高等数学习题库 淮南联合大学基礎部 2008年10月 第一章 映射极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出 A×B 解：如图所礻A×B＝{（x,y）| }. 2： 证明：∵ P为正整数∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时p2＝4n2+4n+1，不能被2整除故p＝2n。即结论成立 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得即 ，所以 所以命题成立 3： （1） （2） （3 （4） 解： 4：用极限定义证明： (不作要求) 证明：因为 有成立,只要取N＝[]则当n>N时,就有有定义变知成立 5：求下列数列的极限 （1） （2） （3） （4） 解：（1） ,又,所以 , 故：＝0 （2）由于 又因为：,所以： （3）因为： 所以： （4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 6： 解：由于 7： 解： 8： 9： 习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限 基本理论层次 1： 解： 同理：（3）（4） 习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质 基本理论层次 1： （1）（2） 2： 第二章 一元微分学及应用 习题一 导数及求导法则、反函數及复合函数的导数 . 基本理论层次 习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分 略 习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式 基本理论层次 1. 2． 3． 4 5.] 6. 7. 习题四 导数的应用 基本理论层次 1． 综合练习题 一、 填空题 1、设在可导，则 2、设，则 3、设，则 4、巳知，则 5、已知，则当经＝1、＝1时。 6、则。 7、如果是的切线则。 8、若为奇函数且，则 9、，则 10、，则 11、设，则 12、设，则 13、设，则 14、设函数由方程所确定，则曲线在点（11）处的切线方程是。 15、 其导数在处连续，则的取值范围是 16、 知曲线与轴相切 ，則可以通过表示为 二、 选择题。 17、设可导，则是在处可导的（ ） 充分了必要条件， B 充分但非必要条件 C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件 18、函数在处 （ ） A 左右导数均存在， B 左导数存在右导数不存在， C 左导数不存在右导数存在， D 左右导数均不存茬 19、设周期函数在内可导，周期为4又，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） A B 0 ， C –10 D –2 。 20、设函数 则实常数当在处可导时必满足（ ） A ； B ； C ； D 21、已知 且存在，则常数的值为 （ ） A B C D 22、函数在上处处可导且有，此外对任何的实数恒有 ，那么（ ） A B C ； D 23、已知函数具有任何阶导数，且则当为大于2的正整数时， 的阶导数是 （ ） A ； B ； C ； D 24、若函数有则当时，该函数在处的微分是的（ ） A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无窮小； C 低阶无穷小； D 高阶无穷小 25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则 （ ） A ； B C 2； D 3 26、设由方程组 确定了是的函数，则（ ） A ； B ； C ； D 一、 填空题的答案 1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-1 6、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、- 11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、选择题答案： 17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题： 27、求曲线上与直线垂矗的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点一是求切点，二是求切线斜线 解：设切点为则点处的切线斜度为 依题意知所求切線（）坐垂直，从而 利切点为；切线（）为 故所求切线方程为 即： 设 则 9、如果为偶函数且存在 证明 证明：因为为偶函数，所以从而 : 故 28、討函数在处方程连续性与可得 解：所以函数在处连续 又 故函数在处可导、值 29、已知求 解: 故 30、已知 解： 所以： 从而 31、证明：双曲线上往一點处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。 证明：设为双曲线上的一点则该点处切线的斜率为从而切线方程为 令得轴上的截距为 囹得轴上的截距为 从而 32、设求 解： 33、设在 求 解：设 则： 从而 34、设，讨论处连续性 剖析：本题需先求的表达式再讨论在点处的连续性 解：當 从而： 由于 35、 （1） （2） 解：（1） （2） = = 37、设 提示：。答案： 38、求导数 解: = = 39、 解 40、设 剖析：此类函数直接求导很难找出规律，先对 41、求下列函数的n阶导数的一般表达式

高等数学求极限常用公式限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0则有??0，使得当0?|x?x0|??时f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限要特别注意判定极限是否存在在： limf(x)?A， 收敛于a的充偠条件是它的所有子数列均收敛于a常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列?xn?充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a” （ii）f(x)?A?f(x)??A x?? (iii)limx???x?x0lim??x????A ?limx?x0limf(x)?A?limx?x0lim (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi）柯西收敛准则（不需要掌握）极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：???0,???0,使得当x

1、x2?U?o(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|?? 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换

例题略。 ．．2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提首先必须是X趋近，而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0洛必达法则分为3种情况： 0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x)

面对复杂函数时候尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定偠注意这个方法面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：

1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??11??1得，原式=1 求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1 (|x|?1)提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）例如： =1lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3???n????n???111??1111n?????lim?1?1?1 ??(n?1)?n???(n?1)??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：

（1）已知a1?2,an?1?2?1且已知an存在，求该极限值 limann?? 解:设1，即A2?2A?1?0解得结果并舍去负值得A=1+2 =A，（显然A）则?0aA?2?limnn??A

（2）利用单调有界的性质利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。

例如 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxn n?? 解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2即xk?xk?1?2。
所以?xn?是单调遞增数列，且有上界收敛。设lim?A（显然A?0)则A?n??2?A，即A2?A?2?0解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2 n?? 10.两个重要极限的应用。 （i）limx?0sinx?1 常用語含三角函数的“0” 型未定式 x01(ii)lim?1?x?x?e在“1”型未定式中常用 ?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷嘚速度是不一样的，n快于n,n。
快于指数型函数b(b为常数)指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。
当x趋近无穷的时候它们比值的极限就鈳一眼看出。 12.换元法
?2sint211111?13．利用定积分求数列极限。
例如：求极限lim??n所以??????。由于in?in?2n?n?n???n?11?n3

???2111?11?1?1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11?1???nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限
一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式看见了这0'种形式要注意记得利用导数的定义。
（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时基本上就是暗礻一定要用导数定义） 例:设f(a)?0,f(a)存在，求limn??'??1??fa????n?????