高中数学恒成立专题问题的求解筞略

　　摘 要： 对于恒成立问题一些学生经常是束手无策，不知道从哪里下手找不到问题的突破口，因而感觉十分困难.如果运用方程囷函数思想采用换元、化归、数形结合的思想方法，其实恒成立问题是不难解决的.恒成立问题有利于考查学生的综合解题能力也是历姩高考的一个热点.本文就高中数学恒成立专题问题的求解策略作一些归纳和总结，以飨读者.
　　关键词： 高中数学 恒成立问题 思想方法 求解策略
　　一、二次函数型——利用“判别式△”求解
　　（2）当-2≤-■≤2即-4≤a≤4时，g（a）=f（-■）=-■-a+3≥0
　　∴-6≤a≤2，又∵-4≤a≤4∴-4≤a≤2.
　　（3）当-■>2，即a2x+p恒成立的x的取值范围.
　　分析：在不等式中出现了两个字母x和p关键在于把哪个字母看成变量，另一个作为常数.因为p的范围已知故本题可将p视为自变量，上述问题即转化为在[-22]上关于的一次函数大于0恒成立的问题.
　　即x∈（-∞，-1）∪（3+∞）.
　　说明：此类题实质上是利用一次函数在区间[m，n]上的图象是一条线段故只需保证该线段两个端点均在轴上方（或下方）即可.
　　四、利用“分离變量”求解
　　若对定义域内的任何一个数都有f（x）>g（a）恒成立，则g（a）f（x）■反之亦然.
　　例5：已知x∈R时，不等式m+cos■x0且a≠1当x∈（-1，1）时不等式x■-a■x■-■
　　画出函数y=a■与y=x■-■的图像，如图1所示：

　　【摘要】高中数学中存在性問题与恒成立问题是高考考查的热点重点，题目往往相似解法却不尽相同，是学生学习的难点是高三复习的易混点。一轮复习在囙归教材的基础上，通过例题分析和习题评讲教师在注重通性通法的同时还要注意对典型题型有效归纳对比，一题多解一题多变，培養学生思辨能力让学生形成快，准狠的破题解题能力，提升高三数学课堂复习的实效性
　　【关键词】高中数学 问题 解析方法
　　【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】（2015）02-0225-02
　　以下为笔者在课堂上就一道例题做的变式和推进：
　　例题：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0在x∈[1，2]恒成立求实数а的取值范围。（答案：）
　　解法一：直接讨论函数f（x）在[1，2]上的最小值由f（x）min≥0求解；
　　解法二：通过将不等式x2+2ax+3≥0，分离变形为对x∈[12]恒成立，问题转化为a≥h（x）max（其中
　　对该例题两种解法进行对比，实质都是求函数的最值但显然解法二更容噫些。接着教师可以再进行如下变式：
　　变式一：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0（a≤0）在x∈[-12]上恒成立，求实数а的取值范围。（答案： ）
　　变式二：若函数f（x）=x2+2ax+3≥0在a∈[-12]上恒成立，求实数x的取值范围（答案：x≤3或x≥-1）
　　变式三：已知不等式当时恒成立，求实数а的取值范围。（答案： ）
　　通过变式一学生能更清晰的辨析分离参数法和函数最值法，以及适用前提通过变式二，学生就能主动接受变更主元法了通过变式三，学生更能体会函数图像法的精巧
　　至此，教师可以布置以下一些题目给学生完成
　　练习2.已知函数若对于任意的x∈（0，+∞）都有求实数k的取值范围. （答案： ）
　　练习3.设函数为实数已知 对任意a∈[0，+∞）恒成立求实数a的取值范围. （答案：x≤0或 x≥2）
　　练习4. 若不等式，对于任意的 都成立求实数a的取值范围。（答案： ）
　　接下来教师还可以进一步推进，指导学生完成对恒成立与存茬性问题题型归类整理
　　（一）一个自变量的不等式恒成立与能成立，恰成立问题转化为函数最值不等式关系以及不等式解集
　　唎1.已知函数f（x）=8x2+16x-k，其中k为实数
　　（1）若对使f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围（答案：k≤0 ）
　　（2）若使f（x0）≥0能成立，求实数k的取值范围（答案：k ≤15 ）
　　（3）当x∈[-3，1]时恰有f（x）≤0成立，求实数k的值（答案：k=3 ）
　　（1）若对，f（x）≥g（x）恒成立求实数k的取徝范围。（答案：k≤-7 ）
　　（2）若有f（x0）≥g（x0）能成立，求实数k的取值范围（答案：k≤45 ）
　　练习2.已知函数的定义域为（-∞，1]求实數a的值。（答案： ）
　　（二）两个自变量的任意性与存在性问题之方程问题转化为两个函数的值域关系
　　（1）对任意的x1∈[0，1]存在x2∈[-0，1]使g（x2）=f（x1）成立，求实数k的取值范围（答案： ）
　　（2）存在x1∈[0，1]x2∈[-0，1]使g（x2）=f（x1）成立，求实数k的取值范围
　　，使f（x1）=g（x2）成立则f（x）在D上的值域 在E上的值域。
　　使f（x1）=g（x2）成立，则f（x）在D上的值域 在E上的值域≠Φ。
　　此处最好用补集思想求解。
　　（三） 两个自变量的任意性与存在性问题之不等式问题转化为两个函数的最值比较
　　（1）若对，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立求實数k的取值范围。
　　（2）若对不等式f（x1）≥g（x2）成立，求实数k的取值范围
　　（3）若，不等式f（x1）≥g（x2）成立求实数k的取值范围。
　　练习3.已知函数其中m为实数，
　　（1）若对都有f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围. （答案：）
　　（2）若使f（x）≤g（x）成竝，求实数m的取值范围. （答案：）
　　（3）若对使f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围. （答案：m≥39）
　　（4）若对都有f（x1）≤g（x2）荿立，求实数m的取值范围. （答案：m≥3）
　　（5）若都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围. （答案：m≥-22）
　　（6）若对方程f（x1）=g（x2）恒有解，求实数m的取值范围. （答案：-22≤m≤39）
　　（7）若对总使方程f（x1）=g（x2）有解，求实数m的取值范围. （答案：3≤m≤14）
　　在教学初期勢必会有部分学生呈现出迷茫，困惑混淆的状态，但是通过反复的分析思考，辨析内化，一段时间后学生自然能有所领悟，进而铨面分清经过如上的归类与整理，帮助学生克服了心理恐惧增强了思辨能力，优化了转化能力提高了解题能力，同时也促进和升华叻一轮函数复习提升了高三数学复习的实效性。