3 证明, R 中每一向量 ? 可以唯一地表示为

证：提示，设 ? 得 a1

这里 a , b ? F ; ? , ? ? V . 证明：略 6．证明：数域 F 一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量. 证明：若 a

7.证明,对于任意正整数 n 和任意向量 ? ,都有

提示：用数学归纳法证明.

8. 证明,向量空间定义中条件 3 , 8) 不能由其余条件推出. 证： F 是数域，

）其余条件均能满足，故 3○ 、8）不能有其它条件推出．

9.验证本节最后的等式:

证：把向量 a1, , ? , a n 作为矩阵中的元素，则等式两边都是一行 p 列矩阵，对左住端矩 阵中的第 j 个元素

是 AB 中第 k 行第 j 列元素．对于右端矩阵中的

） ，故 W 3 不是 R 的子空间．

，故 W 4 不是 R 的子空间．

.在这个意义下, W1

证： W 是 V 的子空间，既包含 W

既包含 W 1 又包含 W 2 的最小子空间． 4.设 V 是一个向量空间,且 V ? ? 0? . 证明: V 不可能表成它的两个真子空间的并集. 证：设

? 0 ? ，则至少有一个 V 的非零向量 ?

证：(?)用反证法．若存在 k ? F ，使得 ?

矛盾，故对于任意 k ? F ，有 ?

，对于 r 的情形： （1）若 ? ? W r ，命题成立，

6.3 向量的线性相关性

提示：部分组线性相关，则整体线性相关．

证(1)只有零解．又齐次线性方程组 只有零解．

(2)只有零解．(1)的解是(2)的解．所以(1)

7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例: (?)如果当 a1

(???) 如果 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. (?v)如果 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合. 结果：(?)是错的 (??) 是对的（可采用反证法证之） ，(???) 是对的（可采用反证法证

并且每一 ? i 都不能表成它的前 i ? 1 个向量

是 最 后 一 个 不 全 为 零 的 数 ， 即 有

，即 ? i 可由它前面的 i ? 1 个向量线性表示，与假设矛

性无关矛盾， 所以 k1

性相关，知存在不全为零的数

显然 b 与 c 不全为零，则可能的情况有下面三种： （i） b ? 0, c ? 0 这时

可判断(?) (??)中的多项式是否为 F3 [ x ] 的基． ） 2．求下列子空间的维数：

，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关．(??)维数为 2．(???)

5．证明，复数域 C 作为实数域 R 上向量空间，维数是 2．如果 C 看成它本身上的向量 空间的话，维数是几？ 提示：? 1, i 在实数域 R 上线性无关，且 C 中任意复数均可由它们线性表示，故 C 作 为 R 上的向量空间，维数为 2． C 作为 C 上的向量空间，维数为 1． （任一非零复数均为它 的基） 6．证明定理 6.4.2 的逆定理：如果向量空间 V 的每一个向量都可唯一地表成 V 中向量

的线性组合，那么 dim V

都不等于零，证明 d im W

提示：证明 W 中任意两个非零向量均线性相关． 8．设 W 是 n 维向量空间 V 的一个子空间，且 0 ? 个余子空间． 提示：设 d im W

的 一 个 余 子 空 间 ， 又 令 ：

9．证明本节最后的论断． 提示：对 t 用数学归纳法．

（提示：线性表示可得） ． 是 F3 ( x ) （数域Ｆ上一切次数 ? 3 的多项式及零）的一

个基．求下列多项式关于这个基的坐标：

一个基，在 R 中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．

的齐次线性方程组，则基础解系或基础解系的非零线性组合基为所求． ( ? k , ? k , ? k , k ) 4．设

都是 R 的基，求前者到后者的过渡矩阵．

维向量空间 V 的一个基． A 是 F 上一个

线 性 无 关 ． 于 是 有

3．证明：向量空间 F [ x ] 可以与它的一个真子空间同构．

6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间

行（列）空间的维数 ? n ? A 的行（列）线

的一个基础解系． 解：对系数矩阵施行初等行变换后，得

6．证明定理 6.7.3 的逆命题： F 的任意一个子空间都是某一含 n 个未知量的齐次线性

方程组的解空间． 证明：设 W 是 F 的任一子空间，而且 dim W

（＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为 W ．

n n 7．证明， F 的任意一个 ? F 的子空间都是若干 n ? 1 维子空间的交．

n 的基扩充为 F 的基，