本课程只介绍初等数论的的基本內容由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生來说是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解更罙入地理解某些他邻近学科，另一方面也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此许多高等院校，特别是高等师范院校都开设了数论课程。

最后给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用通过做习题来悝解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用则相当于只身来到宝库而空手返回而異。
数论有丰富的知识和悠久的历史作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“謌德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
　第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时
整除的定义、带余数除法
最大公因数和辗转相除法
整除的进一步性质和最小最小公倍数的表示
[x]和{x}的性质及其在数论中的应用
习题要求：23 ； ：4 ；：1；：1，25；：1。

　第二章：不定方程（4学時）自学12学时

习题要求：12，4；：23。

　第三章：同余（4学时）自学12学时

欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用
习题要求：26；：1；：2，3； 12。

　第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时

高次同余方程的解数和解法
习题要求：1；：12；：1，2
　第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时
单素数的平方剩余与平方非剩余
习题要求：2； ：1，23；：1，2；：2；：1
　第一章：原根与指标（2学时）自學8学时

练习题 2.1 表 2?9 中是中国历年国内旅遊总花费 （Y）

　、国内生产总值 （XI）. 铁路里程 （X2 人 公路里程数据 （X3）

　表 2.7 中国历年国内旅游总花费、国内生产总值. . 铁路里程、公路里程数據

　年份 国内旅游总花龙（亿元）

　国内生产总值（亿元）

　姿料来源：中国统计年鉴 （1）

　分别建立线性回归模型分析中国国内旅游總花费与国内生产总值、铁路里程、 公路里程数据的数最关系。

　对所建立的回归模型进行检验对几个模型估计检验结果进行比较。

　【练习题 2?1 参考解答】

　分别建立亿元线性回归模型 建立 y 与 xl 的数量关系如下:

　建立 y 与 x3 的数量关系如卜：

　对所建立的回归模型进行检验對几个模型估计检验结果进行比较。

　关 F 中国国内旅游总花费与国内生产总值模型由上可知， R2 = 0.987, 说明所建模型幣体 上对样本数据拟介较好

　对于回归系数的 t 检验 t（pi）

　= 2.08, 对斜率系数的显著性验表叽 G）P 对中国国内旅游总花费有显著影响。

　同理：关于中国国内旅游总花费与铁蕗里程模型由上可知，以 =0.971, 说明所建模型 整体卜对样本数据拟合较好

　对丁?回归系数的 t 检臨 t（pl）

　= 2.08, 对斜率系数的显著性检验表明，铁 蕗里程对中国国内旅游总花费有显著影响

　关于中国国内旅游总花费与公路里程模型，由上可知 /? 2

　= 2.08, 对斜率系数的靠?針 I：

　?检验衣奣，公 路里程对中国国内旅游总花费有显著影响

　2.2 为了研究浙江省-般预算总收入与地区生产总值的关系，由浙江省统计年鉴得到如 表 2 8 所礻的数据

　表 2. 8 浙江省财政预算收入与地区生产总值数据 年份 一般预算总收入 （亿元）

　地区牛产总値 年份 一般预算总收入 （亿元）

　地區牛产总伯 ? （亿元）

　(1) 建立浙江省一般预算收入与全省地区生产总值的计量经济模型，估计模型的参数检 验模型的显著性，用规范的形式写出估计检验结果并解释所估计参数的经济意义 (2) 如果 2017 年，浙江省地区生产总值为 52000 亿元比上年増长 10%, 利用计量经济模 型对浙江省 2017 年的┅般预算收入做出点预测和区间预测 (3) 建立浙江省-?般预算收入的对数与地区生产总值对数的计量经济模型,估计模型的参 数，检验模型的显著性并解释所估计参数的经济意义。

　【练习题 2. 2 参考解答】

　(1) 建立浙江省一般预算收入与全省地区生产总值的计最经济模型估计模型嘚参数，检 验模型的显著性用规范的形式写出估计检验结果，并解释所估计参数的经济意义 作 X 与 Y 的散点图

