解：（1）作EM⊥GA垂足为M．

∵△ABC是等边三角形，

情况①：0＜t＜6时

综上所述，当点F在运动过程中△GFH的面积为363cm2．

①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点则BF=FC=CH．

又∵点F的运动速度为2cm/s，

∴当t=3时点F和点C是线段BH的三等分点；

②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点则BC=CF=FH．

又∵点F的运动速度为2cm/s，

∴當t=12时点F和点C是线段BH的三等分点；

综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．

（1）三角形EGA中底边AG的长可通过楿似三角形ADG和BDF求出，而AG边上的高可用AE?sin60°来表示，由此可得出S、t的函数关系式；
（2）当AB⊥GE时连接DE，由已知推出三角形ADE是等边三角形可嘚∠AEG=60°，即∠EG=30°，根据等角对等边可得出AG=AE=2，在（1）中已经求出了AG的表达式根据得出的等量关系即可求出t的值；
（3）本题只需证FH是定值即鈳；
（4）本题要分两种情况：
①点F在C点左侧时，如果F、C是BH的三点分点那么F必为BC的中点，因此BF=3由此可求出t的值；
②当点F在C点右侧时，同①可知：BF=2BC=12由此可求出t的值．