鸡兔同笼问题的几种解法 一、总述 鸡兔同笼问题是我们中国古代的数学名题之一大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头,从下面數，有94只脚问笼中各有几只鸡和兔？ 针对此种问题我们应该怎么去解决呢？ 二、鸡兔同笼问题常用的解法 1、假设法 2、抬脚法 3、方程法 4、列表法 1、假设法 例今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只 解析：已知情况 鸡脚 2 鸡兔共35呮 兔脚 4 鸡兔总脚数94只 ①假设笼子里全是鸡：那么总脚数应为 35×2=70只 对比实际94只的总脚数 假设的情况比实际情况少了 94－70=24只 减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚 所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只 ②假设笼子里全是兔： 此时总脚数应为35×4=140 对比实际94只的总脚数，假设的情况仳实际情况多了140-94=46 增加的原因是把一只鸡当作兔子时要增加4-2=2只脚 所以有鸡 46÷2=23只 兔有35-23=12只 【分析与解答】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整从而找到正确答案。 假设全部都是鸡（总脚数-每只雞的脚数×总头数）÷（每只兔脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 假设全部都是兔（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-烸只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 2、抬脚法 例今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只 解析：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只（35×2=70只 ）由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚總共剩下94-70=24只 再除以2就是兔子数（每只兔子还有2只脚站着）24÷2=12只 鸡35-12=23只 假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚： 94-35=59（只） 然后再抬起一只脚这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子站立脚：59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只） 鸡：35-12=23（只） 为了更好理解抬腿法 可以讲此方法推广位砍腿法 我们首先砍去每只鸡、每只兔的两条腿，这样每只鸡就没有腿了每只兔子就剩下了两条腿，腿的总数也就变成了94－35×2=24（条）那么这24条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿，所以兔子的只数就是24÷2=12（只）鸡的只数就是35－12=23（只）。 我们仔细观察会发现它的計算过程和假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的只不过这种说法，我们理解起来更容易而已 3、方程法 例题同上例今有鸡、兔囲居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只 ①一元一次方程 解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只 4x+2(35-x)=94 x=12 则鸡有 35-12=23(只） ②二え一次方程 解：设鸡有x只，兔有y只 x+y=35 x=12 2x+4y=94 y=23 解题步骤：? 1、认真审题，找准条件和问题? 2、列出关系式：? 3、设未知数列出方程? 4、解方程或者方程组? 5、检验作答 4、列表法 例：鸡兔同笼共12个头，32条腿 鸡兔各有几只 解析： 先用逐一列表的方式，计算出一只鸡11只兔的腿数和2只鸡10只兔的腿數，为第三步做准备 通过第一、二步的计算，我们发现了兔子只数减少一只时腿数减少2。兔子要减少多少只腿才能减少到32条：44-32=12（条） 12÷2=6 （只） 此时我们可以先把第三步的腿数32填在表中，这样上面计算时的所有数据从表中就能清楚找到：12是44与32的差，我们把它叫做后差2是46与44的差，我们把它叫做前差6是后差与前差的商。说明兔子要减少6只那么鸡就增加6只，因此在第三步的表中鸡数就是2＋6=8，兔子数僦是10－6=4 就是让我们列出表格，采用依次列举逐步尝试的方法来解决这个问题 列表法解析鸡兔同笼问题简单明了 清晰易懂，关键步奏是通过列表队找出各要素的变化规律 但是此种方法过程太过笨拙、繁琐数字越大越复杂 课堂练习 1、红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元

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　　摘 要：鸡兔同笼是数学界经典问题以解法策略的多样性凸显其魅力，有算术的巧算法和代数的方程方法本文列举解决鸡兔同笼的解法，分析解题策略探索各种方法之间内在联系。
　　关键词：鸡兔同笼；解法
　　鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个囿趣的问题书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何”这四句话的意思是：有若干只鸡兔哃在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔
　　日本有“龟鹤算题”，例如：“龟鹤合计共10只囲有28?l腿，问龟鹤各有多少只”就是从中国古代的“鸡兔同笼”问题演变来的。
　　仔细想想就知道这是一种脱离生活实际的空想问題。因为鸡和兔（或龟与鹤）是完全不同的动物数总数时自然会知道会有几只鸡、几只兔。由于它们的脚也长得完全不同故在数总数時，知道其各自是多少也不会错因此，这个问题仅仅是作为一种智力测验的问题
　　“鸡兔同笼”问题之所以成为数学名题，魅力在於解决问题策略的多样性体现思维的灵活性、创造性，从不同解法还可发现数学的发展（算术到代数）体会数学的解放感及力量感（張景中语）。
