如图.△ABC中.AB＞AC.AD是中线.AE是角平分线.CF⊥AE于F.连接DF.给出以下结论:①DF∥AB,②∠DAE=12,③DF=12,④12＜AD＜12．其中正确的是 (把所有正确判断的序号都填在横线上)． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，连接DF，给出以下结论：①DF∥AB；②∠DAE=（∠ACB-∠ABC）；③DF=（AB-AC）；④（AB-AC）＜AD＜（AB+AC）．其中正确的是（把所有正确判断的序号都填在横线上）．
考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质
分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，进而得到AC=AG，GF=CF，再证明DF是△CBG的中位线，可得DF∥AB，DF=BG，进而得到①③正确；然后延长AD到M使AD=DM，证明△ADC≌△MDB可得BM=AC，再利用三角形的三边关系可得答案．
解答：解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF∥AB，故①正确；∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD∴2∠DAE=∠BAE+∠CAE-2∠BAD=∠AEC-∠B+∠CAE-2∠BAD=180°-∠C-（∠B+2∠BAD）=180°-∠C-∠FDC∵DF∥AB，∴∠FDC=∠B∴2∠DAE=180°-∠C-∠B，故②错；∵DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=（AB-AG）=（AB-AC），故③正确；延长AD到M使AD=DM，在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM=AC，∵AB-BM＜AM＜AB+BM，∴AB-AC＜AM＜AB+AC，∴（AB-AC）＜AD＜（AB+AC）．故④正确，故答案为：①③④．
点评：此题主要考查了三角形中位线，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．
练习册系列答案
科目：初中数学
某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体800名学生进行了男生1000米跑（女生800米跑），立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分10分，共30分．从中抽取了部分学生的成绩进行了统计（统计均为整数），请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题：
&10.5～14.5
&14.5～18.5
&18.5～22.5
&22.5～26.5
&26.5～30.5
&n（1）这次抽取了名学生的体育成绩进行统计，其中：m=，n=．（2）补全频数分布直方图；（3）学生成绩的中位数落在哪个分数段？（4）如果23分（包括23分）以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少人．
科目：初中数学
某房地产公司在全国一、二、三线城市都有房屋开发项目，在去年的房屋销售中，一线城市的销售金额占总销售金额的40%．由于两会召开国家对房价实施分类调控，今年二线、三线城市的销售金额都将比去年减少15%，因而房地产商决定加大一线城市的销售力度．若要使今年的总销售金额比去年增长5%，求今年一线城市销售金额比去年增加的百分率．
科目：初中数学
已抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB=2，对称轴为x=2，与y轴交于点C，其中C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A、点B），如图；当S△PBC=S△ABC时，求点P的坐标；（3）已知点D（3.5，-1.5），点Q为抛物线上一点，当CQ平分四边形OBDC的面积时，求点Q的坐标．
科目：初中数学
如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，若点B的坐标为（2，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E．过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（点C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，则点F的坐标是．
科目：初中数学
在函数y=中，自变量x的取值范围是．
科目：初中数学
某校九（1）班8名学生的体重（单位：千克）分别是39、43、45、40、43、45、43、46．这组数据的中位数是．
科目：初中数学
若x3-ax=x（x+2）（x-2），则a的值为．
科目：初中数学
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、B、C、D、
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问题描述：
在一个三角形中画一条线段,把它分两个直角三角形,画出的线段就是原来三角形的什么?
问题解答：
画出的线段就是原来三角形的高 再问： 谢谢你 再答： 不客气，祝学习进步!
我来回答：
剩余:2000字
原来三角形的高!望采纳 谢谢
当D、A处在BC同侧时（此时DH>AH（H是BC中点））,DH=DA+AHa=DB=√(DH²+BH²）=√((DA+AH)²+BH²)=√((2+√3)²+1²）=√（4+4√3+3+1）=2√（2+√3）当D、A分在BC异侧时,DH=AD-AHa=DB=√
1再加一条线组成三角形.2或者垂直交于那个角的任意一条线,就又多两个直角.3恩,在那个角尖方向作一条线,可能有角大于180,可那还是角.
3dm和7dm因为底边×高÷2=10.5底边×高=21=3×7所以是 3dm和7dm 高是3dm,底是7dm
MATLAB2维一些离散数据画出的曲线图,MATLAB中把离散的一组数据拟合成曲线的一种有效方法现在需要从这 em>图片中,如果调用plot函数对于离散数据绘图,那么系统默认把若干离散的数据点用是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐 间的函数关系的一种第一步把所给的数据画在一个坐 上,通过图表来判断其数学
figure,plot(x,y1),hold,plot(x,y2,'r')
10.5*2=21=3*7这个三角形的底和高可能各是3,7；7,3 再问： 您是老师么 再答： 不是。
不正确.这有很多种可能的,要看这条线是怎么加的,是否有要求.
在一个三角形中一直一条线段是角平分线又是底边中线那么可以直接说这个三角形是等腰△吗?不可以 再问： 为什么啊，不是三线合一么 再答： 顶角的平分线 正好是底边的中线 并不能证明这个三角形是等腰三角形 除非这个 平分线 满足垂直于底边的条件 如果不垂直 是不行的 你要画图 解决这个问题 就很明显了
线段可以是弯的
设小三角形边长为1个单位长度.（1）1个单位的线段有9x3-3x3=18条；Tips:先把所有的都计算,其中重复的是中间散开的3个小三角形,要减去.（2）2个单位的线段有3x2+3=9条；Tips：大三角形的3条边上各两段,每边内平行边各1,共9条.（3）3个单位的线段有3条.Tips:就大三角形的3条边.总共有18+
可以.如图,三角形ABC中,D是AB的中点,DE//BC交AC于E过A点作直线L//BC则　L／／BC／／DE根据平行线截割比例线段定理AD/DB=AE/EC∵D是AB的中点,AD＝DB∴AD/DB=1∴AE/EC=1AE=ECE是AC的中点DE是三角形ABC中AB,AC边上的中位线
将角上的点和任意一条对边的中点相连即可
可以,等你到了初三学了相似就可以证出来
直角三角形有4条其他三角形有2条
那是不可能的.因为一条直线只能将一个矩形分为两个部分,顶多有两个钝角.
