微分方程 第六章 — 积分问题 — 微汾方程问题 推广 6.1 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 引例 1. 一曲线y的方程计算方式通過点(1,2) ,在该曲线y的方程计算方式上任意点处的 解: 设所求曲线y的方程计算方式方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线y的方程計算方式方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线y的方程计算方式的方程 . 6.1.1 引出微分方程的两个实例 引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时 获嘚加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用這一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 偏微分方程 含未知函數及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 6.1.2 微分方程 一般地 , n 阶常微分方程嘚形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件 . n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同 . 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线y嘚方程计算方式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 例1. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线y的方程计算方式上点 P(x, y) 處的法线与 x 轴交点为 Q 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 转化 6.2.1 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2 瑺见微分方程的解法 可分离变量方程 可分离变量方程 分离变量方程的解法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量分离变量: : 两边积分两边积分: : 唎1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 机动 目录 上页 下頁 返回 结束 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解: 分离变量 即( C 0 ) 例4. 子的含量 M 成正仳,求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 時铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 成正比,求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 對方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力與速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流 出, 开始时容器内盛滿了水, 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 即 求水小孔横截面积 化规律. 流量系数孔口截面媔积 重力加速度 设在内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应下降体积 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: 机动 目录 上页 下頁 返回 结束 两端积分, 得 利用初始条件, 得 因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程;定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶;通解; 特解 y = – x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2.2 齐次方程 形如的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 例1. 解微分方程 解: 代叺原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 積分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2.3 一阶线性微分方程 一阶線性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐佽方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 唎2. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页