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高等数学—不定积分练习题
第三章复习
X.1 积分换元的几种形式
1. 利用三角函数代换,变根式积分为三角有理式积分 求?-dx x
x 229 解 令t x
sec 3=,则tdt t dx tan sec 3?= 于是
x 229??=?=dt t t tdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322
.9|9|ln 9|393
|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221
x x x C x x x x C t t t dt t t +---++---+=+-+=-=?
练习 求?-+221)1(x
2. 倒代换(即令t
x 1=) 设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数,当1>-m
n 时,可以考虑使用倒代换。 求?>+)0(222a x
x 1=,则dt t dx 21-=,于是 原式???++-=+-=??? ??-???? ??+=12)1(2222t a t a d a t a tdt dt t t a t
a a x C a t a ++-=++-=2222221 练习 ?-+dx x x x 1122
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高等数学微积分不定积分(专题)
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你可能喜欢本章讨论的问题是：寻求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一
本章分为不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、积分表的使用这五章
1、不定积分的概念与性质
原函数的概念：一个原函数
原函数存在定理：连续函数一定有原函数
1、如果一个函数有一个原函数，那么该函数就有无限多个原函数
2、同一个函数的不同原函数之间的差值为一个常数
不定积分的定义：在某个区间上，一个函数的带有任意常数项的原函数称为该函数在该区间上的不定积分
被积函数：
被积表达式：
积分变量：
一个函数的不定积分可以表示该函数的任意一个原函数
一个函数的原函数的图形称为该函数的积分曲线
微分运算和积分运算（求不定积分的运算）是互逆的。当两个记号连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数
基本积分表：与求导公式和微分公式对比记忆，切记不要记混
有时被积函数实际是幂函数，但用分式或根式表示。遇此情形，应先把它化为常用的幂函数的形式，然后利用公式进行积分
不定积分的性质1：和的积分等价于积分的和
不定积分的性质2：常数可以提取到积分号前（微分运算也可以）
可用求导的方法检测积分结果是否正确
对于三角函数类的积分，需要熟练的掌握三角恒等公式，将其化为标准形式，然后进行积分
被积函数的分子和分母都是多项式，通过多项式的除法，可以把它化成基本积分表中所列类型的积分，然后再进行积分操作
2、换元积分法
利用基本积分表与不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的
本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法
复合函数的积分法就是换元积分法
第一类换元法
第一类换元法可以看作是一个不断压缩的过程，该方法来自于复合函数的微分法
使用第一类换元法来求不定积分比使用复合函数求导法则来求导困难一些，因为其中需要一定的技巧（如何适当地选择变量代换）
第一类换元法的例题中有很多总结的规律，这些规律需要通过做题来熟练掌握
第二类换元法
第二类换元法可以看作是一个不断扩张的过程，该方法来自复合函数及反函数的求导法则
定理2：有很多前提条件需要满足
主要就是三个例题
倒代换：可以利用这种方法消去被积函数的分母中的变量因子
3、分部积分法
利用两个函数乘积的求导法则可以得到分部积分法
应用分部积分法时，恰当的选取u和dv是一个关键。有一个选取标准p209
如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u
4、有理函数的积分
有理函数的积分
两个多项式的商称为有理函数，也称为有理分式。（我们一般假定分子多项式和分母多项式之间没有公因式）
当分子多项式的最高次数小于分母多项式的最高次数时，称这有理函数为真分式，否则为假分式
利用多项式的除法，总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式
对于真分式，如果分母可以分解为两个多项式的乘积（且这两个多项式没有公因式,如果有公因式，就将公因式合并在一起），那么这个真分式可以拆分成两个真分式之和。该步骤称为把真分式化成部分分式之和，如果可以继续拆分，就继续拆分成更简单的部分分式。最终，分解式中只能包括三类函数p214
待定系数该如何设置：永远比分母低一阶
可化为有理函数的积分
针对于三角函数有理式的积分：sinx和cosx用tan(x/2)替换
如果被积函数中含有简单根式，那么就消去简单根式（令这个简单根式为u，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u的有理函数），将其化为有理函数
5、积分表的使用
就是通过查看积分表来计算积分（不现实，考试的时候不给积分表）
基本的积分方法是基石
对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数（不明白这有什么意义）
不定积分的概念和性质
原函数与不定积分的概念
基本积分表
不定积分的性质
换元积分法
第一类换元法
第二类换元法
分部积分法
有理函数的积分
有理函数的积分
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选定系数法
分部积分法
设函数， 具有连续导数， 那么
对这个等式两边求不定积分，得：
式(1)称为分部积分...
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不定积分的概念与性质
一、原函数的概念
【定义】已知是一个定义在区间内的函数，如果存在着函数，
使得对内任何一点，都有
那么函数就称为在区间内的原函数。
...
必须掌握各个概念的定义。从定义中，深入的理解概念，以及发掘概念之间的相互联系。
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