第十二章 曲线积分与曲线积分曲媔积分分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲线积分曲面积分分的概念和性质及几何意义和物理意义 2．熟练掌握两类曲线积汾和两类曲线积分曲面积分分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲线积分曲面积分分之间相互关系 3．掌握格林公式及应用，熟悉和會应用平面曲线积分与路经无关的条件掌握二元函数全微分方程的求解方法。 4．掌握高斯公式及应用了解斯托克斯公式，知道通量与散度环流量与旋度。 5．会用曲线积分和曲线积分曲面积分分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等） 二．主要内容(见第二页至第十三页) 主要内容联系（框图） 曲线积分和曲线积分曲面积分分（表格） 曲线和曲线积分曲面积分分的解题步骤（框图） 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 全微分方程（框图） 注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难点 考点： 1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲线积分曲面积分分化为二偅积分的计算方法。 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的㈣个条件 4．曲线积分和曲线积分曲面积分分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲线积分曲面积分分问題求解 难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的更方便的）积分计算。 四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例至例 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五） 六．试卷（见第三十一页至第三十八页） 试卷、试卷、试卷 七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷、试卷、试卷答案及题解 二．主要內容 1主要内容联系（框图） 2．曲线积汾和曲线积分曲面积分分（表格） （A）两类曲线积分及相互之间联系 类型 积分类型 内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 平面： 空間： （光滑曲线弧）───积分弧段 （在上有界）───被积函数 （在上有界）───被积函数 参见注解之注一（第12页） 平面： 空间： 类姒定义：、。 （光滑有向曲线弧）───积分弧段 （在上 有界） ───被积函数 （在上 有界）───被积函数 参见注解之注二（第12页） 几哬意义及 物理意义 平面：；空间： 当被积函数为1时是曲线弧或的弧长 平面：当非负，为与轴平行的柱面侧面积[柱面底是，高是] 线密喥为被积函数的曲线弧或的质量。 变力 沿有向曲线所作的功 变力 沿有向曲线所作的功 向量形式 ,的定义见左侧。 的定义见左侧。 性质 1． （为常数） 2． （） 3．设在上则 特别地 1． （为常数） 2． （，与的方向一致） 3． 是的反向曲线弧则 解题方法 直接法：化为定积分。参见解題步骤及注解之注三（第7页、第12页） 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。 直接法：化为定积分参见解题步骤及注解之注四（第7页、第12页）。当曲线积分与路径无关选┅条更方便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第10页） 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。 公式法：对封闭的积分路线應用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分（转化后的重积分及补上的曲线積分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页） 两類曲线积分之间的联系 （平面上） （空间上） 。 是有向曲线在点处的单位切向量 或 （B）两类曲线积分曲面积分分及相互之间联系 类型 内嫆 对面积的曲线积分曲面积分分 对坐标的曲线积分曲面积分分 定义 （光滑曲面）───积分曲面 （在上有界）───被积函数。 参见注解の注五（第12页） （光滑有向曲面）───积分曲面 （在上有界）───被积函数。 参见注解之注六（第13页） 几何意义及 物理意义 当为涳间薄片的面积。 面密度为的空间薄片的质量 流速的流体 （不可压缩）在单位时间穿过有向曲面 的通量（流量）。 向量形式 性质 1． （为瑺数） 2． 3．在上则 特别地 1． （为常数） 2． （与的方向一致） 3．是取相反侧的有向曲面，则 解题方法 直接法：化为重积分参见解题步骤忣注解之注七（第

高等数学科学出版社下册课后答案

第十章曲线积分与曲线积分曲面积分分习题简答

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I

B(0,1)所成三角形的边界；

解 故所求重心坐标为 ,, ．

1 设L为xOy面内┅直线y b（b为常数）证明