6.用罗必塔法则求极限

型的极限,可通过罗必塔法则来求 【解】2

??+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解

求极限的各种方法1．约去零因子求极限．约去零因子求极限例例 1：求极限11lim41???xxx【说明】表明无限接近但，所以这一零因子可以约去1?x1与x1?x1?x【解】=46) 1)(1(lim1) 1)(1)(1(lim2121??????????xxxxxxxx2．分子分母同除求极限．分子分母同除求极限例例 1 LL3．分子．分子(母母)有理化求极限有理化求极限例例 3：求极限)13(lim22??? ???xx x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式【解】 13)13)(13(lim)13(lim ????????????? ??????xxxxxxxx xx0 132lim 22? ???? ???xxx例例 解题的關键 4．应用两个重要极限求极限．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第1sinlim 0? ?xxxexnxxxnnxx?????? ?????10)1 (lim)11 (lim)11 (lim一个重要极限过于简单且鈳通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限。例例 5：求极限xxxx?????? ?????11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１再凑，最后凑X1?指数部分【解】11lim121lim11limexxxxxxxxxxx? ?????????? ?????? ???? ?? ?? ????? ????? ???? ????? ?????????????例例 6：(1)；(2)已知，求xxx??????? ?333011()()12!3!lim3xxxx???? ?? .9．数列极限转化成函数极限求解．数列极限轉化成函数极限求解例例 15：极限21sinlimnnnn? ???????【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则若直?1 接求有一萣难度，若转化成函数极限可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求 解。【解】考虑辅助极限611sin11011sin222 limlim1sinlim??? ?? ?? ????????????????????? ??????eeexxyyyyxxxxxx所以6121sinlim????? ?????ennnn10．．n 项和数列极限问题项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种處理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例例 16：极限?? ?? ?? ????? ?? ???lim nnnnnL【说明】用定積分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积)(xf分。???? ?? ?? ??????????? ??????? ???????10)(211limdxxfnnfnfnfnnL【解】原式＝????????????????????????????????????????222 limnn nnnnL2???? ???dx x例例 17：极限?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL【说明】(1)该题遇上一题类似但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；?? ?? ?? ??????????? ??????? ???????nnfnfnfnnL211lim(2) 两边夹法则需要放大不等式常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL因为 ?? ??? ?? ?? ?nnnnnnnnnL又 nnnn???2lim1 1lim 2? ?? ??nnn所以 ＝１?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL12．单调有界数列的极限问题．单调有界数列的极限问题例例 18：设数列满足? ?nx110,sin(1,2,)nnxxx n??????L（Ⅰ）证明存在并求该极限；limnnx ??（Ⅱ）计算.211limnxnnnx x????? ????【分析分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在. 【详解详解】 （Ⅰ）因为，则.10x???210sin1xx???? ?可推得 则数列有界.10sin1,1,2,nnxxn????? ??L? ?nx于是 ， （因当） 则有，可见数列1sin1nnnnxx xx???0sinxxx??时1nnxx??单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.? ?nxlimnnx ??设在两边令，得 解得，即limnnxl