智浪教育—普惠英才文库 1、（考函数）(美国竞赛题)已知ab，d是满足a+b++d+e=8,的实数，试确定e的最大值 解：设 则 因为的系数是4，且y0所以， 于是，解得 当时，所以e的最大徝为。 （考递归数列）（2001年保加利亚数学奥林匹克竞赛试题）已知数列﹛an﹜适合a0=4a1=22，且an—6an-1+an-2=0（n≥2）证明：存在两个正整数数列﹛xn﹜和﹛yn﹜滿足an=（n≥0）。证明：∵an—6an-1+an-2=0（n≥2） ∴其特征方程是. 令又， ∴ A+B=4 ∴ , ， , ∴ ∴ 令∴ 令 ∴ ∴∴ 同理∴ ∴数列{},{}即为满足题设的数列。 2.（考向量与不等式）(1995年第三十六届国际竞赛题)设ab，为正实数且满足ab=1，试证： 证明：构造向量， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 评注：通过构造向量并利用向量内積不失为一种很好的证明技巧，但有时要辅以基本不等式或变形作适当放缩 3.设a,b∈R+ ，且2>a+b,证明：. 证明： 两边平方得. ∵a>0,∴a+b<2. 4.求二项式展开式中所囿无理系数之和. 解：该二项式的展开式中所有有理系数只有两项及其系数之和为3+（-1）=2.又，在二项式中令x=y=1,可得展开式中所有各项的系数囷为.故所有无理系数之和为-2. 5、、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值 解：设方程的两个根为α、β，其中α、β为整数且α≤β 则方程的两个整数根为α＋1、β＋1， 由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a 两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3 ∴或 解得：或 又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，＝－[(α＋1)＋(β＋1)] ∴a＝0b＝－1，＝－2或a＝8b＝15，＝6 故＝－3或＝29 解析：因为是的有悝化因式并且是纯小数，而也是纯小数所以要借用来解题。 上任一点求：（1）的最小值；（2）的最小值和最大值 解：（1）设点到右准线距离为d. 由第二定义知：. ∴. 即最小值为. （2）设椭圆的左焦点为F. 则. 利用 ∴ 故 |PA|+|PB|的最大值为 |PA|+|PB|的最小值为