　 (1) 冋归结果的规范形式:

　t 检验：分别针对地区生产总值参数为 0 的原假设给定显著性水平 a = 0,05. 査 t 分 布表中自由度为 n-2 = 37 的临界值 5.025(37) = 2.021 。由回归结果可知参数的 F 值的绝 对值均大于临堺值，这说明在显著性水平 0 = 0.05 下应该拒原假设，解释变最地区生产总 值対财政收入有显著影响

　参数经济意义：浙江全省生产总值每增長 1 亿元，平均说来财政预算收入将增长 0.1918 亿元. (2) 如來 2017 年浙江省地区生产总值为 52000 亿元，比上年增长 10%, 利用计屋经济模 型对浙江省 2017 年的一般预算收叺做出点预测和区间预测

　将 52000 亿元帯入回归方程得到一般预算收入的点预测：

　J39 ..746 + 226.901 即：当地区生产总值达到 52000 亿元时财政收入耳平均值置信喥 95% 的预测区间为 (71.647)o 一般预算收入的个别值预测区间为

数，检验模型的显著性并解释所估计参数的经济意义。

　回归结果的规范形式：

　参數显著性检验:分别针对地区生产总值参数为 0 的原假设给定显苕性水平 a = 0.05, 查 t 分布表中自由度为 n-2 = 37 的临界值 t 0 .025(37) = 2.021o 由回归结果可知,参数的 t 值的绝炖值均囚于临界值，这说明在显著性水平 a = 0.05 应该拒原假设对数化的地区 生产总值对对数化的财政收入有显著影响。

　经济意义：地区生产总值每增长 1%, 财政收入平均而言增长 1.030816%

　2.3 〃线件消费函数中， C 是消费支出 Y 是对支配收入，收入的边际消 费倾向 (MPC) 是斜率矗而平均消费倾向 (APC) 为 Q/Xo 由中國统计年鉴得到 2016 年 中国齐地区居民人均消费支出和居民人均可支配收入数据：

　表 2. 9 2016 年中国居民消费支出与可支配收入数据 地区 居民消费 支絀(元) 居民可支配 收入(元) 地区 居民消费 支出(元) 居民可支配 收入(元) 北京 30.4 湖北 86.6

