正态概率分布_百度百科
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正态概率分布
又叫normal distribution一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态概率分布概念
第一参数μ是服从的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。服从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的。当μ=0，σ2 =1时，称为，记为N（0，1）。μ维随机具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何得到的随机向量仍为多维，特别它的为一元正态分布。正态分布最早由A.棣莫弗在求的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。生产与中很多的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见）。
正态概率分布正态分布
若 的密度函数（）为正态函数（曲线）
则称 服从，记号 ～ 。其中μ 、σ 是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的μ 、不同的σ 对应不同的正态分布。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
正态概率分布正态分布的特征
服从的变量的由 、 完全决定。
(1) 是正态分布的位置参数，描述正态分布的位置。正态分布以 为，左右完全对称。正态分布的、、众数相同，均等于 。
(2) 描述正态分布资料数据分布的， 越大，数据分布越分散， 越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数， 越大，曲线越扁平，反之， 越小，曲线越瘦高。
正态概率分布标准正态分布
1．是一种特殊的正态分布，标准正态分布的 ， ，通常用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为 ～N（0， ）。
2．标准化变换： ，此变换有特性：若 服从 ，则 就服从标准正态分布，故该变换被称为标准化变换。
3. 标准正态分布表
标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到+∞ 范围内的面积比例 。
正态概率分布正态曲线下面积分布
1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。
2.几个重要的面积比例
轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，区间 内的面积为68.27%，横轴区间 内的面积为90.00%，横轴区间 内的面积为95.00%，横轴区间 内的面积为99.00%。
正态概率分布正态分布的应用
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的，呈现为正态或近似；有些指标（变量）虽服从，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从。
1. 估计 一个服从正态分布的变量只要知道其与就可根据公式（3-2）估计任意取值 范围内频数比例。
2. 制定参考值范围
（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2） 常用于的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
表3-1 常用参考值范围的制定
（%） 正态分布法 百分位数法
双侧 单 侧 双侧 单侧
下 限 上 限 下 限 上 限
3. 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 作为上、下警戒值，以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从。
4. 正态分布是许多的理论基础。 检验、、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
正态概率分布正态分布的概念
由表1.1的资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为曲线或，近似于数学上的（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1逐渐接近正态分布示意图
为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
该变换使原来的正态分布转化为 (standard normal distribution)，亦称u分布。u被称为标准或标准正态（standard normal deviate）。
正态概率分布正态分布的特征
1．正态曲线（normal curve）在上方处最高。
2．正态分布以均数为中心，左右对称。
3．有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。通常用表示均数为，方差为的正态分布。用N（0，1）表示。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似的资料，已知和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。
