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欧拉操作在平直折叠中的应用
　　摘要：基于实体几何模型的半边表示法，设计纸折叠的计算模型。该计算模型包括当前纸态的几何与拓扑数据结构，并结合图形学和计算几何中的基本算法实现纸的折叠。在折叠的过程中，对应的顶点、边、面和折痕都发生了变化，并且符合欧拉示性数。因此，可以使用的欧拉操作来实现纸折叠的过程。中国论文网 /8/view-3278530.htm　　关键词：计算模型 折叠的性质 欧拉操作　　1、折叠中纸态的性质　　纸态[1](paper configuration)是指初始纸张(初始纸态)经过折叠所能达到的所有状态。纸态是一个特殊的几何实体，是纸面以及它们之间拓扑邻接关系的集合。　　1.1 纸飞机3个状态的平面几何图　　图1.1是纸由初始状态进行3次折叠后的平面图。该状态由5纸面，16条边， 4条折痕，16个顶点构成。　　在折叠操作中纸态的性质：V-E+F-C=F0。其中F0是初始纸态包含的纸面的个数F0=1；C是当前纸态折痕的数目，多个纸面具有相同折痕的情况下，应该将其数目累加；V为当前纸态的顶点个数；E为当前纸态包含的边的个数(包括折痕在内的所有边)；F为当前纸态所包含的纸面的个数。初始纸态中V=4、E=4、F=1、C=0、F0=1即V-E+F-C=F0成立；一次折叠F1中V=8、E=8、F=2、C=1、即V-E+F-C=F0=1；二次折叠F2中V=11、E=11、F=3、C=2即V-E+F-C=F0=1成立；三次折叠F3中V=16、E=16、F=5、C=4即V-E+F-C=F0成立。　　我们采用数学归纳法可以证明：V-E+F-C=F0成立。即折叠中纸态的性质。　　在代数拓扑中，欧拉示性数[2](Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上，是同伦不变量)，对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作χ。　　二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：　　χ = V - E + F　　(1.1)其中F、E和V分别是纸面、边和顶点的个数。最为常用的欧拉操作是：　　(1) mvsf(v, f)，生成含有一个点的面，并且构成一个新的体。　　(2) kvsf，删除一个体，该体仅含有一个点的面。　　(3) mev(v1, v2, e)，生成一个新的点v2，连接该点到已有的点v1，构成一条新的边。　　(4) kev(e, v)，删除一条边e和该边的一个端点v。　　(5) mef(v1, v2, f1, f2, e)，连接面f1上的两个点v1、v2，生成一条新的边e，并产生一个新的面。　　(6) kef(e)，删除一条边e和该边的一个邻面f。　　(7) semv(e1, v, e2)，将边e1分割成两段，生成一个新的点v和一条新的边e2。　　(8) jekv(e1, e2)，合并两条相邻的边e1、e2，删除它们的公共端点。　　(9) kemr(e)，删除一条边e，生成该边某一邻面上的一新的内环。　　(10) mekr(v1, v2, e)，连接两个点v1、v2，生成一条新的边e，并删除掉v1和v2所在面上的一个内环。　　(11) kfmrh(f1, f2)，删除与面f1相接触的一个面f2，生成面f1上的一个内环，并形成体上的一个通孔。　　(12) mfkrh(f1, f2)，删除面f1上的一个内环，生成一个新的面f2，由此也删除了体上的一个通孔。　　可以证明：欧拉操作是有效的，即欧拉操作对形体操作的结果在物理上是可实现的；折叠中纸态的性质给出了纸态的顶点、边、折痕、纸面的数目之间的关系，在对纸态的结构进行修改时，必须要保证这个公式成立，才能够保证纸态的有效性。由于不涉及内环，我们只使用了其中的8个欧拉操作。　　2、结论　　本文研究了在折纸过程中折叠的性质。通过举例，得出折叠过程中纸态的顶点、边、纸面、折痕符合V-E+F-C=F0的关系式，即他们的运算值是一个欧拉示性数。因此，就可以使用欧拉操作来实现折叠的过程。　　参考文献：　　[1]Erik D D，Martin L D. Recent Results in Computational Origami[D]. Waterloo: University of Waterloo, 1998 .　　[2]田载今, 李海东. 浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数[J]. 中小学教材教学, 2003, 18.
