原标题：虹野：一句话学好等价無穷小等价代换代换

虹野：一句话学好等价无穷小等价代换代换

学习微积分的同学在求极限的时候可能最喜欢也最害怕的就是“等价无窮小等价代换代换”了，这种方法可以使得计算非常的简单但是却又因为经常出错而不知所措，可谓是对无穷小等价代换爱恨交加

首先我们谈论一下为何能够使用一个无穷小等价代换代替另外一个无穷小等价代换。在求极限的时两个不同的无穷小等价代换其解析式是不哃这就意味着在变化过程中两个函数的相对应的函数值是不相同的，但是当到达极限的时候结果却又是一样的，我们可以用“殊途同歸”来解释这种现象如sin x和e^x-1在x趋向于0时是等价无穷小等价代换，在趋向于零的过程中函数值完全不一样但是其极限结果却都为零，而且從下面图形可以看到这两个函数越接近零其近似程度越高

根据极限的“局部性”的特征，在0的附近两个等价的无穷小等价代换是非常接近的，二者的极限是相等的所以在求极限的时候，对于两个完全不同的曲线来说如果在极限附近无限接近，在极限处相等我们就鈳以认为他们是“等价的”，在求极限的时候就可以进行“代换”

但是，等价无穷小等价代换代换并不是在任何的场合都可以“换”的毕竟等价的两个无穷小等价代换是两个“等价”的函数，而非是两个相等的函数所以其“代换”是有规律的。这个规律就是定理：两個无穷小等价代换比值的极限等于他们各自等价无穷小等价代换比值的极限

只有按照这个规则进行等价无穷小等价代换代换，才能个把“等价”和“相等”区分开来当然由于无穷小等价代换形式很多样，看起来似乎并非都是分子分母整体代换但是最终都还是由这个规律得到的。比如说有的等价无穷小等价代换只变了分子；比如说有低阶无穷小等价代换加高阶无穷小等价代换作为分子或者分母其结果等价于该低阶无穷小等价代换，再结合等价无穷小等价代换的传递性其形式最终大部分都可以归结为与幂函数等价。

等价无穷小等价代換代换的规律其实是非常好掌握的关键在于同学们是否分清楚了“等价”和“相等”的差异，如果能够理解了等价无穷小等价代换“殊途同归”的道理应用的熟练只是时间问题。

虹野 中华教育改进社理事