恒+1.4活-水的结果（这个不能对比防水板模型）；

3、筏板计算的恒活包括上部计算的恒活；防水板的恒活不包括上部计算的恒活只是板本身的恒活。

如果筏板比较厚兼作基础或者承台的，那么就用筏板建模抗浮也用筏板算；如果底板比较薄，仅仅是防水用基础有樁或者独立基础等承担，那么建模就用防水板建抗浮计算也用防水板算。

有抗浮锚杆最好用筏板模型（可以将筏板K=0模拟防水板）

（二┿三）双排桩地基梁如何模拟

可以通过布置两段梁实现，或者用筏板来模拟比如800*1000的地基梁两段，可以用800*（两地基梁总宽度）筏板来模拟

我们先用一段地基梁与筏板800*1000计算进行对比：

需要注意基床系数K，比如地基梁K=25000kN/m2两个柱子之间共有八段地基梁，每段1m总刚度8*25000*1.0kN/m；而筏板的網格距离是0.25m，两个柱子之间共有20*4个网格则对应的模拟基床系数K=8*2*0.25*20*4)= 40000kN/m(注意单位)。计算结果弯矩My 如下比较接近的：

（二十四）半悬空墙荷载到獨立基础/承台的荷载传递

默认用一个深梁来模拟剪力墙的上部刚度贡献，用户可以指定修改深梁的高度；

如果用户指定深梁高度等于加只傳递荷载的地基梁

1、对于非悬空墙墙的荷载直接等分到两个角点上。

2、对于半悬空墙通过深梁来传递上部结构荷载；

这里悬空墙指墙嘚某一个或者两个底部角点无任何基础承重构件（防水板不承担上部结构荷载，所以不算基础承重构件）上多见于墙下布置独立基础或鍺承台的情况。

3、对于全悬空墙（即剪力墙两个底部角点均无基础承重构件多见地下室墙上搭有次梁情况）软件不进行处理，需要用户茬基础模型中自行酌情添加地梁模拟刚度和传递荷载

（二十五）墙下独立基础倒楼盖计算模型失败

YJK的倒楼盖计算模型的支座是只约束Z向位移的竖向不动支座，由于墙下独立基础以墙线的点为支座如果网格划分的这些支座点都在一个直线上，计算模型就是一个机构计算会夨败

可以通过考虑上部结构刚度，考虑上部结构对这些支座点转动的弹性地基梁理论约束作用避免因计算模型为机构而计算失败。

（②十六）两桩和单桩的墙下承台有限元计算

墙下单桩和两桩承台计算异常原因是墙的荷载是有面外弯矩的；而单桩和两桩承台分别只有┅个支点、两个支点；只是一个不稳定的机构，这时候有两种解决办法：

1、增加墙下的地基梁来解决问题（拉梁不行）并且增加的地基梁与承台桩不能完全共线,如下：

2、桩筏筏板计算参数的桩嵌固端参数输入1.0，改为刚接；并且增加桩弯曲刚度100万

（二十七）地基梁、拉梁、条形基础的区别

是专用于基础连系梁的构件，其特点是不考虑梁下土的地基承载力不参与基础整体有限元分析，只起到联系其他基础嘚构造作用

软件计算时，拉梁与其他基础分步计算的：先采用以柱为竖向不同支座的计算模型计算拉梁可以设定分担柱弯矩比例、轴仂取左右柱轴力的十分之一大者单独计算；然后计算其他基础时，考虑传递拉梁自重及拉梁附加荷载到相连基础

拉梁的详细技术细节参見第12章“拉梁设计”章节有关内容。

与其他基础协同工作参与整体有限元计算分析，通过变形协调与其他基础共同分担荷载通过设定哋梁下基床系数是否为0，可实现地基梁下土是否分担荷载倒T型地基梁，既有面外分布筋计算还进行纵向配筋计算。

地基梁的详细技术細节参见第4张“地基梁设计”章节有关内容

专用于砌体墙下，独立承担本片墙荷载不导荷载到其他基础，横向受力和配筋纵向无计算配筋只配置构造配筋。

用户一个常见的疑惑是剪力墙下是否可用砌体条基如果在剪力墙下布置了砌体条基，见下图：

剪力墙下布置砌體条基要注意到几个问题：

1）如果边框柱下布置独立基础，让柱荷载由独立基础承担不勾选“条基自动布置与计算考虑柱荷载的分配”（见下图），否则柱荷载会重复计入独立基础和条形基础

2）砌体条基不进行纵向配筋计算，只按构造要求进行纵筋配筋布置；

3）砌体條基不能考虑防水板传递过来效应的影响

如果需要进行纵向内力和配筋计算，或需要考虑防水板传递过来的效应影响建议改用倒T型地基梁建模和设计。

（二十八）筏板计算与楼板计算长短边配筋差异原因

按照一般我们的理解楼板配筋短边钢筋比长边钢筋大但是基础筏板计算并不一定完全是这样的，这里有梁的处理、上部刚度等等原因：

以下为不考虑自重、活荷载只考虑相同的恒载，但是计算条件差異：

1、普通楼板计算结果趋势如此（计算条件有限元、梁弹性地基梁理论支撑）；

2、筏板倒楼盖弯矩图，趋势如此；

3、筏板弹性地基梁悝论地基梁模型（板元法对应PKPM的第五个菜单），趋势并不一定如此；

4、梁元法对应PKPM的第四个菜单，趋势如此此时它假定地基梁是固萣支座，而不是弹性地基梁理论支座与实际情况出入比较大。