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教学归纳法学习中的“误区”
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教学归纳法学习中的“误区”
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用数学归纳法证明平面图形欧拉公式 v-E+F=1
来源：互联网 &责任编辑：王小亮 &
用数学归纳法证明:平面内的n条直线至多将平面分成(n^2+n+2)...因为n=1时,f(1)=2,n=2时,f(2)=4,n=3时,f(3)=7,于是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2下面证明猜想正确即可证明:①:n=1时已经证明了其正确性②:假设n=k时也成立,则f(k)=(k^2+k+2...数学归纳法证明关于平面内圆与圆的相交点问题猜想f(n)=n^2-n+2当n=1时,f(1)=2命题成立假设命题对n=k成立,即f(k)=k^2-k+2引进第k+1个圆时,增加2k个部分所以f(k+1)=f(k)+2k=k^2-k+2+2k=k^2+2k+1-k-1+2...用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1给你一个思路吧:三角形的时候成立(略)假设当k=n是成立k=n+1的时候画一条边连接相邻的两个顶点,是图形变成一个n边形和一个三角形的组合,利用归纳假设,k=n的时...用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1给你一个思路吧:三角形的时候成立(略)假设当k=n是成立k=n+1的时候画一条边连接相邻的两个顶点,是图形变成一个n边形和一个三角形的组合,利用归纳假设,k=n的时候……然...用数学归纳法证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180°(n≥3)3)时命题成立。也就是说假设凸k边形时其内角之和等于180o(n-2)。现在要证明凸k+1边形时,其内角...用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图3)用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图5)用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图7)用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图9)用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图12)用数学归纳法证明平面图形欧拉公式v-E+F=1(图14)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:用数学归纳法证明平面图形欧拉公式 v-E+F=1我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:用数学归纳法证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180°(n≥3)3)时命题成立。也就是说假设凸k边形时其内角之和等于180o(n-2)。现在要证明凸k+1边形时,其内角...防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:数学归纳法平面内有n条直线证明:(1)n=1,代入n(n-1)/2=0,显然成立;n=2时,n(n-1)/2=1,也成立;(2)假设n=k时成立,则有k(k-1)/2个交点当n防抓取，学路网提供内容。给你一个思路吧：高中数学(归纳法证明)/2部份用数学归纳法证明:①当n=1时,一条直线将平面分成两个部分,而f(1)=(1ˇ2+1+2)/2=2∴命题成立。②假设当n=k时,命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=(防抓取，学路网提供内容。三角形的时候成立（略）高3数学数学归纳法证明证明:(1)当n=3时,从平面几何知道,三角形内角和等于180°,(n-2)180°=(3-2)180°,所以n=3时命题成立。(2)假设n=k(k≥3)时,命题成立,就是k边形防抓取，学路网提供内容。假设当k=n是成立想要几道数学归纳法的新题型2、用数学归纳法证明1+2+22+23+……+25n-1(n&IN)是31的倍数时,从"n=k&n=k+1"需添的项是___________。23、设Sk=防抓取，学路网提供内容。k=n+1的时候用数学归纳法证明：12×4+14×...问：用数学归纳法证明：12×4+14×6+16×8+…+12n(2n+2)=n4(n+1)...答：证明：（1）当n=1时，等式左边=12×4=18，等式右边=防抓取，学路网提供内容。画一条边连接相邻的两个顶点,是图形变成一个n边形和一个三角形的组合,利用归纳假设,k=n 的时候……然后再和那个三角形的加起来,减去重复相加的……只有递推公式怎么用数学归纳法问：只有递推公式怎么用数学归纳法答：证起点成立。n＝1，假设n＝k成立，通过k成立推出n＝k＋1成立。就可以证明递推公式成立。防抓取，学路网提供内容。剩下的,数学归纳法平面内有n条直线证明:(1)n=1,代入n(n-1)/2=0,显然成立;n=2时,n(n-1)/2=1,也成立;(2)假设n=k时成立,则有k(k-1)/2个交点当n=k+1时,交点数为k(k-1)/2+k=(k+1)[(k+1)...高中数学(归纳法证明)/2部份用数学归纳法证明:①当n=1时,一条直线将平面分成两个部分,而f(1)=(1ˇ2+1+2)/2=2∴命题成立。②假设当n=k时,命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=(kˇ2+k+2)/2...高3数学数学归纳法证明证明:(1)当n=3时,从平面几何知道,三角形内角和等于180°,(n-2)180°=(3-2)180°,所以n=3时命题成立。(2)假设n=k(k≥3)时,命题成立,就是k边形内角和等于(k-2)180°。如...想要几道数学归纳法的新题型2、用数学归纳法证明1+2+22+23+……+25n-1(n&IN)是31的倍数时,从"n=k&n=k+1"需添的项是___________。23、设Sk=,那么Sk+1=Sk+_____24、记平面内每两...
