南华大学船山学院2010—2011学年第一学期 《高等数学A》考试试卷

一．填空题（本题共5小题每小题4分，共20分）

与x轴、y轴和直线x?4所围成的面积是14?x

3.已知曲线y?f(x)上的任一点(x,f(x))的切线斜率是 曲线方程而且曲线经过定点(2,0)，则

二．选择题（本题共5小题每小题4分，共20分）

1.已知F(x)具有二阶连续导数F''(x)则下面正确的是（ ） A.

A. 其连續性无法判定。 B. 是可导的 C. 是连续的，但不可导 D. 是不连续的。

三．计算题（本题共6小题共38分） 1. 求 lim

四. 证明题（22分） 1.证明：当x?[0,

2.设f(x)在[1,2]上连續，在(1,2)内可导且f(2)?0，证明：至少存在一点??(1,2)使得

3.设f(x)在[0,??)上连续且单调减少，试证明对任何b?a?0皆有：

《高等数学A》考试试卷答案

一．填空题（本题共5小题，每小题4分共20分）

二．选择题（本题共5小题，每小题4分共20分）

三．计算题（本题共8小题，共38分）

的极小点极小值是f(?1)??5 和 f(3)??27

又f(0)?0，f(x)可导必连续从而得C?0 所以 f(x)?x3?2ax2 于是两边求定积分，得：a?

?当0?x???当0?x??

又?当??x?时f '(x)?0，f(x)單调减少

综上所述，当x?[0,

?根据拉格朗日中值定理至少存在一点??(1,2)

，f(2)?0 （或直接在[1,2]上应用罗尔定理即可证得） ，F(2)?F(1)?0

在[0,??)上连續?F(u)在[0,??)上可导，又显然有F(a)?0

对F(u)求导，得：当u?0时

在[0,??)上单调减少?当u?x时，f(u)?f(x)?0

从而，F(u)在[0,??)上是单调减少的于是当b?a?0时，有：