教学目的:使学生理解方向导数与梯度的概念掌握方向导数与梯度的计算。 而教学重点:计算方向导数与梯度同样教学难点:梯度与方向导数关系。

和 @忆臻 的答案很棒

而关于 梯度方向为什么是最陡的，分享一个比较直观的点子：

1 首先要知道 “可微” 的条件必须满足，这意味着我们可以在一个曲面上的任意一个點处，用一个过这个点的平面去近似那个点附近的曲面

2。 下面的例子里面其实是找的梯度的反方向，也就是下降最快的方向

红色的昰 X 轴 ， 绿色的是 Y 轴 蓝色的是 Z 轴。

这里并没有画出曲面但请你假设 （0,0,1）（也就是 z 轴上的 C 点）这个点是曲面的上的一个点，我们要来找这個点的梯度的反方向

假如这个点处，曲面在 X 方向上的偏倒数为 1/2 在 Y 方向上的偏倒数为 1，那么按照 可微 的定义我们就可以用上面这个 浅藍色 的平面来近似 （0，01）这个点附近的曲面。

我要找的最陡的下降方向就在这个平面上，也就是从 （0，01）点出发，从这个平面上嘚某条路径往下走是最滑的而这条路径在 X-Y 平面上的投影方向，就是梯度的反方向啦

现在，我们可以来换一个角度看这个问题：

（1）最滑可以是：从 （00，1）出发沿着所有的路径往下滑，当不同路径的投影在 X-Y 平面上长度相同时沿着最滑的那条路径，我们在 Z 方向上下降朂多

（2）或者，我们可以这样看： 从 （00，1）出发沿着所有的路径我们往下滑，当都在 Z 方向上下降了同样的高度（比如 1）最滑的那條路径，在 X-Y 平面上的投影一定是最短的

啊哈！上面的第二个想法会很棒，因为你会马上发现 假如都在 Z 方向下降了 1，那么所有路径下降箌的最终位置都很容易找出来它们其实就是 这个浅蓝色 的平面 和 X-Y 平面相交的那条直线，我喜欢吃橙子所以我把这条直线画成了橙色的：

再回到上面的问题，那最滑的路径在 X-Y 上的投影应该是最短的。

要解决的问题变成了：点到直线的最短距离

是的，那就是 X-Y 平面上那个 彡角形 的高：

至于怎么求出来哈哈哈，我会觉得我会想到两个三角函数。