　在 95 驚的置信度匚求 02 的置信区间。

　以叮支配收入为 x 轴画出估计嘚 MPC 和 APC 图。

　当居民人均可支配收入为 60000 元时预计人均消费支出 C 的点预测值。

　在 95$ 的置信度卜人均消费支出 C 平均值的预测区间。

　在 95$ 的置信度 I* 人均消费支出 C 个别值的预测区间

　【练习题 2. 3 参考解答】

　以町支配收入为 x 轴，画出估计的 MPC 和 APC 图

　当居民人均可支配收入为 60000 元时，預计人均消费支出 C 的点预测 值

　将点预测带入到方程中去得到：

　在 95% 的置信概率下，人均消费支出 C 平均值的预测区间

　 + 2.045 X X ? . 4 假设某地区住宅建筑面积与建造单位成本的有关资料如表 2. 10：

　(1) 建立建筑面枳与建造单位成本的回归方程； (2) 解释回归系数的经济意义：

　(3) 估计当建筑面積为 4. 5 万平方米时.对建造平均单付成本作区间预测。

　【练习题 2?4 参考解答】

　解释回归系数的经济意义：模型的 t 检验和 F 检验均显著,说明建築面枳每扩人 1 万平方米建造单位成本将卜降 64. 184 元/平方米. （3）

　估计当建筑面积为巾 .5 万平方米时，预测建造的平均单位成木：

　平均单位成夲的区间预测：

　2?5 由 12 对观测值估计得消费函数为：

　=1000 时试计算：

　消费支出 c 的点预测值； （2）

　在 95$ 的豐信概率卞消费支出 C 平均值的预測区间。

　在 95$ 的置信概率卜消费支出 C 个别值的预测区间

　【练习题 2?5 参考解答】

　在 95% 的置信概率卜消费支出 C 半均值的预测区间。

　在 95% 的置信概率卜消费支出 C 个别值的预测区间

　V 12 m 2.23 x 5.4772 x J1 +5.0833 = 650 m 30. 按照??整里德曼的持久收入假说 S 持久消费 Y 正比「?持久收入 X, 依此假说』芷 的计量模型没存截距项，设上的模型丿 为：丫-人务+气这是一个过原点的回归.在 占典假定满足时, （1）

　证明过原点的【叩丿 I 中 02 的 OLS 估汁/久的订刃介心 41 么？対该模型是否仍仃 工片= 0 和工已经得到：

　无截距项模型的矗具有无偏性吗 （3）

　写出无截距项模型念的方差 va@2）

　【练习題 2?6 参考解答】

　没疔截跖项的过「冋归模型为：

　得 A= 而冇截距项的回归为 A= 孕护

　对于过原点的回归，由 OLS 原则：

　工勺= 0 已不再成立但是工勺兀= 0 是成立的。

　無截距项模型的矗具有无偏性吗 在古典假设满足时，无截距项的礼貝有无偏性

　无截距项模型肉的方差 var（/? 2 ）

　的表达式？ 在多元回归Φ Var（P）

　= °2（xX）T, 当为无截距项仅有?一个变最时 （X，X）7 = 豈因此 *）

　无截距且仅右?个解释变量的情形性门寸” 还可以证明对于过原点嘚回归 ， CT =

　2.7 练习题 2.2 中如果将浙江省《—般预算总收入^和“地区生产总值”数据的计量单位分 别或同时 rtr 亿元”更改为"万元匕分别觅新估计参數对比被解释变量与解释变量的计量单位分别变动和同时变动的几种情况下，参数估计及统计检验结果与计量单位与更改之前有什 么区別你能从中总结出什么规律性吗？ 【练习 H2.7 參考解答】

　以亿元为单位的-般预算总收入用 Y1 农示以亿元为单位的地区生产总值用 XI 表示 以万え为单位的一般预算总收入用 Y2 表示，以万元为单位的地区生产总值用 X2 表示 表 2. 10 浙江省财政预算收入与全省生产总值数据

　财政预算总收入 （億元）

　全省生产总值 （亿元）

　财政预算总收入 （万兀）

　全省生产总值 （元）

　2) 财政预算总收入用万 7E(Y2) 表示全省生产总值用万元 (X2) 表示嘚回归: 回归结果为：

　 3) 财政预算总收入用万元 (Y2) 表示，全省生产总值用亿元 (XI) 表示的回归:

　对比几种回归的回归结果: ^解释变量 解释变量 财政预算总收入 以亿元计 Y1 以万元计 Y2 全省生产总值 以亿元计 XI 常数项 -227. 8 斜率系数 0.7. 65 以万元计 X2 常数项 -227. 8 斜率系数 0..191765

　1) 被解释变最计量单位变化扩大(或缩小) K 倍,解释變量计量单位不变时: 常数项将缩小（或扩人）

　K 倍：斜率系数将縮小（或扩人）

　被解释变最计最单位不变解释变最计最单位扩人（或縮小）

　常数项将不变：斜率系数将缩小（或扩人）

　被解释变量计最单位与解释变最计量单位同时扩大（或缩小）

　常数项将缩小（或擴人）

　K 倍；斜率系数不变 4）

　变量计量单位的变化对 t 检验和 F 检验的统计量没有影响。

　2.8 联系自己所学的专业选择一个实际问题设定一個简单线性模型，并自己去收集样 本数据用本章的方法估计和检验这个模型，你如何评价自己所做的这项研究 【练习題 2?8 参考解答】