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我们首先知道信息熵是考虑该随机变量的所有可能取值即所有可能发生事件所带来的信息量的期望。公式如下：

我们的条件熵的定义是：定义为X給定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望

这个还是比较抽象，下面我们解释一下：

设有随机变量（X,Y）其联合概率分布为 

条件熵H（Y|X）表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X)

下面推导一下条件熵的公式：

注意这个條件熵，不是指在给定某个数（某个变量为某个值）的情况下另一个变量的熵是多少，变量的不确定性是多少而是期望！

因为条件熵ΦX也是一个变量，意思是在一个变量X的条件下（变量X的每个值都会取）另一个变量Y熵对X的期望。

下面通过例子来解释一下：

设随机变量Y={嫁不嫁}

我们可以统计出，嫁的个数为6/12 = 1/2

为了引出条件熵我们现在还有一个变量X，代表长相是帅还是帅当长相是不帅的时候，统计如下紅色所示：

可以得出当已知不帅的条件下，满足条件的只有4个数据了这四个数据中，不嫁的个数为1个占1/4

嫁的个数为3个，占3/4

当已知帅嘚条件下满足条件的有8个数据了，这八个数据中不嫁的个数为5个，占5/8

嫁的个数为3个占3/8

有了上面的铺垫之后，我们终于可以计算我们嘚条件熵了我们现在需要求：

也就是说，我们想要求出当已知长相的条件下的条件熵

根据公式我们可以知道，长相可以取帅与不帅俩種

条件熵是另一个变量Y熵对X（条件）的期望

然后将上面已经求得的答案带入即可求出条件熵！

这里比较容易错误就是忽略了X也是可以取哆个值，然后对其求期望！！

其实条件熵意思是按一个新的变量的每个值对原变量进行分类比如上面这个题把嫁与不嫁按帅，不帅分成叻俩类

然后在每一个小类里面，都计算一个小熵然后每一个小熵乘以各个类别的概率，然后求和

我们用另一个变量对原变量分类后，原变量的不确定性就会减小了因为新增了Y的信息，可以感受一下不确定程度减少了多少就是信息的增益。

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