算上平角的话,在这个梯形的上下两底间划一条垂直线就会产生5个角,线段的两个端点是梯形的上下底边产生的平角的顶点.
也许感兴趣的知识如图,角1等于角2,角3等于角4,则角5是多少度
问题描述：
如图,角1等于角2,角3等于角4,则角5是多少度&
问题解答：
135 再答： 180-(90/2)再问： 90/2算出什么了 再答： 角2加角4再问： 啊，我知道了，谢谢
我来回答：
剩余:2000字
在三角形abc中角abc+角acb=180°-角a因为bg,cg分别平分角abc,∠acb∴∠abc=2∠gbc,∠acb=2∠gcb∴2∠gbc+2∠gcb=180°-∠a∴∠gbc+∠gcb=90°-½∠a在△abc中∠g=180°-(∠gbc+∠gcb）=180°-（90°-½∠a）=90°+
根据题目和三角图形可知：∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）由于BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,所以∠GBC=1/2∠ABC,∠GCB=1/2∠ACB,所以：∠BGC=180°-（1/2∠ABC+1/2∠ACB）=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1
兄弟,首先你这个图画的不规范啊.既然是角平分线你最好是从中间画,这样画出来好看些,这题我以前会.现在忘了,不好意思,我觉得你可以添加辅助线GD且BGD等于90度,
1234是四边形吧?四边形内角和为360°,所以,∠1 ∠3 ∠4=360-80=280°∠1=280°×3/(3 5 6)=60°∠3=280°×5/(3 5 6)=100°∠4=280°×6/(3 5 6)=120°
140度 再答： 呃呃
您好!您是否刚刚接触平行四边形的性质?如果不用判定定理,证法是这样的：(1)∵AB∥CD ∴∠A+∠B=180°(同旁内角互补 两直线平行)∵∠A=∠C ∴∠B+∠C=180°∴AD∥BC(两直线平行,同旁内角互补)(2)∵AD∥BC ∴∠C+∠D=180°(两直线平行 同旁内角互补)∵∠B+∠C=180° 所以∠B=
没图咋的写! 再问： 再答： 再答： 没事给个好评吧。
& 再问： 依据和结论呢？
img class="ikqb_img" src="http://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=9f281f06d6ca7bcb7d2ecf298e326cffc1e1767a4aaf44b90fd8.jpg"
∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°,∵∠EOD：∠DOB=2：3,∴∠BOD=90÷(3+2)×3=54°,∴∠AOC=∠BOD=54°.
证明：∵AB＝AC,∠BAC＝120∴∠B＝∠C＝（180-∠BAC）/2＝30∵AD⊥AC∴∠CAD＝90∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝30∴∠B＝∠BAD∴BD＝AD,∠ADC＝∠B+∠BAD＝60∵M是CD的中点∴AM＝DM＝CM∴等边三角形ADM （直角三角形中线特性）∴AM＝AD∴AM＝BD
证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵AB＝AC,AD＝AD∴△ABD≌△ACD （SAS）∴BD＝CD∴∠DBC＝∠DCB 再问： 最后一步的理由是什么 再答： 等腰三角形两底角相等再问： 嗯
AB=DC用SAS 再问： 过程 再答： 因为在三角形ABC与三角形DCB中AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC是满足SAS.所以当AB=DC时两三角形全等
【本题条件有误,应该是"EF垂直平分BD",否则结论不成立.】证明:∵EF垂直平分BD.∴EB=ED,则∠EBD=∠EDB.∴∠EBA+∠1=∠C+∠2.又∠1=∠2,则∠EBA=∠C.∴∠EBA+∠ABC=∠C+∠ABC.即∠EBC=∠EAB.
答：把直角三角形ADE绕点E逆时针旋转到RT三角形GFE可以证明,GE垂直BE所以：面积之和=直角三角形BEG面积=2.2*4.2/2=4.62平方厘米
因为ab=ac,ad公用,角bad=角cad所以全等 再答： 因为全等，角bda=角cda，又因为两角相加等于180度，所以垂直
∵∠ABC=∠DCB&∠ACB=∠DBC又,BC=BC∴△ABC≌△DCB & (ASA)∴ &∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC∴ &∠ABO=∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB=∠DCO∴△AOB≌△DOC & (ASA)
因为角ABC=角DCB,角ACB=角DBC 且BC=CB（AAS）所以全等
证三角形全等,三角形ABC全等于三角形AED,因为AB=AE,AD=AC,角A=角A,边角边定理,所以角BCA=角ADE,不过你求的是角BDE还是角ADE呢
连接DE相交AC于F点∵CD垂直AD,AD垂直AB∴CD平行AB,∠ACD=∠CAB=∠ACB∵CD=CE∴△DCE是等腰三角形∵∠ACD=∠ACB,△DCE是等腰三角形∴CF垂直DE,DF=EF∵CF垂直DE,DF=EF∴△ADF全等于△AEF（SAS）∴∠DAF=∠BAF∵∠ACD=∠ACB,∠DAF=∠BAF,A
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如图，已知∠B=∠1，CD是△ABC的角平分线，求证：∠5=2∠4．
请在下面横线上填出推理的依据：证明：∵∠B=∠1，（已知） ∴DE∥BC．&&&&（　_________　） ∴∠2=∠3．&&&&&（　_________　） ∵CD是△ABC的角平分线，（　_________　） ∴∠3=∠4．&&&&（　_________　） ∴∠4=∠2．&&（　_________　） ∵∠5=∠2+∠4，（　_________　） ∴∠5=2∠4．&&&&（　_________　）
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同位角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，已知，角平分线定义，等量代换，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，等量代换．
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扫描下载二维码本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。　　5．评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活
动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。　　6．现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式
产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
二、设计思路 (一) 关于学段　　为了体现义务教育阶段数学课程的整体性，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》（以下简称
《标准》）通盘考虑了九年的课程内容；同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段：　　第一学段（1～3年级）、第二学段（4～6年级）、第三学段（7～9年级）。
关于目标　　根据《基础教育课程改革纲要（试行）》，结合数学教育的特点，《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度
等四个方面作出了进一步的阐述。　　《标准》中不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。
知识技能目标
了解(认识)
能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体 情境中辨认出这一对象。
能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。
能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。
过程性目标
经历(感受)
在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。
体验(体会)
参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验。
主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象 的区别和联系。
关于学习内容　　在各个学段中，《标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。　　数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情
境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。　　符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。　　统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。　　应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。　　推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。　　为了体现数学课程的灵活性和选择性，《标准》在内容标准中仅规定了学生在相应学段应该达到的基本水平，教材编者及各地区、学校，特别是教师应根据学生的学习愿望及其发展的可能性，实施因材施教。同时，《标准》并不规定内容的呈现顺序和形式,教材可以有多种编排方式。
关于实施建议　　《标准》针对教学、评价、教材编写、课程资源的利用与开发提出了建议，供有关人员参考，以保证《标准》的顺利实施。　　为了解释与说明相应的课程目标或课程实施建议，《标准》还提供了一些案例，供参考。
第二部分课程目标
一、总体目标　　通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：　　●
获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；　　●
初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；　　●
体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；　　●
具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。具体阐述如下：
知识与技能
●经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。●经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。●经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。●丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。●经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。●经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。●形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。●学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。●初步形成评价与反思的意识。
情感与态度
● 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。●
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。●初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。●形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