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第二章随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其概率分布? 离散型随机变量及其分布律 ? 连续型随机变量及其分布律? 正态分布 ? 随机变量函数的分布随机变量及其分布Random Variable and Distribution在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间Ω的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量?基本思想Random Variable将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果?有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示?有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表 示的 可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”试验结果的数量化例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。 取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2}“一红一白”记为 {X=1},“两只白球”记为 {X=0}特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系随机变量的定义? 随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点 ? ? ? ，均有唯一的实数 X (? ) 与之对应，称 X ? X (? ) 为样本空间Ω上的随机变量。? 随机变量的两个特征: 1) 它是一个变量 2) 它的取值随试验结果而改变3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件随机变量的实例? 例 ? 某个灯泡的使用寿命X。 X 的可能取值为 [0,+?) ? 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. Y 的可能取值为 0，1，2，3，..., ? 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X. X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。用随机变量表示事件? 若X是随机试验E的一个随机变量，S?R，那么{X∈S}可表示E中的事件 ? E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为： {X=2}? {X=4} ?{X=6}“出现的点数小于４”可表示为：{X& 4}或{X?3}随机变量的类型? 离散型 随机变量的所有取值是有限个或可列个 ? 非离散型 随即变量的取值有无穷多个，且不可列 其中连续型随机变量是一种重要类型离散随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的所有可能取值是x1, x2 ,?, xn ,? ，而取值 xk 的概率为 pk即P?X ? xk ? ? pk称此式为X的分布律（列）或概率分布分布律确定概率例 设X的分布律为XP-11/311/221/6求 P(0&X≤2)解P(0&X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3求分布律举例 例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件， 如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件 “至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为 0，1，2 2 C17 136 P{X=0} ? 2 ? =P(抽得的两件全为正品) C 20 190 1 1 C3 C17 51 P{X=1} ? ? =P(只有一件为次品) 2 C20 190 2 C3 3 P{X=2} ? 2 ? =P(抽得的两件全为次品) C 20 190 故 X的分布律为Xpk0136 190151 19023 190注意： {X=1}与{X=2}是互不相容的！而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}?{X=2} 故 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} ? 51 ? 3 ? 54 ? 27190 190 190 95例2 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为 止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解 则 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且( X=k )对应着事件 A 1A 2 ?A k ?1 A k X的所有可能取值为1，2，3，… ,k,… P(X=k)= P( A1 A2 ? Ak ?1 Ak ) ?几何分布(1-p)k-1p ,k=1,2,…例3 设随机变量X的分布律为 P ? X ? k? ? b( 2 ) k , k ? 1, 2,3,? 试确定常数b.解 由分布律的性质,有32 2 ? ? 2 k 3 3 ? 2b ? 1 P ( X ? k ) ? ? b( ) ? ? b ? 2 3 1 k ?1 k ?1 1? 3 3 b1 b? . 2几种常见的离散型分布? 0-1分布(二点分布 ) △定义： 若随机变量X的分布律为:X P 0 1－p 1 p则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布,△背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来 描述。如：上抛一枚硬币。例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取 一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1” 代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一 球所得的值是一个离散型随机变量?1 X ?? ?0其概率分布为（取得红球） （取得白球）3 P ( X ? 1) ? 10即X服从两点分布。7 P( X ? 0) ? 10二项分布Binomial distribution? 在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,?,n.? 