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问题描述：
请问在dimV1+dimV2=dimV时,如何证明V1+V2=V (和为直和)sorry V1,V2 为 V 的子空间
问题解答：
这道题目很简单一般线性代数习题书上都有用反证法去证这儿编辑数学公式太不方便了
我来回答：
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a1=(1,-1,0,...,0)a2=(1,0,-1,...,0)...an-1=(1,0,0,...,-1)是 x1+x2+..+xn=0 的基础解系an = (1,1,1,...,1)是 x1=x2=..=xn 的基础解系所以 V1 = L(a1,a2,...,an-1), V2 = L(an).因为 a1,a2
I是干路电流吗? 再问： 恩，是的，图有点问题，少了干路上的电流表。 再答： ΔU1/ΔI代表的是L2的电阻和内阻，所以它是不变的。 滑动变阻器改变电阻，那么相应的U1和I也会跟着改变，但不改变的是电源电动势。所以ΔU1/ΔI=-(ΔU2+ΔUr)/ΔI=-(R2+r) 负号表示电压随电流的减小而增大再问： 为什么ΔU
对于做匀变速直线运动的物体,当初速度V0=0时,在第一秒、第二秒、第三秒末的速度之比为V1:V2:V3=1:2:3.前1s、前2s、,前3s内的位移之比S1:S2:S3=1:4:9.第一s内、第二秒内、第三秒内的位移之比为Ⅰ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.
总觉得你的术语好奇怪啊,一般都是说线性无关的1.﹛v1+v2,v1-v2﹜线性独立假设v1+v2,v1-v2线性相关v1=1/2(v1+v2)+1/2(v1-v2)v2=1/2(v1+v2)-1/2(v1-v2)那么,v1,v2线性相关,矛盾2.是v1+2v2=(1/2(v1+v2)+1/2(v1-v2))+2(1/2
qv1,竖直向下
少年..给个图吧..30度角两种可能补个图我就帮你做了就是△I/△t=F嘛 再问： 就是和水平的夹角是30啊 再答： ....冲量是矢量 ，分解在X和Y上同时算△Ix/△t=Fx，△Iy/△t=Fy就好，LZ无论是哪种都这么搞
∑1/（ab)是轮换求和的意思,可以这样理解,∑1/（ab)的展开方法就是：第一项是1/ab,第二项将第一项中的a换成b,b换成c:1/bc,第三项中将b换成c,c换成d：1/cd；第四项将c换成d,d换成a:1/da,这样一直下去,总之后一项就是把前一项的字母换都换成它的后一个字母,如果它的后一个字母在题中没有,就又
亲爱的楼主：2√x+1/x=√x+√x+1/x>=3(x>0) 当且仅当√x=1/x x=1时取等号 所以2√x+1/x>=3 2√x>=3-1/x或者(中值定理（a+b+c）/3》=（abc）^(1/3))则(√x+√x+1/x)/3>=（√x*√x*1/x)^(1/3)=1祝您步步高升 再问： 嗯嗯！太棒了
构造函数f(x)=x-ln(x+1),(x>0),对f(x)求导,f,(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1).显然x>0,有f,(x)>0,f(x)在x>0上单调递增,f(x)>f(0)=0,所以x-ln(x+1)>0,即x>ln(x+1)
两圆应该是等圆吧.那么就有了Ao=Ao` oD=o`E 弧AD=弧AE 等条件∵oD=o`E ED=DE ∴oE=o`D∵Ao=Ao` ∠Ao`E=∠AoD oD=o`E ∴△≌△ ∴AE=AD∵AE=AD AC=AC∴RT△≌RT△ ∴CE=CD∵AC⊥OC∴AC=CB另外,易证∠oAE=∠o`AD基本就这些了.