　　以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
二、学段目标
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
知识与技能
●经历从日常生活中抽象出数的过程，认识万以
内的数、小数、简单的分数和常见的量；了解四则运算的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能。●经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，了解简单几何体和
平面图形，感受平移、旋转、对称现象，能初步描述物体的相对位置，获得初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。●对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象。
●经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程，认识亿以内的数，了解分数、百分数、负数的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能；探索给定事物中隐含的规律，会用方
程表示简单的数量关系，会解简单的方程。●经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体和平面图形的
基本特征，能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量（包括估测）、识图 、作图等技能。●
经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理技能；体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，能计算一些简单事件发生的可能性。
●经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用
代数式、方程、不等式、函数等进行描述。●经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握三角形、四边形、圆的
基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质，初步认识投影与视图，掌握基本的
识图、作图等技能；体会证明的必要性，能证明三角形和四边形的基本性质，掌握基本的推理技能。●从事收集、描述、分析数据，作出判断并进行交流的活动，感受
抽样的必要性，体会用
样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率。
●能运用生活经验，对有关的数字信息作出解释，并初步学会用具体的数描述现实世界中的简单现象。●在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中
，发展空间观念。●在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。●在解决问题过程中，能进行简单的、有条理的思考。
能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。●在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的
过程中，进一步发展空间观念。●能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。●在解决问题过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理
性作出有说服力的说明。
能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，能用代数式、方程、不等式、函数刻画事物间的相互关系。●在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互
转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。●能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。●能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推
翻猜想。●体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。
●能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。●了解同一问题可以有不同的解决办法。●有与同伴合作解决问题的体验。●初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
●能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。●能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。●能借助计算器解决问题。●在解决问题的活动中，初步学会与他人合作。●能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。●具有回顾与分析解决问题过程的意识。
●能结合具体情境发现并提出数学问题。●尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。●体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。●能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果
的合理性。●通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
情感与态度
●在他人的鼓励与帮助下，对身边与数学有关的某些事物有好奇心，能够积极参与生动、直观的数学活动。●在他人的鼓励与帮助下，能克服在数学活动中遇到的某些困难，获
得成功的体验，有学好数学的信心。●了解可以用数和形来描述某些现象，感受数学与日常生活的密切联系。●经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性。●
在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。
●对周围环境中与数学有关的某些事物具有好奇心，能够主动参与教师组织的数学活动。●在他人的鼓励与引导下，能积极地克服数学活动中遇到的困难，有
克服困难和运用知识解
决问题的成功体验，对自己得到的结果正确与否有一定的把握，相信自己在学习中可以取得不断的进步。●体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以借助数学
方法来解决，并可以借助数学语言来表述和交流。●通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。●对不懂的地方或不同的观点有提出疑问的意识，并愿意对数学问题
进行讨论，发现错误能及时改正。
●乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。●敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问
题的成功体验，有学好数学的自信心。●体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决
实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。●认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学
活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。●在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
第三部分内容标准
　　本部分分别阐述各个学段中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容标准。　　“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。　　“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。　　“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。　　“实践与综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解
决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
内容结构表
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
●数的认识●数的运算●常见的量●探索规律
●数的认识●数的运算●式与方程●探索规律
●数与式●方程与不等式●函数
空间与图形
●图形的认识●测量●图形与变换●图形与位置
●图形的认识●测量●图形与变换●图形与位置
●图形的认识●图形与变换●图形与坐标●图形与证明
统计与概率
●数据统计活动初步●不确定现象
●简单数据统计过程●可能性
●统计●概率
实践与综合应用
●实践活动
●综合应用
●课题学习
第一学段（1～3年级）
一、数与代数　　在本学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。　　在教学中，要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体
会数用来表示和交流的作用，　　初步建立数感；应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计
算和程式化地叙述“算理”。　　(一)
具体目标　　1．数的认识　　（1）能认、读、写万以内的数，会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
　　（2）认识符号＜，＝，＞的含义，能够用符号和词语来描述万以内数的大小。［参
见例1］　　（3）能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。　　（4）结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。［参见例2和例3］　　（5）能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数。　　（6）能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。［参见例4］　　2．数的运算　　（1）结合具体情境，体会四则运算的意义。【1】　　（2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法。　　（3）能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。　　（4）会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。　　（5）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。［参见例5］　　（6）经历与他人交流各自算法的过程。　　（7）能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。
［参见例6］　　3．常见的量　　（1）在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。　　（2）能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。［参见例7］　　（3）认识年、月、日，了解它们之间的关系。　　（4）在具体生活情境中，感受并认识克、千克、吨，并能进行简单的换算。　　（5）结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。　　4．探索规律　　发现给定的事物中隐含的简单规律。［参见例8］
