已知A为三阶实对称阵，A*为A的伴随矩阵，|A|＞0，P为三阶可逆矩阵，P的第一列为（1，1，-1）T，P-1A*P=10 三路知识网
已知A为三阶实对称阵，A*为A的伴随矩阵，|A|＞0，P为三阶可逆矩阵，P的第一列为（1，1，-1）T，P-1A*P=10
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已知A为三阶实对称阵，A*为A的伴随矩阵，|A|＞0，P为三阶可逆矩阵，P的第一列为（1，1，-1）T，P-1A*P=，（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设B=A+kE，当k为何值时，二次曲面xTBx=-1为圆柱面，其中x=（x1，x2，x3）T．
（I）∵P-1A*P=，而P可逆，∴|A*|=4，而|A*|=|A|n-1=|A|2，故：|A|=2，由P-1A*P，知A*的特征值分别为1、-2、-2，且特征值1所对应的特征向量是p的第一列（1，1，-1）T，又∵A为实对称阵，∴A*也是实对称矩阵，而对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，设-2所对应的特征向量为：x1x2x3，则：[11?1，
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设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P-1AP）T属于特征值λ的特征向量是（　　）A. P-1αB. PTαC. PαD. （P-1）Tα
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已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则：Aα=λα，（P-1AP）T=PTA（PT）-1，等式两边同时乘以PTα，即：（P-1AP）T（PTα）=PTA[（PT）-1PT]α=PTAα=λ（PTα），故选：B．
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利用向量的特征值Aα=λα，同时有P-1AP）T=PTA（PT）-1，通过化简即可求出．
本题考点：
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
考点点评：
本题主要考查矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义，属于简单题，在做选择题及填空题时，要有意识地培养“只求目的，不择手段”．
扫描下载二维码第一章 第三讲 逆矩阵及初等矩阵_2-20__百度文库
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第一章 第三讲 逆矩阵及初等矩阵_2-20_
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你可能喜欢矩阵基本算法（一）
一、复数相乘
可以表示为分块的形式：
　　A-范数基本定义
p = 0，0范数，对应非零元素个数；
p = 1，1范数，也成和范数；
p = 2，常称为Euclidean范数，也成Frobenius范数
p = ∞， 无穷范数，也称极大范数。
直接定义p，则p范数或Minkowski p范数，也叫Holder范数。
　　B-其他常用范数
1-谱范数（spectrum
其中是矩阵A的最大奇异值，即最大特征值的正平方根。
谱范数也称最大奇异值范数或者算子范数（operator norm）。
2-Mahalanobis范数
其中是正定矩阵。
三、矩阵的迹
　　A-迹的一般性质
迹等于特征值之和：
而根据SVD分解特性（PCA、KL变换均有用到），可知特征值体现的是能量，故矩阵的迹可以与Euclidean范数建立联系：
　　B-迹的其他特性
其实矩阵的迹，借助矩阵分解来理解会容易很多，迹的其他特性：
由于1标量可以，其本身看作与迹等价，从而有（tr(AB)=tr(BA)、对角和=迹，借助这两条性质可证）：
　　C-迹的微分特性
1）若W是mxm的矩阵：
2）若W可逆：
3）对于矩阵W、A，有
4）若W非奇异，
5）对于矩阵W、A：
6）对于矩阵W、A、B，且W非奇异：
四、行列式
&给出行列式定义：
对于一个三角矩阵A：
五、矩阵求逆
　　A-矩阵求逆基本性质
若A\B\C可逆：
若A为对角阵：
若A非奇异：
　　B-矩阵求逆引理
求逆引理，也称Sherman-Morrison公式：若A是一个nxn的可逆矩阵，且x和y是两个nx1的向量，使得&可逆，则：
该引理可进一步推广为矩阵之和的求逆公式：
简化的形式：
分块矩阵求逆：
1）若A可逆：
2）若A、D均可逆：
　　C-广义逆矩阵
广义逆矩阵参考。
六、Hadamard积与Kronecker积
　　A-矩阵的直和
mxm的矩阵A与nxn的矩阵B，其直和记作：，它是一个(m+n)x(m+n)的矩阵，
　　B-Hadamard积
Hadamard积其实就是对应元素相乘。
两个mxn的矩阵、，其Hadamard积记作：，
　　C-Kronecker积
Kronecker积表示的是矩阵元素与另一矩阵相乘的运算，用表示。
&1）右Kronecker积：mxn矩阵A和pxq的矩阵B：
&2）左Kronecker积：mxn矩阵A和pxq的矩阵B：
其中同样可以写为。
七、矩阵梯度
一个基本形式是：
借助该形式，即可完成一般的梯度求解：
&同时，结合梯度的四个基本法则，便可完成常用的梯度求解。
1）线性法则
2）乘积法则
4）链式法则
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