设A为什么是n阶矩阵阵且R(A)=r.如果A²=A

点击联系发帖人 时间：2020-01-07 16:20

什么是n阶矩阵

必要性（?）设BTAB为正定矩阵则对於任意的实n维列向量x≠0，都有：xTBTABx＞0即（Bx）TA（Bx）＞0．所以：Bx≠0．因此，Bx=0只有零解故有r（B）=n．充分性（?）如果r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解从而对于任意的实n维列向量x≠0，都有：Bx≠0．又因为A为正定矩阵故有：（Bx）TA（Bx）＞0，即：xTBTABx＞0．所以BTAB为正定矩阵．

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（1）因为AB=0所以B的列向量均为AX=0的解，则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩），从而r（A）+r（B）<=n

（2）设a1…，an为A的列向量b1，…bn为B的列向量，不妨设a1…，ar为A的列向量的极大线性无关组b1，…bl为B的列向量的极大线性无关组，則a1…，an均可由a1…，ar线性表出b1，…bn均可由b1，…bl线性表出，从而A+B的列向量a1+b1…an+bn均可由a1，…ar，b1…，bl线性表出从而r（A+B）<=r（a1，…ar，b1…，bl）<=r（a1…，ar）+r（b1…，bl）=r（A）+r（B）

定理：矩阵的行秩列秩，秩都相等

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n则A的列秩，秩都等于n

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零。

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设A*是n阶方阵A的伴随矩阵,若R（A*）＝n,則R（A）=?

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