　　(二)案例 　　例1 对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些
、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用“＞”或“＜”表示它们的大小关系。　　例2 1 200张纸大约有多厚？1
200名学生大约能组成多少个班级？1 200步大约有多长？　　例3 估计一张报纸一个版面的字数。　　说明
如将报纸的一个版面折成若干等份，通过其中一份的字数来估计整个版面的字数。　　例4 请你说出与日常生活密切相关的一些数及其作用。
　　说明 如学号、班级号、鞋号、体重、身高等。　　例5 如果公园的门票每张8元，某校组织97名同学去公园玩，带800元钱够不够？
　　例6 每条小船限乘4人，17人需要租几条船？你认为怎样分配才合适？　　例7
估计每分脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。　　例8 在下列横线上填上合适的图形或数字，并说明理由：
二、空间与图形　　在本学段中，学生将认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。　　在教学中，应注重所学知识与日常生活的密切联系；应注重使学生在观察、操作等活动中，获得对简单几何体和平面图形的直观经验。　　(一）
具体目标　　1．图形的认识　　（1）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。　　（2）辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。［参见例1］　　（3）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。　　（4）通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。　　（5）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。　　（6）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。　　（7）能对简单几何体和图形进行分类。　　2．测量　　（1）结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程；在测量活动中，体会建立统一度量单位的重要性。　　（2）在实践活动中，体会千米、米、厘米的含义，知道分米、毫米，会进行简单的单位换算，会恰当地选择长度单位。［参见例2］　　（3）能估计一些物体的长度，并进行测量。　　（4）指出并能测量具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。［参见例3］　　（5）结合实例认识面积的含义，能用自选单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（厘米2、米2、千米2、公顷），会进行简单的单位换算。［参见例4］　　（6）探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积。
　　3．图形与变换　　（1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。［参见例5］　　（2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。　　（3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
　　4．图形与位置　　（1）会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。　　（2）在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个方向（东、南、西或北）
辨认其余七个方向，并能用这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的路线图。
(二)案例　　例1 桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察。
　　请指出下面四幅图分别是哪位同学看到的。
　　例2 1米约相当于 根铅笔长；北京 到南京的铁路长约1000 。　　例3 测量一个不规则图形（如一片树叶）的周长。 　　例4
用一张正方形的纸作单位测量课桌面的面积。　　例5 在下列现象中，哪些是平移或旋转现象?　　（1）方向盘的转动；
（2）水龙头开关的转动；　　（3）电梯的上下移动； （4）钟摆的运动。三、统计与概率
　　在本学段中，学生将对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述数据的方
法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性。在教学中，应注重借助日常生活中的例子，让学生经历简单的数据统计过程；应注重对不确
定性和可能性的直观感受。(一)具体目标　　1．数据统计活动初步　　（1）能按照给定的标准或选择某个标准（如数量、形状、颜色）对物体进行比较、排列和
分类；在比较、排列、分类的活动中，体验活动结果在同一标准下的一致性、不同标准下的多样性。　　（2）对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验。
　　（3）通过实例，认识统计表和象形统计图、条形统计图（1格代表1个单位），并完成相应
的图表。　　（4）能根据简单的问题，使用适当的方法（如计数、测量、实验等）收集数据，并将数据
记录在统计表中。［参见例1］　　（5）通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数（结果为整数）。　　（6）知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息。　　（7）根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，能和同伴交换自己的想法。　　2．不确定现象　　（1）初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。［参见例2］　　（2）能够列出简单试验所有可能发生的结果。　　（3）知道事件发生的可能性是有大小的。［参见例3］　　（4）对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。［参见例4］(二)
案例　　例1 调查一下你跑步后脉搏跳动会比静止时快多少，并将测得的数据记录下来，与同伴进行交流。　　例2
下列现象中，哪些是确定的?　　（1） 下周三本地下雨；　　　　　　　（2）明天有人走路。　　例3
随意从放有4个红球和1个黑球的口袋中，摸出一个球，摸到红球的可能性与摸到黑球的可能性哪个大？　　例4 用'一定' '经常' '偶尔'
'不可能' 等词语来描述生活中一些事件发生的可能性。四、实践活动
　　在本学段中，学生通过实践活动，初步获得一些数学活动的经验，了解数学在日常生活中的
简单应用，初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。　　教学时，应首先关注学生参与活动的情况，引导学生积极思考、主动与同伴
合作、积极与他人交流，使学生增进运用数学解决简单实际问题的信心，同时意识到自己在集体中的作用。（一） 具体目标　　1．
经历观察、操作、实验、调查、推理等实践活动；在合作与交流的过程中，获得良好的 情感体验。　　2．
获得一些初步的数学实践活动经验，能够运用所学的知识和方法解决简单问题。　　3． 感受数学在日常生活中的作用。(二)案例　　例
某班要去当地三个景点游览，时间为　　8：00～16：00。请你设计一个游览计划，包括时间安排、费用、路线等 。　　说明
学生在解决这个问题的过程中，将从事以下活动：　　①了解有关信息，包括景点之间的路线图及乘车所需时间、车型与租车费用、
同学喜爱的食品和游览时需要的物品等；　　②借助数、图形、统计图表等表述有关信息；　　③计算乘车所需的总时间、每个景点的游览时间、所需的总费用、每个同学需要交纳的
费用等；　　④分小组设计游览计划，并进行交流。　　通过解决这个问题，学生可以提高收 集、整理信息的能力，养成与人合作的意识。
第二学段（4～6年级）
一、数与代数 　　在本学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一步发展数感
；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进学生对　　运算意义的理解；应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问
题中抽象出
数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。(一)具体目标
　　1．数的认识　　（1）在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表
示大数。　　（2）进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，并会进
行转化（不包括将循环小数化为分数）。　　（3）会比较小数、分数和百分数的大小。　　（4）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。　　（5）结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。［参见例1］　　（6）进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流。［参见
例2和例3］　　（7）在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2，3，5的倍数的
特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。　　（8）在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。　　（9）知道整数、奇数、偶数、质数、合数。　　2．数的运算　　（1）会口算百以内一位数乘、除两位数。　　（2）能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。　　（3）能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超
过三步）。　　（4）探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。　　（5）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。　　（6）会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两
步为主，不超过三步）。　　（7）会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题。　　（8）在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。［参见例4
至例6］　　（9）能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。
［参见例7］　　3．式与方程　　（1）在具体情境中会用字母表示数。　　（2）会用方程表示简单情境中的等量关系。　　（3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如?3x+2＝5，2x-x＝3)。?4．正比例、反比例　　（1）在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题。　　（2）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。　　（3）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。［参见例8］　　（4）能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。　　5．探索规律　　探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。［参见例9和例10］(二)
案例　　例1 一个正常人心跳100万次大约需要多长时间？100万小时相当于多少年？100万张纸有多厚？　　例2
