中的一个二阶微分算子算子定義为

（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在

n维欧几里德空间的二阶微分算子算子

可能是椭圆型算子双曲型算子

中的一个二阶微分算子算子，定义为

是二阶可微的实函数则

的拉普拉斯算子定义为：

的拉普拉斯算子也是笛卡尔

作为一个二阶微汾算子算子，拉普拉斯算子把

≥2时成立算子Δ :

)，或更一般地定义了一个算子Δ :

另外，满足▽·▽f=0 的函数f, 称为

代表 x-y 平面上的笛卡尔

是偏微分算子方程的一个类型，简称椭圆型方程这类方程主要用来描述物理中的平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等

成立的区域内就称方程是椭圆型的。此时可以通过自变量的非奇异变换将方程化为标准型

。该偏微分算子算子的主部是

中每一点都是椭圆型的就称该方程在

这个算子叫拉普拉斯算子（Laplace operator），也叫调和算子可以说，调和方程是最基本同时也是最重要的线性椭圆型方程。

中的拟线性椭圆型方程。类似地可以定义高阶拟线性椭圆型方程。