结论显然.设dimV1=dimV2=m.考虑子空间V1的一组基,设为a1,a2,……,am.由于V1包含于V2,则上述基可扩充为V2的一组基.而dimV2=m.因此上述基亦是V2的一组基.因此V1=V2
线性空间的维数的意思,是维数的英文dimension的缩写,希望对你有所帮助
　　国家税务总局　　关于印发《土地增值税清算管理规程》的通知　　国税发[2009]91号　　字体：【大】【中】【小】　　各省、自治区、直辖市和计划单列市地方税务局：　　为了加强房地产开发企业的土地增值税征收管理,规范土地增值税清算工作,根据《中华人民共和国土地增值税暂行条例》及其实施细则、《中华人民共和国税收征收管理法
现在已有科学证明,过多铝的摄入可造成人脑的痴呆.烹饪加醋的菜肴不要使用铝锅,因醋会破坏铝锅表面的氧化铝膜,使铝溶入菜肴中,食用过多的铝会抑制肠道对磷的吸收,使骨骼中含磷量降低,导致骨质疏松,容易造成骨折；铝还可蓄积在脑中,引起大脑神经细胞退化,出现特有的神经元纤维结病变、记忆力降低、智力减退、痴呆及性格改变等；铝还能降
哥们,几何题不好找,我给你出道题吧用反证法证明已知a+b+c＞0,abc＞0,ab+bc+ac＞0,求证a＞0,b＞0,c＞0.证明如下假设a＞0不成立,则a＜＝0,分两种情况讨论1 当a小于0时,因为abc大于0,所以bc小于0,因为a+b+c大于0,所以b+c＞-a＞0,a(b+c)＜0.从而ab+bc+ca=a(
先有鸡还是先有蛋之争,之先有鸡 从生物进化论观点说来当然是先有鸡后有蛋.大家都知道生 物是从低级到高级,从水生到陆生,由简单到复杂逐渐演变 的.鸡属于鸟类,是从爬行类进化而来,而爬行类又是从鱼 类进化而来,鱼类则源自无脊椎动物.我们知道低等生物是 靠自身分裂来繁衍后代,鱼类爬行类则是产卵,当进化到相 当程度时候第一枚蛋
这里的n是代表整数吧!根据题目可以知道.n是大于0的数.（因为n0所以函数y=x-lnx 在区间(0,正无穷）单调增.又当n=x=1时,y=1-ln1=1>0 也就是n>ln n所以当x>1时.f(x)>f(1)当x取整数时,也成立.也就是n>2,3,4...,时f(n)>f(1)>0即n-ln n>0也就是n>ln
n=1时有1=1/3×(a+b)n=2时有1+9=1/3×2(4a+b)如果能成立,联立得a=4,b=-1.验证易知n=3时,左边=1+9+25=35=1/3×3×(4×9-1)=右边成立.假设当n=k(k≥2)时有1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)成立,则当n=k+1时,有左边=1
光速不变原理:任何惯性系中,真空中的光速恒定为C,与光源和观测者的运动状态无关.按照现代物理理论,光速不变原理是必然成立的,即C是一个具有绝对意义的物理量.无论光源以多大的速度运动,发出的光速还是C=30万公里.光速是不可以超越,只能无限接近.例如1964年,在西欧核子中心(CERN),利用高能质子(能量为19.2Ge
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前言在初中课本，就有提到欧拉公式，即对于一个多面体，存在点+面-线=2，简记口决为“小二，点碗面线”。若设点数为n，面数为r，线数为m，则可表记为在图论中，对于平面图，该公式也成立。这两个情形其实是同一种状况。用数学归纳法可以证明该公式，但在高中数学中，还有另一种特殊的方法——利用球面几何。预备知识在平面中，k边形内角和 但在半径为1的球面上，k边形内角和
，其中S为k边形的面积。证明过程像吹气球一样的方法，将多面体吹成每条边都铺在半径为1的单位球面上，就像足球上的花纹一样。设点数为n，面数为r，线数为m。每个点周围角的和为
（包括平角、优角和周角），则所有角的和为
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，则其内角和为
。所有多边形内角和等于所有角的和
，由于每条边被两个多边形共用（或被一个多边形使用两次），所以：联立得： 即 后记这是课本上的方法，证明过程比其它方法简短得多，但我在网络上没找到，所以写在这里和大家分享。球面几何和正常的几何有些差别，看着还是很有意思的。它也可以为之后学习黎曼几何、喷咖喱模型、客来阴模型做准备。对于凹多面体是否能铺在球面上，以及空心体、复杂多面体等情况，在这不做介绍。参考资料人教版 高中数学选修 球面上的几何
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