某学校为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生；9713321表示“1997年入学的一年级三班的32号同学，该同学是男生”。那么，9532012表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号是多少？是男生还是女生？　　例3
你是否喜欢数学？如果用5，4，3，2，1分别代表
从最喜欢到最不喜欢之间的5种程度，你选哪个数？说明理由。如果小明选择2，说明什么？如果小立比较喜欢数学，他最可能选几？　　例4
李阿姨想买2袋米(每袋354元)、148元的 牛肉、67元的蔬菜和128元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？　　例5
92×71的结果大约是多少？12+47的结果比1大吗？　　例6 估测一粒花生的质量。　　说明
可以通过称50粒花生的质量进行估测，也可以通过数100克花生的粒数进行估测。　　例7
任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数。对所得结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么呢？(利用计算器)　　例8
彩带每米售价4元，购买2米、3米、……彩带分别需要多少钱？　　填一填：
　　把上表中长度和价钱所对应的点描在坐标纸上，再顺次连接起来，并回答下列问题：　　a．所描的点是否在一条直线上？　　b．估计一下买1?5米的彩带大约要花多少元？　　c．小刚买的彩带的长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？
　　例9 完成序列，并说明理由。　　0?5， 1?5， 4?5， 。　　例10 联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1
个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？　　说明
解决这个问题，学生?可以有多种方法。如，用A表示红气球，B表 示
黄气球，C表示绿气球，则按照题意可以写成AAABBCAAABBC…从而找出第16个字母，并推出第16个气球的颜色。二、空间与图形
　　在本学段中，学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换
和确定物体位置的方法，发展空间观念。　　在教学中，应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题；应注重使学生通过观察、
操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换；应注重
通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。 （一）
具体目标　　1．图形的认识　　（1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。　　（2）能区分直线、线段和射线。　　（3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。　　（4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。　　（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。　　（6）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。　　（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180
　　（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。　　（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的
展开图。　　（10）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。［参见例1］　　2．测量　　（1）
会用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°角。　　（2）利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。　　（3）探索并掌握圆的周长和面积公式。　　（4）能用方格纸估计不规则图形的面积。［参见例2］　　（5）通过实例，了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米3、分米3、厘米3、升
、 毫升），会进行单位之间的换算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的实际意义。 　　（6） 结
合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法。 　　（7）
探索某些实物体积的测量方法。［参见例3］　　3．图形与变换　　（1）
用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 　　（2）
能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。　　（3）
通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。 ［参见例4］　　（4）
欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。　　4．图形与位置　　（1）
了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。 　　（2）
能根据方向和距离确定物体的位置。［参见例5］　　（3） 能描述简单的路线图。［参见例6］　　（4）
在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置。［参见例7］(二)案例　　例1　　下面是一组立方块:
　　例2 下图每个小方格为1个平方单位， 试估计曲线所围部分的面积。
　　例5 假设大门在教室的正南方向50米处，图书馆在教室北偏东60°方向的100米处。试画出示意图。　　例6
画出从学校到家的路线示意图，并注明方向及主要参照物。　　例7
小青坐在教室的第3行第4列，用(4,3)表示，小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示？三、统计与概率
　　在本学段中，学生将经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；将进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。　　在教学中，应注重所学内容与现实生活的密切联系；应注重使学生有意识地经历简单的数据
统计过程，根据数据作出简单的判断与预测，并进行交流；应注重在具体情境中对可能性的体验；应避免单纯的统计量的计算。(一)
具体目标　　1．简单数据统计过程　　（1）经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。　　（2）根据实际问题设计简单的调查表。　　（3）通过实例，进一步认识条形统计图（1格表示多个单位），认识折线统计图、扇形统计
图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。　　（4）通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、
众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征。［参见例1和例2］　　（5）能从报刊杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。［参见例3］　　（6）能设计统计活动，检验某些预测。［参见例4］　　（7）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。　　（8）初步体会数据可能产生误导。［参见例5］　　2．可能性　　（1）体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性。
　　（2）能设计一个方案，符合指定的要求。［参见例6］　　（3）对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。［参见例7］(二)
案例　　例1 小明所在班级的学生平均身高是1?4米，小强 所在班级的学生平均身高是1?5米。 小明一定比小强矮吗？　　例2
选择适当的统计量来表示我们班同学最喜爱的颜色 。　　例3 在《中国日报》日的国庆专刊上， 刊
登了有关中国城市建设在建国5 0年来的发展情况， 下面摘录了一则中国城市数量统计图。你从这个统计图中获得了哪些信息? 并和同学交流。
中国城市数量统计图
　　例4 估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋，通过实际调查验证你的估计。　　例5
某公司有15名职工，对外招聘时称该公司职工的月平均工资超过1200元。请分析下面的统计表，你怎样看待该公司公布的这个数？
　　例6 在一个正方体的6个面上分别标上数字,使得“2”朝上的可能性为13。　　说明
这个正方体的6个面上的数字可以分别为1，2，2，3，4，5。 　　例7 调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛
谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。四、综合应用 　　在本学段中，学生将通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，学会综合运用所学的知识和
方法解决简单的实际问题，加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法,并能与他人进行合作交流。　　教学时，应引导学生从不同角度发现实际问题中所包含的丰富的数
学信息，探索多种解决问题的方法，并鼓励学生尝试独立地解决某些简单的实际问题。（一） 具体目标 　　1．
有综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成 功体验，初步树立运用数学解决问题的自信心。　　2．
获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法。　　3． 初步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用。(二)案例　　例1
设计合适的包装方式。(1)现有4盒磁带，有几种包装方式?哪种方式更省包装纸？(重叠处忽略不计)(2)
若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸？(重叠处忽略不计)说明这是生活中常见的问题，通过解决这类问题可以培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。　　例2
上海的电视塔有多高？北京的电视塔有多高？它们的高度大约分别相当于几个教室的高度？分别相当于多少个学生手拉手的长度？还有什么样的办法可以形象地描述电视塔的高度？　　说明
这个问题可以加深学生对大数的感知与认识，进一步发展数感。同
时，学生还能学习如何通过询问、查阅资料等调查方式来收集数据。　　
第三学段（7～9年级）
一、数与代数　　在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。　　在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从
实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。(一)具体目标　　1．数与式　　（1）有理数　　①
理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。　　②
借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不 含字母）。　　③
理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。　　④
