一维平面波动方程复数形式的复数形式怎么推导过来的

我们得到波动方程复数形式的一般形式为

对于纵波和横波式中的波速分别为

(1)波动方程复数形式是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的,一般来说它适用于各向同性的均匀介质。

(2)波动方程复数形式等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数所以该波动方程复数形式是线性的。之所鉯会得到线性方程这是因为该波动方程复数形式是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的,而这两个定律的数学表达式都是线性方程

(3)波动方程复数形式是线性方程,则从理论上保证了波动满足叠加原理如果y1y2都是波动方程复数形式的解,即以下两式成立

这表示也昰波动方程复数形式的解。是什么就是两列波的叠加。所以说线性的波动方程复数形式从理论上保证了波动满足叠加原理。

(4)胡克定律表示在比例极限以内,应力与应变满足线性关系在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变,这就是说满足上述波动方程复数形式的波,一定是振幅很小的波当这样的波传来时,所引起的介质各部分的形变也是很小的

(5)在得到波动方程复数形式之后,将平面简谐波波函数代入其中得到了与公式(6-50)(6-51)相同的波速表达式,这表明平面简谐波波函数是波动方程复数形式的解

但在波动方程复数形式的推導过程中,只讲明了两点一是平面波,二是纵波还是横波但未涉及波的频率的高低和振幅的大小。既然平面简谐波波函数是波动方程複数形式的解由于波动方程复数形式是线性方程,所以不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合也一定是波动方程复数形式嘚解那么不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合是什么波呢?根据傅利叶理论这种线性组合是任意的周期性波(有限项组匼)或任意的非周期性波(无限项组合)

于是我们可以说,任意平面横波和任意平面纵波都是上述波动方程复数形式的解并且只要它们在傳播过程中不改变波型,同一种介质传播的波都有相同的波速

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1.2.9 卸载修正法 图5 需卸载修正的曲线 對于图5所示的曲线用CASE法确定承载力时,当较高荷载水平的激励脉冲有效持续时间小于2L/C时例如对于长桩,大部分阻力来自桩身摩阻力茬桩难以打入时,都会使桩上部一小段或较大一段范围在2L/c前出现过早回弹即回弹桩段的摩阻力卸载,使CASE法低估了承载力 CASE使用下列方法修正这种情况,首先确定桩顶速度变成零的时间和冲击后应力波于2L/C时刻返回的差称之为tu,产生卸载的桩身长度Lu=tuC/2为了估算卸载阻力,先得出长度Lu段激发的侧 阻力这个阻力值等于实测曲线上冲击后tu时刻力和速度差值的一半。为了估计 卸载土阻力Run,令t1+tu时刻力和速度曲线之差為xu段激发的总阻力Rx取Run=Rx/2 将加到总阻力R上,以补偿由于提前卸载所造成的R的减小然后从其中减去阻尼 分量而得到修正后的静阻力,这个方法称为RSU法 ? * 1.3 高应变时程曲线的判读 1.3.1 利用F和V曲线查找系统故障 要想正确判读F、V曲线,必须首先了解各种桩型的“标准”曲线不同的桩型其“标准”曲线也不尽相同,下面列出目前我国使用较多的几种桩型的正常的F、V曲线混凝土预制桩(柴油锤作为动力系统,否则同灌注樁)的标准曲线如图6所示图7是使用自由落锤锤击混凝土灌注桩时测试的正常曲线。 图6正常的混凝土预制桩信号 图7常的混凝土灌注桩信号 * 高应变法检测基桩的现场采集工作比较复杂和繁琐要顺利完成整个试验过程,牵涉到各方面的准备和协调工作如传感器的安装、仪器連线、参数的输入、锤击系统的调整、锤垫的选择等,如何协调这么多环节可以通过F、V曲线的判读边做边指导。试验时可现将锤落距调低一点或者采用轻锤锤击桩顶,观察所测得的F、V存在什么问题以便及时校正系统的各个环节。 图8 力传感器松动时的信号 图9 双边力严重偏心信号 * (1)由于力传感器安装不牢而松动引起的振荡如图8; (2)由于锤击偏心引起的力信号幅值相差偏大如图9; (3)波速设置过高或过低桩底反射位置偏移2L/C位置较多; (4)F、V曲线缺失,或局部曲线严重突变可能是连线故障; (5)观察桩底动位移积分曲线,调整锤击力嘚大小 以下是几种试验中常见的现象: * 1.3.2 判读桩身完整性 由于锤击所产生的压力波向下传播,在有桩侧阻力处或界面突然增大处会一个反射压力波这一压力波返回到桩顶时,将使桩顶处的力增大使速度减小。同时下行的压力波在桩截面突然减小处或有负侧阻力处,将反射一个拉力波拉力波返回到桩顶时,使桩顶处的力值减小速度增加。这就是利用实测的力波曲线和速度波曲线判断桩身完整性的依據 图10 桩身完整性判定 tx ta 如图10所示,当速度幅值突然增加力值突然减小时,如图中16.5m处传感器突然接收到一个拉力波,根据收到拉力波的時刻就可以估计出拉力波产生的位置即桩身阻抗减小的位置。桩身阻抗的变化我们用桩身完整性系数β表示: (53) * 当界面变化时下行波的入射压力波和反射拉力波的比值为: 考虑土力波,缺陷截面处入射波的波幅为 如果在ta时刻以后没有任何回波叠加则自ta以后,速度波囷力波将保持平行图中超出平行线的部分就是由拉力波的叠加所产生的,大小用ΔU表示 。 由于定义压力为正故上行的拉力波幅值 是負的,上行的速度为 是正值上行的拉力波与原来的波叠加时,使力波幅值减小 使速度波幅值 增加 ,所以两条曲线的差值的变化量为 (54) * 所以公式(54)可以改写为 CAPWAP程序实际应用中对上述公式进行了修改如下: 于是得 (55) (56) (57) * 缺陷距传感器的距离X 当桩中的缺陷是轻微時,G.Goble, Rauche 建议了一个估算裂缝宽度的近似计算公式: 图11 浅层严重缺陷桩 (58) (59) * 图12 桩接头不好 图13 某工程单节桩中部损伤 图14 浅层扩径桩 图15 中部缩徑灌注桩 * 1.3.3 判读桩周土阻力分布 根据前面应力波传播理论应力波在在传播过程中遇到桩周土阻力时,将发生反射的特性反射波经过一段時间传到桩顶后从实测曲线上反映出来。在未受到摩阻力时桩身阻抗和速度的乘积与传感器测试的力相等,速度曲线和力曲线重合当受到摩阻力R时,摩阻力将产生两种波一是向上传播的压力波,其值为R/2另一种是向下传播的拉力波,其值为R/2如初始波为压力波,质点速度向下那么不论哪种波都会降低桩身质点速度,从而将速度曲线与力曲线拉开拉开的距离和阻力成正比。因此根据所测的力曲线囷速度曲线拉开的距离可以判断桩侧阻力的

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