随机变量X的分布律P{ X ? k} ? C p (1 ? p)k n kn?kk ? 0,1, 2...,其中0& p &1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布 (也称Bernoulli 分布）,记为X～B( n, p)例1从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, 1 X ~ B ( 5 , ) 记X为共抽到的次品数，则 4 n=5 p=1/4解1? 2? 1? ? P{ X ? 2} ? C5 1 ? ? ? ? ? 4? ?4? ?25? 2??例2 一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解 X～B（10, 0.9） 8 (1) P(X=8)= C10 0.98 ? 0.12? 0.1937( 2) P(x ? 8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)8 9 10 ? C10 0.98 ? 0.12 ? C10 0.99 ? 0.1 ? C10 0.910 ? 0.9298泊松分布? 定义 若随机变量 X 的分布律为: Poisson distributionP( X ? k ) ??kk!e ?? , k ? 0,1,2...其中? &0, 则称X服从参数为?的泊松分布X～P(?)? 实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的? ? ? ? ?服务台在某时间段内接待的服务次数X； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以 看作泊松分布,其参数 ? 可以由观测值的平均值求出。例已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从? ? 4 的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率解 P( X ? k ) ??kk!3e??? ? 4, k ? 34 ?4 P( X ? 3) ? e ? 0.19563 3!P( X ? 4) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 0.628838二项分布的泊松近似泊松定理C p (1 ? p )k n kn ?k??kk!e??? ? np实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即 可用泊松公式近似替换二项概率公式若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次 的概率为P{X ? 1} ? 1 ? P{X ? 0}=1 ? 0.99400 ? 0.9820成功次数服从二项概率 B(400, 0.01)有百分之一的希望，就要做百分之百的努力随机变量的分布函数Distribution Function ? 分布函数的定义设X为一随机变量,则对任意实数x，(X&x) 是一个随机事件，称F ( x) ? P( X ? x)为随机变量X的分布函数F(x)是一个 普通的函数！定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。分布函数表示事件的概率引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。? P（X&b）=F(b) ? P（X≥b）=1 P（X&b）=1 - F(b) ? P（a≤X&b）=F(b)
F(a)P（a≤X&b）=P(X & b)-P(X&a)= F(b)- F(a)已知 X 的分布律为XP?11 201 311 1221 12求X的分布函数，并画出它的图形。?0 ?1 2 ? ? F ( x) ? P{ X ? x} ? ?5 6 ?11 12 ? 1 ? ? 由此可见 ( x ? ?1) (?1 ? x ? 0) (0 ? x ? 1) (1 ? x ? 2) ( x ? 2)-1 1 2 1(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分 成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即:X01 ,求X的分布函数.P 0.3 0.7解 (1) 当x&0时,F(x)=P(X&x)=(2)当0≤x&1时,F(x)=P(X&x)=(3)当1≤x时,F(x)=P(X&x)==P(X=0)+P(X=1)=1 所以分布函数图形如下xi ? x? P( X ? x )ixi ? x? P( X ? x )ixi ? x? P( X ? x )i=0=P(X=0)=0.3x?0 ?0 ? F ( x) ? ?0.3 0 ? x ? 1 ?1 1? x ?1 0.3F(x)x2301分布函数的性质? F(x)是单调不减函数若 x1 ? x2? F(x)处处左连续? 0≤ F(x) ≤1,x ???F ( x1 ) ? F ( x2 )F ( x ? 0) ? F ( x)F (??) ? lim F ( x) ? 1x ???且F (??) ? lim F ( x) ? 0,F (??) ? P{ X ? ??} F (??) ? P{ X ? ??}不可能事件必然事件分布函数 F(x)的图形?F(x)是单调不减函数1 F ( x) ? 1 ? x2不是是不是某一随机变量的分布函数？? 1 ? 2 因为 lim F ( x) ? 0 函数 G( x) ? ?1 ? x x ??? ? ? 1( x ? 0) ( x ? 0)可作为分布函数概率密度函数Probability density function p.d.f.? 定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a & b ，有P{a ? x ? b} ? ? f ( x)dxab则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数. 分布函数F ( x) ? ?x??f (t )dt? 密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率x2P{x1 ? X ? x2 } ? ?x1f ( x)dxx1x2概率密度函数的性质 ? 