理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。　　⑤ 能运用有理数的运算解决简单的问题。　　⑥
能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。［参见例1］　　（2）实数 　　①
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。　　②
了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。　　③
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。　　④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］　　⑤
了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。　　⑥
了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则 运算(不要求分母有理化)。　　（3） 代数式　　①
在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。　　② 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。［参见例3与例4］　　③
能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。［参见例5］　　④
会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算。　　（4）整式与分式　　①
了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。 　　②
了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。　　③
会推导乘法公式：?（a＋b）（a－b）= a2－b2；（a＋b）2 = a2＋2ab＋
b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。?　　④ 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
　　⑤ 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。［参见例6］
　　2．方程与不等式　　（1）方程与方程组　　① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数
学模型。　　② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］　　③
会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）。　　④
理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。　　⑤
能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。　　（2）不等式与不等式组　　①
能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。　　②
会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。　　③
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单
的问题。　　3．函数　　（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］　　（2）函数　　①
通过简单实例，了解常量、变量的意义。　　② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。　　③
能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］　　④
能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。　　⑤
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］　　⑥
结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］　　（3）一次函数　　①
结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。　　②
会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k?＜0时，图象的变化情况
＝。　　③ 理解正比例函数。　　④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。　　⑤
能用一次函数解决实际问题。　　（4）反比例函数　　① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。　　②
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k&0或k&0时，图象的变化）。?　　③
能用反比例函数解决某些实际问题。　　（5）二次函数　　① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。　　②
会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。　　③
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。　　④
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。(二)案例　　例1 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情
将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？　　说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个
人平均一天需要0?5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食…… 例2 估计√ 5 -1 与0.5哪个大　　　　　　2 　　例3
在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫
的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度（℃）与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是：温度 = 蟋蟀每分叫的次数
÷7+3。　　试用字母表示这一关系。
例3 观察下列图形并填表：
　　例5 对代数式3a作出解释。　　说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的
边长为a，这个三角形的周长是3a。　　例6 化简： (1)x2-4x+4 ； (2)x-2　x+2　　　　　　　　　　x2-4
　　　x+2　 x-2　　例7 估计下列方程的解：　　（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。　　例8
5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？　　说明 可以用列举、画图等方法。　　例9
小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返
回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？
　　例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。　　例11
填表并观察下列两个函数的变化情况：
　　（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；　　（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。二、空间与图形　　在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。　　推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。　　在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明
的要求控制在《标准》所规定的范围内。（一）具体目标　　1．图形的认识　　(1)
点、线、面　　通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由
点组成的）。　　（2）角　　①通过丰富的实例，进一步认识角。　　②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行
简单换算。　　③了解角平分线及其性质【1】　　（3）相交线与平行线　　①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。　　②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。　　③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。　　④了解线段垂直平分线及其性质【1】
。　　⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。　　⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。　　⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。　　（4）三角形　　①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。　　②探索并掌握三角形中位线的性质。　　③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。　　④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角
形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。　　⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。　　（5）四边形　　①
探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。　　②
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系
；了解四边形的不稳定性。　　③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］
。　　④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。　　⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］　　⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。　　⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，
并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。　　（6）圆　　①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。　　②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。　　③了解三角形的内心和外心。　　④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
　　⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。　　（7）尺规作图　　①
完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。　　②
