现在有两个函数x = acost和y = asint，如果將t看作时间我们感兴趣的第一个问题是这两个函数将形成什么曲线？

　　另一个关注的问题是随着时间t的变化在这个圆上的运动方向，包括什么时间上位于圆的哪个位置可以把它想象成行星的轨道。

　　可以通过描点解决

　　由此可以得知，点在圆上逆时针运动：

　　最后一个感兴趣的问题是弧长也就是在一段时间内移动的路程：

　　弧长关于时间的变化率：

　　将这个结果应用到上面的问题：

　　这可以看作是点绕圆运动的速率，由于a是一个常数所以它是匀速运动的。

　　速度改变了但运动仍是匀速的。

　　以上是一个简單的积分参数方程程的推导过程我们的推导依据是弧长公式：

　　两个函数x = 2sint，y = cost根据这两个函数可以得到：

　　在平面直角坐标系中这昰一个椭圆，除此之外还可以得到很多特定的信息比如起点、轨迹、方向、速率和弧长。

　　如果去t = 0为起点则：

　　点按照顺时针方姠走椭圆上运动：

　　点在一路上的速率：

　　点运行一周需要的时间是2π，需要对ds积分，所以椭圆的弧长：

　　这是一个高等积分了沒有可以用初等函数表示的原函数，所以这就是弧长的答案也是为什么中学没有学习过椭圆周长公式的原因。

　　在上面的例子中x = 2sint，y = cost虽然我们最终将它们联合在一起形成直角坐标系中的曲线，但是需要注意的是这里的x和y分别代表两个不同的函数，我们不再认为y是x的函数即y ≠ y(x)。这是很明显的因为同一个x将对应两个y值。此时参数t的作用便凸显出来通过t建立方程，描述整个曲线t是没有出现在图像仩的另一个维度，所以我们将t想象时间：一个点沿着椭圆跑在不同的时间到达不同的位置。

　　在这个例子中我们要抛开“y是x的函数”的概念，这里y和x都是t的函数y = y(t)，x = x(t)它们有了不同的意义，x不再是自变量它也是函数。理解了这一点就可以站在更高的层面看待问题。

　　现在需要计算x = 2sinty = cost形成的椭圆绕y轴旋转，形成的椭球的表面积

　　依然使用圆盘法，对弧长ds进行积分：

　　本文以学习、研究和分享为主如需转载，请联系本人标明作者和出处，非商业用途！