非负性f ( x) ? 0, ?x ? (??, ??)? 规范性?????f ( x)dx ? 1f ( x)P{?? ? x ? ??} ? 1密度函数和分布函数的关系? 积分关系F ( x) ? ? f ( x)dx??xF ( x) ? P{ X ? x} ??x??f ( x)dx? 导数关系若f ( x)在x处连续，则F ?( x) ? f ( x)连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0P(X=a)=0P(a ? X& b)= P(a&X?b)=P(a ? X ? b)=P(a&X&b)? ? f ( x)dxabX取值在某区间的概率等于密度函数在此区间 上的定积分例：已知密度函数求概率随机变量 X 的概率密度为 ? ?a cos x f ( x) ? ? ? ? 0 x ??求 P(0 ? X ??????f ( x)dx ? 12 其它?4)解 Step1: 利用密度函数的性质求出 a?????f ( x)dx ?? ? a cos xdx ? 12 ? 2?1 ? a? 2Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率P(0 ? X ??4)???4 01 2 cos xdx ? 2 4例：已知分布函数求密度函数随机变量 X 的分布函数为 ? 0 x?0 ? F ( x) ? ? x 2 0 ? x ? 1 ? 1 x ?1 ?(1)求 P(0.3 ? X ? 0.7)（2)X 的密度函数解(1) P(0.3 ? X ? 0.7) ? F (0.7) ? F (0.3) ? 0.72 ? 0.32 ? 0.4（2）密度函数为? 2x 0 ? x ? 1 f ( x) ? F ?( x) ? ? ? 0 otherwise例：已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量X的概率密度为?1 (1, 5) ? f ( x) ? ? 4 ? ?0 其它x求 X 的分布函数y解当x?1时F ( x) ? ?F ( x) ? ?x ????f ( x)dx01 x ?? 1当1 & x ? 5 时f ( x )dx ? ?x 11 2 3 4 5 xxf ( x )dx ? ? f ( x )dx? 0??1 1 dx ? ( x ? 1) 4 4当 x&5 时F ( x) ? ?x ??f ( x)dx ?? ?5 11??f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x )dx1 55x? 0? ?所以1 1 dx ? 0 ? (5 ? 1) ? 1 4 4?0 x ? 1 ?1 ? F ( x) ? ? ( x ? 1) 1 ? x ? 5 ?4 ? ?1 x ? 51015? A 设随机变量X～ f ( x ) ? ? ? 1 ? x2 ?0 ? 求(1)A;(2)P(-1/2&X≤1/2); (3)P(-3&X≤2)．| x |? 1 | x |? 1解(1)?????f ( x )dx ? ?1A 1 ? x2?1dx ? 1思考:P(-1/2&X≤2)=即 A arcsin x1 ?1? Aπ=1,所以 A=1/π?(2)P(-1/2&X≤1/2)=?1?arcsin x1/ 2?1/ 2?1 / 2f ( x )dx ? ??1 / 21/ 21? 1 ? x2dx?1/ 2=1/π(π/6+π/6)=1/31(3)P(-3&X≤2)=?2?3f ( x )dx ? ??11? 1? x2dx =135均匀分布? 定义Uniform Distributionf(x)若连续型随机变量X的概率密度为? 1 a? x?b ? f ( x) ? ? b ? a ? ?0 其它1 b?a0 abx则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)? 分布函数x?a ?0, ?x?a ? F ( x) ? ? , a? x?b ?b?a b? x ? ?1,? 意义0 a b x X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可 能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内 的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖 于子区间的长度而与子区间的位置无关。0da（ c） d bxP{c ? X ? d } ? ? f ( x )dxc??dc1 d ?c dx ? b?a b?a例 地铁每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘 客候车时间不超过2分钟的概率。解 设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布 X ～U （0 ，5 ）P( X ? 2) ? F (2) ? ? f ( x)dx ? ?02201 2 dx ? 5 5几何概型 （一维）设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程 x2 ? 2? x ? 1 ? 0 有实根的概率。解 方程有实数根4? 2 ? 4 ? 0 即 ? ? 1(?1 ? x ? 5) 其它?? 1?1 ? 而 ? 的密度函数为 f ( x) ? ? 6 ? ?0所求概率为P{ ? ? 1} ? ??1??f ( x)dx ? ?f ( x)dx ?2 3例 设 随机变量X服从[2 ,5]上的均匀分布.对 X进行三次 独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。?1 解 由题意得: X ~ f ( x ) ? ? ?3 ? ?0 2?x?5 其它51 则P(A)=P(X&3)= ? dx ? 2/3 3 3 设Y表示三次独立观测中A出现的次数, 则Y~B(3,2/3)记A={X&3},所求为P(Y≥2)= P(Y=2)+P(Y=3)2 2 1 3 2 3 1 0 ? C ( ) ( ) ? C 3 ( ) ( ) =20/27 3 3 3 3 2 339指数分布 Exponential Distribution? 