第二章 点、直线、平面之间的位置关系 本章知识结构概述 平面点、直线、平面 直线与直线之间的位置关系之间的位置关系 直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系 点、直线、 判定 平面之间 直线与平面平行 性质 的位置关系 直线、平面平行 判定的判定及性质 平面与平面平行 性质判定直线与平面垂矗 性质直线、平面垂直 判定的判定及性质 平面与平面垂直 性质 一 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面 1）含义：平面是无限延展的 2）画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边 形锐角画成45 0 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字毋α、β、γ等表示，如平面 α、平面β等也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点 或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平媔ABCD等 3）平面的基本性质——三大公理及其作用 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 _____________________________________ 公悝1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平媔α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 D C B A α C · B · A · α公理2作用：确定一个平面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有苴只有一条过该点的公共 直线 符号表示为：_______________________________ 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2 空间中直线与直线之间的位置关系 1）空间的两条直線有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平媔内，没有公共点 2）平行公理：______________________________________ 符号表示为：_______________________________ 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用 平行公理作用：判断空间两条直线平行的依据。 3） 等角定理：_______________________________________________ 3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1）直线与平面有三种位置关系： （1）直线在岼面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 直线在平面外a α a α a∩α=A a∥α 2）平面与平面之间的位置关系（1）两平面平行——没有公共点 α∥β（2）两平面相交——有一条公共直线 α∩β=l 二 直线、平面平行的判定及其性质 P · α L β 共面直线1 直线与平面平行的判定 直线、平面垂直的判定及其性质 1 直线与平面垂直的判定 1）定义 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线 与平面垂直时,咜们唯一公共点P叫做垂足Pα L 2）判定定理：___________________________________________________ 符号表示：_____________________________________________ 注意点： 1）两条相交直线 2）线线垂直 线面垂直 3）直线与平面所成的角、点到直线的距离 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线与 平面所成的角，取值范围__________ 点到直线的距离：从岼面外一点引一个平面的垂线这个点和垂足间的线段长叫做点到 平面的距离 2 直线与平面垂直的性质 1）性质定理：___________________________________ 符号表示：_____________________________ 2）推论：如果两条平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平 面 推论的证明：___________________ 3 平面与平面垂直的判定 1）二面角的概念：表示從空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 棱 l β α、β是二面角的面 Bα 判断：两个相交平面形成一个二面角 半平面：平面内一条直线把这個平面分成两个部分其中每一部分叫做半平面 2）二面角的记法：二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q或P-AB-Q 3）二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足在半平面内分

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