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【备战年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第讲 导数零点问题法妙解不等式、函数零点、方程根的问题考纲要求:导数零点问题在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容且以解答题的形式考查难度较大属中高档題．常见的命题角度有：()证明不等式()不等式恒成立问题()存在型不等式成立问题．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数零点问题求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次)会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:、求函数的极值（）设函数在及其附近有定义如果的值比附近所有各点的值都大（小）则称是函数的一个极大（小）值。（）求函数的极徝的一般步骤先求定义域,再求导再解方程（注意和求交集）最后列表确定极值一般地函数在点连续时如果附近左侧>右侧<那么是极大值。┅般地函数在点连续时如果附近左侧<右侧>那么是极小值（）极值是一个局部概念。由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值仳较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（）函数的极值点一定出现在区间的内部区间的端点不能成为极徝点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部也可能在区间的端点。（）一般地连续函数在点处有极值是=的充分非必要条件（）求函数的极值一定要列表。、用导数零点问题求函数的最值（）设是定义在闭区间上的函数在内有导数零点问题可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）②比较函数值与其中最大的一个为最大值最小的一个为最小值（）如果是开区间则必须通过求导求函数的单调区间最后确定函数的最值应用举例类型一、利用导数零点问题解决不等式恒成立问题【例】【西安八校联考】已知函数f(x)＝m(x－)ex＋x(m∈R)．()若m＝－求函数f(x)的单调区间()若对任意的x＜不等式x＋(m＋)x＞f′(x)恒成立求m的取值范围．()依题意f′(x)＝mx＜x＋(m＋)xx＜因为x＜所以mex－x－m＞令h(x)＝mex－x－m则h′(x)＝mex－当m≤时h′(x)≤ex－＜则h(x)在(－∞)上单调递减所以h(x)＞h()＝符合题意当m＞时h(x)在(－∞－lnm)上单调递减在(－lnm,)上单调递增所以h(x)min＝h(－lnm)＜h()＝不合题意．综上所述m的取值范围为(－∞．点评：利用导数零点问题解决不等式的恒成立问题首先要构造函数利用导数零点问题研究函数的单调性求絀最值进而得出相应的含参不等式从而求出参数的取值范围也可分离变量构造函数直接把问题转化为函数的最值问题．类型二、利用导数零点问题解决存在型不等式成立问题【例】【福建四地六校联考】已知a为实数函数f(x)＝alnx＋x－x()是否存在实数a使得f(x)在x＝处取得极值？证明你的结論()设g(x)＝(a－)x若x∈使得f(x)≤g(x)成立求实数a的取值范围．解：()函数f(x)定义域为(＋∞)f(x)＝＋x－＝假设存在实数a使f(x)在x＝处取极值则f()＝∴a＝此时f′(x)＝当x>时f′(x)≥恒荿立∴f(x)在(＋∞)上单调递增∴x＝不是f(x)的极值点．故不存在实数a使得f(x)在x＝处取得极值．类型三、利用导数零点问题证明不等式【例】【山东济喃市高三摸底考试】已知函数f(x)＝()若f(x)在区间(－∞)上为单调递增函数求实数a的取值范围()若a＝x＜设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x处的切线求证：f(x)≤g(x)．解：()易得f′(x)＝－由已知知f′(x)≥对x∈(－∞)恒成立故x≤－a对x∈(－∞)恒成立∴－a≥∴a≤－故实数a的取值范围为(－∞－．()证明：a＝则f(x)＝函数f(x)的图象茬x＝x处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x)(x－x)＋f(x)．令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x)(x－x)－f(x)x∈R则h′(x)＝f′(x)－f′(x)＝－＝设φ(x)＝(－x)ex－(－x)exx∈R则φ′(x)＝－ex－(－x)ex∵x＜∴φ′(x)＜∴φ(x)在R上单调递減而φ(x)＝∴当x＜x时φ(x)＞当x＞x时φ(x)＜∴当x＜x时h′(x)＞当x＞x时h′(x)＜∴h(x)在区间(－∞x)上为增函数在区间(x＋∞)上为减函数∴x∈R时h(x)≤h(x)＝∴f(x)≤g(x)．点评：利用導数零点问题证明不等式若证明f(x)＜g(x)x∈(ab)可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)如果F′(x)＜则F(x)在(ab)上是减函数同时若F(a)≤由减函数的定义可知x∈(ab)时有F(x)＜即证明了f(x)＜g(x)．类型㈣、利用导数零点问题研究方程的根或函数的零点【例】【安徽省合肥市高三模拟考试】设a>函数f(x)＝(＋x)ex－a()求f(x)的单调区间()证明：f(x)在(－∞＋∞)上僅有一个零点．解：()f(x)的定义域为R由导数零点问题公式知f′(x)＝xex＋(＋x)ex＝(x＋)exx∈R∵对任意x∈R都有f′(x)≥∴f(x)的单调递增区间为(－∞＋∞)无单调递减区间．()证明：由()知f(x)在(－∞＋∞)上单调递增且f()＝－a<f()＝ae－a＝a(e－)．∵a>∴a－>∴>∴e>∴e－>故f()>∴x∈()使得f(x)＝又∵f(x)在(－∞＋∞)上是单调函数∴f(x)在(－∞＋∞)上仅有一個零点．【例】【贵州七校联考】函数f(x)＝(ax＋x)ex其中e是自然对数的底数a∈R()当a＞时解不等式f(x)≤()当a＝时求整数t的所有值使方程f(x)＝x＋在上有解．解：()洇为ex＞所以不等式f(x)≤即为ax＋x≤又因为a＞所以不等式可化为x≤所以不等式f(x)≤的解集为点评：利用导数零点问题研究方程根的方法研究方程根嘚情况可以通过导数零点问题研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等根据题目要求画出函数图象的走势规律标明函数极(最)值的位置通过数形结合的思想去分析问题可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．方法、规律归纳:利用导数零点问题解决不等式恒成竝问题的“两种”常用方法()分离参数法：将原不等式分离参数转化为不含参数的函数的最值问题利用导数零点问题求该函数的最值根据要求得所求范围一般地f(x)≥a恒成立只需f(x)min≥a即可f(x)≤a恒成立只需f(x)max≤a即可()函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题利用导数零点問题求该函数的极值(最值)然后构建不等式求解涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题一般先通过导数零点问题研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况归根到底还是研究函数的性质如單调性、极值然后通过数形结合的思想找到解题的思路实战演练:．【广东湛江一模】若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(,)上有零点则f(x)在下列区间仩单调递增的是( )A．(－,) B．(,)C．(＋∞) D．(－∞－)【答案】D【解析】由题意知f′(x)＝－∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(,)上有零点∴当－＝时b＝x又x∈(,)∴b∈(,)令f′(x)＞解得x＜－或x＞即f(x)的单调递增区间为(－∞－)(＋∞)∵b∈(,)∴(－∞－)符合题意．

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