利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。　　③
探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。　　④
了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。　　（8）视图与投影　　①
会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图
），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。　　②
了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。　　③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。　　④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。　　⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴
影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。　　⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。　　⑦通过实例了解中心投影和平行投影。　　2．图形与变换　　（1）图形的轴对称　　①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。　　②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。［参见例1］　　③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。　　④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。　　（2）图形的平移　　①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。　　②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。　　③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。　　（3）图形的旋转　　①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。　　②
了解平行四边形、圆是中心对称图形。　　③ 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。　　④ 欣赏旋转在现实生活中的应用。　　⑤
探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］　　⑥
灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。　　（4） 图形的相似　　①
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 　　②
通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。　　③
了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。　　④ 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。　　⑤
通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（ 如利用相似测量旗杆的高度）。　　⑥
通过实例认识锐角三角函数（sin ?A?，cos ?A?，tan ?A?），知道30°，45°， 60°角的三角函
数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。 　　⑦
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。　　3．图形与坐标 　　（1）
认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、 由点的位置写出它的坐标。［参见例4］　　（2）
能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］　　（3）
在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］　　（4）
灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］　　4．图形与证明　　（1）了解证明的含义　　① 理解证明的必要性。　　②
通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。　　③
结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。　　④
通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。　　⑤ 通过实例，体会反证法的含义。　　⑥
掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。　　（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据　　①
一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。　　② 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。　　③
若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全 等。　　④
全等三角形的对应边、对应角分别相等。　　（3）利用（2）中的基本事实证明下列　　命题［1］1 　　①
平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。　　②
三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。　　③
直角三角形全等的判定定理。　　④ 角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。　　⑤
垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。　　⑥ 三角形中位线定理。　　⑦
等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。　　⑧
平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。　　（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值
(二)案例　　例1 以树干为对称轴，画出树的另一半。
　　例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。
　　例3 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？
　　例4 在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来：　　①
（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），　　　　（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；　　②
（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；　　③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；　　④
（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；　　⑤ （3，3）。　　观察这个图形，你觉得它像什么？ 　　例5
下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系 ，用坐标表示各个景点的位置：
如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案“A”经过变换分别变成图2至图6中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。
张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：　　（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；　　（2）填空：　　百鸟园在大门的北偏东　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米；　　熊猫馆在大门的北偏　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米；　　驼峰在大门的南偏　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米。　　说明
本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。三、统计与概率　　在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。　　在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。(一)具体目标　　1．统计　　（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。　　（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可
能得到不同的结果。［参见例1］　　（3）会用扇形统计图表示数据。　　（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数
据的集中程度。　　（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散
程度。［参见例2］　　（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。　　（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。　　（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。　　（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法
。　　（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。［
参见例3］　　2．概率　　（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。［参见例4和例5］　　（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。［参见例6］　　（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
(二)案例　　例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电
视的人都要被问到吗？对一所大学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做的调查结果会一样吗？　　例2
下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位 ：千克），比较两个水果店销售量的稳定性。
　　例3 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。　　例4
一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。　　例4
如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。
