因为“对应元素”不是“对应元素的代数余子式”里的元素，所以，“对应元素”的值对推论里的“...元素和...代数余子式的乘积之和”所表示的过程a的结果无影响，“对应元素”在过程a中可用任意大小的元素代替，
因此，过程a等价于先将行列式中的“另一行”用该行列式中的其他某行i代替（得到行列式1,且行列式1包含两个相同的行），再用定理2展开“另一行”这一过程b，
因为行列式1有两个相同行，所以过程b的结果为0.

本节讲述行列式的展开式--拉普拉斯公式以及其证明

0 回顾行列式的性质:

(2) 性质二 ：交换矩阵的两行行列式的值的符号改变 ： det(A) = - det(B) (矩阵B由A交换两行得到)

设A是nxn的矩阵它的第一列是e1：

其中A11表示由A去掉第一行和第一列组成的子矩阵，有如下引理：

由行列式的性质2可知将矩阵做初等列变换不会改变行列式的值

因此可将矩阵第一列乘以一个数加到其他列上，因此有：

易证函数C满足行列式的3条性质，因此：

2 子式(也叫余子式)

矩阵A的(i,j)子式 是A 去掉第i行 第j列 所剩余元素组成的矩阵，记做Aij，例：

设A的第j列为ei 则：

根据行列式的性质交换矩阵的两行或者两列矩阵的行列式符号改变也就是*（-1）

因此可以用j次行交换和i次列交换将矩阵变为引理中第一列是e1的形式.这就证明了上述推论

下边是该证明的一个例子：

4 行列式按列展开的拉普拉斯公式

设A为任意nxn矩阵j是1到n的任意一个值，则A的行列式按第j列展开的拉普拉斯公式是：

5 拉普拉斯公式的证明

为简化 假设j = 1 ,并且将a1 写为标准单位向量的线性组合：

根据行列式的多重线性性质有：