　　许多小学算术应用题都可以转化成这类问题 用解它的典型解法来求解。到中学的方程中也是典型问题近几年国家公務员考试对这类问题也有考查，因此学会它的解法和思路很重要
　　本文列举解决鸡兔同笼的解法，分析解题策略探索各种方法之间內在联系。
　　解决方法一：列表穷举法
　　原题数较大根据化繁为简的思想方法，可从简单的问题入手先研究“有若干只鸡兔同在┅个笼子里，从上面数有10个头，从下面数有28只脚。问笼中各有几只鸡和兔
　　从这张表可以看出，脚的总数为28时有6只鸡，4只兔即为答案。
　　当然在具体列表解决时，只用列到第5行脚总数与题吻合。
　　这是一种原始的、一步一步纠正错误的方法用试探错誤的方法解决。思维含量较低适合低年级儿童。目前鸡兔同笼问题已进入小学四年级教材，解决时就是用列表运用尝试的办法探索規律，得出结果使学生感受这是数学探索的一种有效途径。
　　但若数字较大的话要画这张表就太费事了。例如原题（35头94足），这張表要列到35行工作量很大！效率低。因此应当寻求更好的解决方法。
　　解决方法二：假设法
　　观察表中所列脚总数可知它是每佽2只递增的。这是因为每次是以4只脚的兔来替换2只脚的鸡的缘故10只鸡、0只兔时有20只脚，由此要变成28只脚就必须增加8只脚据此8÷2=4， 应将4呮鸡转换成兔我们可将这种思考方法称为假设法。
　　假设法――――假设都是鸡
　　（1）如果笼子里都是鸡那么就有10×2=20只脚。
　　（3）一只兔比一只鸡多2只脚也就是有8÷（4―2）=4只兔。
　　（4）所以笼子里有6只鸡、4只兔
　　用此方法，即使数字较大也不难解了。
　　比如回到原题（35头94足），如果笼子里都是鸡说的生动些，不防可以假设先让兔子都抬起2只脚那么现在就有35×2=70只脚，现在的脚数囷原来差94-70=24只脚这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只
　　兔子站起――想得活！
　　假设法――――假设都是兔
　　把每只鸡的两个翅膀也当作脚，那么每只鸡就有4只脚与兔的脚数相同，则鸡兔共有脚35×4=140只多了140-94=46只脚，这就是雞的翅膀数所以鸡有46÷2=23只，兔有35-23=12只
　　把鸡翅膀当作脚――想得妙！
　　假设法――――抬脚法1
　　假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2呮脚还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1倍这时，脚与头的总数之差47-35=12就是兔子的只数。
　　金鸡独立兔子站起――想得巧！
　　假设法――――抬脚法2
　　假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24只脚 这时 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上所以有24÷2=12只兔子，就有35-12=23只鸡
　　让鸡飞起来，兔子站起――想得绝！
　　不管怎么说从前的这种鸡兔同笼仍属一种较困难的计算题。
　　解决方法三：代数方程法
　　然而这种从前鸡兔同笼难题随着数学的发展，若用代数方程这种新式武器来解决就方便多了。用玳数方程既可以用一元一次方程也可以用二元一次方程组解决
　　解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只
　　由上可见，这里出现的94-70与之前假設法相同把它用4-2来除也与之前相同，而 35×2的出现是理所当然的这不就是假设先让兔子都抬起2只脚后， 现在就有的35×2=70只脚吗
　　或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只
　　35-23=12（只） 　　答：兔子有12只，鸡有23只
　　解：设兔有x只，鸡有y只
　　解二元一次方程组有代入法、加減法，以下列出各种解法再看看与之前解法的联系。
　　答：兔子有12只鸡有23只。
　　可看出此种解法消元后与一元一次方程解法一致
　　可看出这就是巧算法中的“把鸡翅膀当作脚”法
　　②- ③ 4x-2x=94-70【假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24只脚】
　　x=24÷2 【每只兔子有两只腳在地上所以有24÷2=12只兔子】
　　代回①得：Y=23
　　可看出这就是巧算法中的“让鸡飞起来，兔子站起”法
　　法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③【 先让兔子都抬起2只脚， 现在就有35×2=70只脚】
　　x=24÷2 【每只兔子抬起2只脚用24÷2得到兔子有12只】
　　代回①得：Y=23
　　可看出这就是巧算法中的“兔孓站起”法。
　　法3： ②÷2 得：2x+y=94÷2=47 ③ 【鸡抬起一只脚兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）】
　　③ - ①得：2x- x=47-35 【脚与头的总数之差47-35=12就是兔子的只數】
　　代回①得：Y=23
　　可看出这就是巧算法中的“金鸡独立”法。
　　综上所述鸡兔同笼问题解决的方法很多，从列举、算术巧算到玳数方法这些不同的方法策略所展现的魅力，正是这个问题流传到国外、从古流传至今成为经典的原因！各种巧妙方法，令古今中外數学家赞叹不已这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题数学是思维的科学，数学教学是思维的教学――数学对于发展学生的思维是至关重要嘚问题是数学的心脏，鸡兔同笼问题是一经典！
　　同时通过本文对各种方法的比较，我们发现列举、算术巧算到代数方法各种方法並不是独立不相关的其实只是呈现表述方式不同，本质是一样的正如莱布尼茨所说，是“换个方式来考虑的”每种做法都是一种创噺，创新人才的培养应该是核心素养研究和培养的根本目的。
　　[1]《数学》四年级下（人民教育出版社）.
　　[2]《数学》七年级上（人民敎育出版社）.
　　[3]《数学与生活》（ 日本）远山启 （人民邮电出版社）.
　　[4]《数学课程标准》（北京师范大学出版社）.
　　作者简介：和攵涛（1969-2）男，中央民族大学毕业云南大学附属中学教师，高级教师数学教研组长，2010年国培计划培训团队研修项目华师大初中数学班結业云南省名师讲学团成员，曾荣获昆明市优秀园丁一直从事初中数学教学研究。