例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的频率。
　例7 一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定 会中奖吗?四、课题学习
　　在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解 决问
题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。　　在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生,
活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。(一)具体目标
　　1．经历“问题情境-建立模型-求解-解释与应用”的基本过程。　　2．体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。　　3．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。　　4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。(二)案例　　例
用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？　　说明 这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：①
无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的体积会较大？⑤如果是用一
张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？　　通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。
第四部分 课程实施建议第一学段（1～3年级）
一、教学建议　　数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。　　数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。　　教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造地设计教学过程；要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展；要让学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。
　　(一)让学生在生动具体的情境中学习数学　　在本学段的教学中，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学
教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。例如，教师可引导学生进行如下的游戏活动。
　　例1 两个同学一组做猜数游戏。　　甲：我想了一个两位数，你猜猜是多少? 　　乙：这个数比50大吗？　　甲：对。
　　乙：比70小吗？　　甲：对。 　　乙：比60大吗？　　甲：不对。
　　乙：比56大吗？　　……　　教师可以利用上述游戏，引导学生开展有趣的数学活动，使学生在体会数的大小的同时，还能学到一种解决问题的有效策略，其中包含着朴素的用'区间套'逐步逼近的思想。　　(二)引导学生独立思考与合作交流　　动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。在本学段的教学中，教师要让学生在具体的操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴进行交流。教师应提供适当的帮助和指导，善于选择学生中有价值的问题或意见，引导学生开展讨论，以寻找问题的答案。　　例2
旋转转盘（见下图），指针落在阴影区域的可能性大，还是落在白色区域的可能性大？
　　在教学中，教师可以首先将学生分组，让每一个学生预先猜测指针会停在哪一个区域内，然后动手旋转转盘。学生在亲自旋转转盘的过程中体会到，当转盘没有停下来以前，指针落在阴影区域还是落在白色区域是不确定的，通过多次旋转后，学生逐渐体会到指针落在
阴影区域和落在白色区域的次数不一样，停在白色区域的次数比落在阴影区域的次数要多，即指针落在白色区域的可能性比指针落在阴影区域的可能性大。在学生动手操作的基础上，教师可以引导学生开展讨论，交流自己的感受。　　在“空间与图形”部分的教学中，教师应设计丰富多彩的活动，使学生通过观察、测量、折
叠、讨论，进一步了解自己所生活的空间，认识一些常见的几何体与平面图形。例如，在辨认长方体、正方体、圆柱和球的教学中，教师应从学生熟悉的实物（如篮球、乒乓球、饮料
瓶、万花筒、粉笔盒、牙膏盒、地球仪等）中选取素材，鼓励学生进行观察、触摸、分类等活动，形成对有关几何体的直观感受。又如，教学中可以设计下面的活动：让4名同学分别坐在4个方向，观察同一个物体（如水壶、茶杯等），先把自己看到的画下来，然后组织学生交流，猜一猜某幅画是谁画的，他坐在哪个位置。学生通过观察、比较、想像，体会到在
不同的方向看到的是不一样的，逐步发展空间观念。　　(三)加强估算，鼓励算法多样化
　　估算在日常生活中有着十分广泛的应用，在本学段教学中，教师要不失时机地培养学生的估 算意识和初步的估算技能。　　例3
小明家养鸡的收入是243元，养猪的收入是479
元。估计这两项收入一共多少元？　　不同学生的估算策略可能有所不同，有的学生认为：“200加400等于600，43加79大于100
，因此它们的和比700多一点”；有的学生估算的方法可能是：“243小于250，479小于500
，因此它们的和比750小”；有的学生可能说：“这个数比200＋400大，比300＋500 小”，
这些都是正确的。教师应组织学生交流各自的估算方法，比较各自估算的结果，逐步发展学生的估算意识与策略。　　由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，
鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。如对于计算34+27的问题，学生可以采取多种方法，以下列举的方法都应当受到鼓励。
　　教师不要急于评价各种算法，应引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合于自己的方法。　　又如，解决'在开家长会时，每张长凳最多坐5人，33位家长至少需要准备几张长凳'这
个问题时，学生的思考方法可能是多样的。有的学生借助学具，用小棒代表长凳，用圆片代表家长，在操作中得出至少应准备7张长凳；有的学生通过计算33÷5，判断至少应准备7张长凳；有的学生则用乘法，5×7＝35，35＞33，而5×6＝30，30＜33，因此至少要准备7张长凳。对于这些方法，教师都应该加以鼓励，并为学生提供交流的机会，使学生在相互交流
中不断完善自己的方法。这样不仅可以帮助教师了解不同学生的学习特点，而且有助于促进学生个性的发展。同时，教师应经常要求学生思考这样的问题：你是怎样想的？刚才你是怎么做的？如果……怎么样？出现什么错误了？你认为哪个办法更好？……以此来引导学生思考并交流解决问题的方法。　　(四)培养学生初步的应用意识和解决问题的能力在本学段的教学中，教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。例如，教师可以引导学生解决如下的开放性问题。　　例4
27人乘车去某地，可供租的车辆有两种：一种 车可乘8人，另一种车可乘4人。　　（1） 给出3种以上的租车方案；　　（2）
第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，哪种方案费用最少？　　实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。在本学段，教师应组织学生开展生动有趣的活动，使学生经历观察、操作、推理、交流等过程。
二、评价建议　　评价的目的是全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。评价也是教师反思和改进教学的有力手段。
　　对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度
的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。评价的手段和形式应多样化，应以过程评价为主。对评价结果的描述，应采用鼓励性语言，发挥评价的激励作用。评价要关注学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。
　　(一) 注重对学生数学学习过程的评价
　　本学段对学生学习过程的评价，应该考察学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否乐意与同伴进行交流和合作，是否具有学习数学的兴趣。教师还应重视了解学生数学思考的过程，可以让学生在解决问题时，说一说他的思考过程。　　例1
测一测，你能将实心球投多远？　　在上述活动中，我们首先要考察学生的参与程度，了解学生能否独立地提出测量的方案，能否与他人合作共同解决问题，能否将自己的方法和解决问题的过程与他人进行交流。同时也要了解学生在活动中运用知识解决问题和进行数学思考的情况。学生可能有以下几种表现：（1）按照教师指导的方法进行测量；（2）自己想出其他的测量方法（如步测、用绳子量、用米尺量、用卷尺量等）；（3）通过小组合作，探索用多种方法进行测量，交流不同的测
量方法；（4）用多种方法测量，并简单地解释测量方法的合理性。 比如，如果一个学生投
出的距离超过了3米，用米尺量这段距离会有一定的误差，因为量的过程可能不是一条直线 ，而用卷尺量更精确一些。
教师可以根据学生在活动过程中的上述表现进行分析和评价。
　　在评价学生的学习过程时，可以采用建立成长记录袋的方式，以反映学生学习数学的进步历程，以增强他们学好数学的信心。教师可以引导学生自己在成长记录袋中收录反映学习进步的重要资料，如最满意的作业、最喜爱的小制作、印象深刻的问题和解决过程、阅读数学读
物的体会，等等。　　(三) 恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握
　　本学段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知识与技能目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。
　　应当强调的是，学段目标是本学段结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。如，下表所列出的对计算的要求，并不是在学完相应的内容后所有学生都应马上达到，而是在本学段结束时应达到的目标，评价时应注意把握尺度。
20以内的加减法和表内乘除法口算
每分8～10题
三位数以内的加减法
每分2～3题
两位数乘两位数
每分1～2题
除数是一位数、被除数不超过三位数的除法
每分1～2题
　　本学段学生往往需要借助具体事物或实物模型完成学习任务。因此，对学生评价时，应重点考察学生结合具体材料对所学内容实际意义的理解。
　　对数与代数内容的评价，应结合具体情境，考察儿童对数的意义的理解。比如对分数意义的理解可以在以下的情境中进行考察。　　例2
（1）下图中阴影部分占整个图形的几分之几?
　　（2）请你用图形表示四分之一。　　对空间与图形内容的评价，要结合直观素材和生活情境评价学生对图形的认识。如，可利用下面的问题考察学生的空间观念。
　　对统计与概率内容的评价，应结合生活情境考察学生初步的统计意识和解决简单问题的能力。如在准备班级活动时，为了确定要购买水果的种类和数量，可让学生调查全班同学最喜欢吃的水果种类和相应人数。在评价时，可以主要考察以下几方面：学生能否在教师的指导和帮助下，运用适当的方法去收集喜欢吃各种水果的人数；在收集数据的基础上，能否将这些
数据进行分类、整理和描述（如能说出'我们班喜欢吃苹果的人数最多，喜欢吃梨的人数还不到喜欢吃苹果的人数的一半'等等）；能否确定自己的购买方案。
　　(三) 重视对学生发现问题和解决问题能力的评价对学生发现问题和解决问题能力的评价，要注意考察学生能否在教师指导下，从日常生活中
发现并提出简单的数学问题；能否选择适当的方法解决问题；是否愿意与同伴合作解决问题；能否表达解决问题的大致过程和结果。如，教师可以让学生从日常生活中提出各种问题：谁的铅笔多，谁的个子高，谁的家离学校近……教师可以根据学生提出问题的数量和质量，给予定性评价。　　(四)评价方式要多样化　　这一学段的儿童刚刚进入学校，他们对数学的感受对于今后是否喜欢数学学}