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在完成證明收敛数列必有界之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列.
证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况：
情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为“龙头”的项依次取出来,得箌一个严格递减的数列；
情况2 这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”,取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取數列的第一项）,记作a(i(1)),由于a(i(1))不是“龙头”,在它后面必有一项a(i(2)),满足 a(i(1))i(1) ；又因为a(i(2))也不是“龙头”,在它后面也必可找到一项a(i(3)),满足 a(i(2))i(2) ；依次进行下去,得到嘚子列a(i(n)),它显然是一个递增的子列.
所以 任一数列中都能取出一个单调子列.
下面证明收敛数列必有界 数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
证明收敛数列必有界：当数列a(n)有界,对a(n)中的任一子序列a(i(n)),利用上述结论,能从a(i(n))中取出一个单调的子序列 a(i(n(k)))；又因为a(n)有界,那么a(i(n(k)))也有界,單调有界数列必有极限,所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.
综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
如有不理解的地方可再细问,