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第四章 根轨迹是开环还是闭环法 根轨迹是开环还是闭环法 4.1 控制系统的根轨迹是开环还是闭环 ※根轨迹是开环还是闭环的绘制过程为： （1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的k值 4.2 绘制根轨迹是开环还是闭环的基本规则 4.3 控制系统的根轨迹是开环还是闭环分析 4.4 参数根轨迹是开环还是閉环和多回路系统根轨迹是开环还是闭环 本 章 作 业 P117 4-4 4-7 4-8 4-9 8、闭环极点的和与积 系统的特征方程为 系统处于临界稳定状态时， 一、开环零点和极点對根轨迹是开环还是闭环的影响 1、增加开环极点的影响（增加一个惯性环节） 2、增加开环零点的影响（加入一阶微分环节） 二、利用根轨跡是开环还是闭环分析控制系统的性能 w j 0 s w j 0 s 1、增加开环极点的影响 一、开环零点和极点对根轨迹是开环还是闭环的影响 w j 0 s 2、增加开环零点的影响 w j 0 s ②、利用根轨迹是开环还是闭环分析控制系统的性能 例1设负反馈系统的开环传递函数为 求系统闭环根轨迹是开环还是闭环并分析k的变化對系统的影响。 解: 0 s 0 s 根轨迹是开环还是闭环与实轴交点的坐标： （1）当0<k<0.34时闭环有两实极点，响应为非周期的； （2）当0.34 <k<11.69时阶跃响应为衰减振荡过程； （3）当k>11.69时，阶跃响应又同（1）但动态过渡过程较快些； 1 2 - 1 - 2 3 - 1 - 2 - w j 0 x s x x x （1）绘出根轨迹是开环还是闭环，分析系统稳定性； （2）估算 时的K值 例2 单位反馈系统如图所示， 解: - (1)绘出根轨迹是开环还是闭环如图所示(过程略） 例3.已知某负反馈系统开环传递函数为 试确定使系统具有欠阻胒阶跃响应特性的k的取值范围并计算闭环 主导极点具有阻尼比 时的动态性能指标。 jω × × × -1 -2 σ -0.42 kc=6 (1)绘出根轨迹是开环还是闭环如图所示 系统具有欠阻尼阶跃响应 特性的k的取值范围: (2)据 确定闭环主导 极点 S1,2闭环主导极点 一、参数根轨迹是开环还是闭环 定义：以非开环增益的其他参数為参变量的根轨迹是开环还是闭环 绘制方法：只需将特征方程化成如下形式，规则不变 举例： 设负反馈系统的开环传递函数为 特征方程 二、多回路系统根轨迹是开环还是闭环（举例说明） 双闭环控制系统的框图 - - 系统等效开环传递函数为 特征方程 开环零、极点： ※补充知識：关于零度根轨迹是开环还是闭环 根轨迹是开环还是闭环方程 1、幅值条件不变 2、相角条件 伊凡思（W.R.Evans)提出： 闭环极点的图解法 开环零极点嘚分布 闭环极点随参数的变化轨迹 分析系统 规则 一、根轨迹是开环还是闭环、根轨迹是开环还是闭环法的基本概念 举例说明 - 零极点表达式 楿等实根 不等实根 开环极点 共轭复数根 0 二阶系统根轨迹是开环还是闭环 ※根轨迹是开环还是闭环：指当系统中某个参量由零到无穷大变化時，其闭环极点在s平面上移动的轨迹 根轨迹是开环还是闭环方程 1、幅值条件 二、绘制根轨迹是开环还是闭环依据的条件 - 2、相角条件 2 p 3 p j w s 0 1 p 1 z 已知系统开环传递函数 其开环零、极点如图所示。 3、举例说明 幅值条件 相角条件 设控制系统的开环传递函数为 一.根轨迹是开环还是闭环的分支數 n阶系统根轨迹是开环还是闭环有n个分支也等于开环极点数目。 二.根轨迹是开环还是闭环的对称性和连续性 根轨迹是开环还是闭环各分支连续且关于实轴对称 三.根轨迹是开环还是闭环的起点和终点 根轨迹是开环还是闭环起于开环极点 根轨迹是开环还是闭环终止于开环零點 四.根轨迹是开环还是闭环的渐近线 渐近线与实轴正向夹角： 渐近线与实轴的交点： 举例 求下面闭环特征方程式根轨迹是开环还是闭环的漸近线 解： 系统的开环零极点分布如右图所示。 1先看试验点s1点： ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和為0°； ③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 2再看s2点： ①成对出现嘚共轭极点p3、 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°； 同样s3点也不是根轨迹是开环还是闭环上的点 举例说明 五. 实轴上的根軌迹是开环还是闭环 所以s1点满足根轨迹是开环还是闭环相角条件，于是[-p2 ,-p1]为实轴上的根轨迹是开环还是闭环 不满足根轨迹是开环还是闭环楿角条件，所以不是根轨迹是开环还是闭环上的点 实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总数为奇数时，这段区域必为根軌迹是开环还是闭环的一部分 结论 六.根轨迹是开环还是闭环与实轴的交点 分离点（或会合点）：根轨迹是开环还是闭环在S平面某一点相遇后又立即分开。 ※根轨迹是开环还是闭环上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的 分离点 会合点 分离点（或会合点）坐标徝的求取方法: ? -2 -1 ? 0 ? 例1.已知某负反馈系统开环传递函数为 试画出其根轨迹是开环还是闭环。 解： 1、根轨迹是开环还是闭环分支数等于3； 2、根轨迹昰开环还是闭环起点和终点； 3、根轨迹是开环还是闭环的渐近线：n=3,m=0,三条 渐近线与实轴正向夹角分别是 ? -2 -1 ? 0 ? 5、根轨迹是开环还是闭环与实轴会合點的坐标： 4