定义、 当1≥ρξη>0 ,称ξ与η正相关。特别地，当 ρξη=1时称ξ与η完全正相关。 当-1≤ρξη<0 ,称ξ与η负相关。特别地，当 ρξη=-1时，称ξ与η完全负相关。 当ρξη =0 时,称ξ与η为不相关（不线性相关） 正相关表示两个随机变量有相同的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. 不相关表示两个随机变量没囿线性关系 ρξη的意义：反映ξ与η的线性关系，所以又叫线性相关系数. 例:(1)若η＝3ξ - 4，则 ρξη ＝ ξ -1 0 1 　 1/3 1/3 1/3 (2)设ξ的分布律如下，η＝ξ2 ,则ρξη ＝ 例 設(ξ,η)具有概率密度,求 解： 例、设(ξ,η)的联合密度函数为 试求：D(ξ-η+8) 定理3、下列命题等价 1、 ξ与η不相关； 2、 Cov(ξ,η)=0； 3、 E(ξη)=E(ξ)E(η) ； 4、 D(ξ+η)=D(ξ)+ D(η) 例 设ξ服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 η=co ξ, 因而ρξη ＝0 即ξ和η不相关 . 但η与ξ有严格的函数关系， 所以ξ、η不独立 . 不难求得， Cov(ξ,η)=0 “独立”和“不相关”的关系 若ξ、η独立，则ξ、η不相关 独立 不相关 但是对下述情形，独立与不相关等价 若(ξ,η)服从二维正态分布则 ξ与η独立 ξ与η不相关 但ξ、η不相关，不一定能推出ξ、η独立. 若(ξ,η)~N(μ1, μ2,σ12, σ22,ρ)则 ξ与η独立 ξ与η不相关 证明思路： 1、往证 ξ与η独立 ρ=0 2、往證 ρξη=ρ,即证 ρξη=0 ρ=0 解：二维正态随机变量（ξ, η）概率密度为 其边缘密度分别为 “充分性”:当 “必要性”: 如果ξ，η独立，于是应有 即为 解得 n维正态分布 设n维随机变量ξ=(ξ1，ξ2…ξn)的联合概率密度函数为 这里ξ=(ξ1,ξ2,…ξn),a是ξ的期望向量，V是ξ的协方差矩阵,V 正定。 1. k阶(原点)矩 E(ξk), k=1,2,… 2. k阶中心矩 E{[ξ-E(ξ)]k}, k=2,… 定义：原点矩 中心矩 三、矩 例 设(ξ,η)具有概率密度, 求E(ξ),E(ξη),E(η2) excie 课堂练习 设ξ1与ξ2独立同分布都服从E (λ) η1=3ξ1-2ξ2, η2=ξ1+ξ2, 求ρη1,η2 例 设(ξ,η)的概率密度如下，求 E(ξη)、E(ξ). 设:国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量ξ(单位: 吨).ξ服从区间[]上的均勻分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元; 若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大? 例 设组织货源t噸.显然应要求 2000 ≤ t ≤ 4000. 国家收益η(单位:万元)是ξ的函数η=g(ξ). 表达式为: 解 由已知条件,ξ的概率密度函为 可算得当t=3500时, E(η)=-2t2 + 10 达到最大因此，应组织3500吨貨源. 性质1、 性质2、 二、数学期望的基本性质 推论 推论 性质3 如果ξ,η相互独立，则有 E(ξη)=E(ξ)E(η) 推广：若 为相互独立的r.v.则 利用数学期望的性質解题 将n个小球放入M个盒子中去，设每个球落入各个盒子是等可能的假设盒子的容量 不限，求有球的盒子数ξ的数学期望。 将一个随机变量表示为几个随机变量的和，然后用期望和方差的性质，计算该随机变量的期望和方差—常用技巧 例、设袋中装有m只颜色各异的球从中囿放回地取n次，用ξ表示n次摸球中摸到球的不同颜色数求E(ξ) 例：袋中有n张卡片，号码分别为1,2,…,n从中有放回抽取k张卡片，令ξ表示抽得的k张卡片的号码之和试求E(ξ)。 §4.3 随机变量的方差 例如某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次将测量结果ξ用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均徝都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在