定义 若连续型随机变量X的概率密度为?? e f ( x) ? ? ?0?? xx?0 (? ? 0为常数） x?0的指数分布.f(x)?则称X服从参数为 ? 分布函数?X ? E (? )x?0 ?0 F ( x) ? ? ?? x x?0 ?1 ? ex例解设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数及 P( X ? 1) 和 P(?1 ? X ? 2)X的概率密度?3 e ?3 x x ? 0 f ( x) ? ? ?0 x ? 0x2 x1P( x1 ? X ? x2 ) ? ? f ( x)dxP( X ? 1) ? ??? 1f ( x)dx ?? 3e?3 x dx ? e?31??P(?1 ? X ? 2) ? ? 3e dx ? 1 ? e?3 x 02?6正态分布 Normal Distribution? 若连续型随机变量X的概率密度为? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2?2? , ? (? 0)为常数正态分布， 记为2则称X服从参数为 ? , ?2X ~ N (? , ? ) 42正态分布的密度函数的性质与图形1 2??y中间高两边低????+ ?x? 对称性 关于 x = ? 对称 （- ?，?）升，（?，+? ）降 ? 单调性 1 1 ? 1 2 （?） ? e ); f最大 ? 拐点 ( ? ? ? ,2? ?2??43μ，σ对密度曲线的影响? 相同，?不同图形相似，位置平移?１?21 2??1 1 2?? 2?1 ? 0.75? 2 ? 1.25?? 不同，?相同 ? 越小，图形越陡； ? 越大，图形越平缓44正态分布的分布函数F ( x) ? ?11 2?x??? 1 e 2? ?( x ? ? )2 2?2dxF(x)x45标准正态分布Standard Normal distribution? 定义X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布y ? ? ( x)? 密度函数 x2 1 ?2 ? ( x) ? e 2? ? 分布函数? ( x) ? ?偶函数x??1 e 2?x2 ? 2dx? ? 0 ? ?146标准正态分布的概率计算? 分布函数? ( x ) ? P{ X ? x} ?y ? ? ( x)?x??1 e 2?x2 ? 2dx? (? x ) ? 1 ? ? ( x )-x X? (0) ? 0.5 47标准正态分布的概率计算? 公式P （a ? X ? b） ? ?(b) ? ?(a)P （X ? b） ? ?(b) P （X ? a） ? 1 ? ?(a)? 查表x ? 0 时，?( x)的值可以查表x ? 0 时, ?(? x) ? 1 ? ?( x)? 例 X ? N (0,1)P （ 1 ? X ? 2） ? ?(2) ? ?(1) ? 0.9772 ? 0.8413 ? 0.1359P （X ? ?1）? ?(?1) ? 1 ? ?(1) ? 1 ? 0.8413 ? 0.1587P （ X ?1 ） ? ?(1) ? ?(?1) ? 2?(1) ? 1 ? 0.6826 48一般正态分布的标准化? 定理? x?? ? 如果 X ~ N (? , ? ), 则 F ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? 概率计算2若 X ~ N (?, ? 2 )P ( a ? X ? b) ? ? (?( x)为标准正态分布函数b???) ? ?(a???)查标准正态 分布表49例解设X~N（1，4），求 P(0&X&1.6)? ? 1, ? ? 2 1.6 ? 1 0 ?1 ) ? ?( ) ? ?(0.3) ? ?(?0.5) P(0 ? X ? 1.6) ? ?(? ?(0.3) ? ?1??(0.5)? ? 0.6179 ? 1 ? 0.6915 ? 0.30942 2P ( a ? X ? b) ? ? (b???) ? ?(a???)50例解设X~N（1，4），求 P(0&X&1.6)? ? 1, ? ? 2 1.6 ? 1 0 ?1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ?(0.3) ? ?(?0.5) P(0 ? X ? 1.6)? ?(0.3) ? ?1??(0.5)? ? 0.6179 ? 1 ? 0.6915 ? 0.3094 正态分布的实际应用 某单位招聘 155 人，按考试成绩录用，共有 526 人报名， 假设报名者的考试成绩 X ~ N (? , ? 2 )2 2已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分 依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？? 分析 首先求出 ? 和 ? 然后根据录取率或者分数线确定能否录取12 P ? X ? 90? ? ? 0.解 成绩X服从 N ? ? , ? 2 ?P ? X ? 60? ?83 ? 0.51155 ? 0.2947 录取率为 526? 90 ? ? ? P X ? 90 ? 1 ? ? ? ? 可得 ? ? ? 1 ? 0.0228 ? 0.9772 ? ? ?得? 60 ? ? ? P ? X ? 60? ? ? ? ? ? 0.1588 ? ? ? 90 ? ? ? ? ? 60 ? ? 2.0 查表得 ?? ? ? 1 ? 0.1588 ? 0.8412 ? ? ? ?? ? 60 ? 1.0 ?解得 ? ? 70 , ? ? 10 故 X ~ N 70,102 设录取的最低分为??x ? 75.4某人78分，可被录取。52x则应有 P ? X ? x? ? 0.2947P? X ? x? ? 1 ? 0.2947 ? 0.7053? x ? 70 ? ?? ? ? 0.7053 ? 10 ?x ? 70 ? 0.54 103?准则X ~ N (? ,? 2)X的取值几乎都落入以?为中心，以3?为半径 的区间内。这是因为：P?? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? ?(3) ? ?(?3)? ?(3) ? [1 ? ?(3)] ? 2?(3) ? 1 ? 0.9974F(x)? X ? ? ? 3? ?0.9974?? ? 3?? ? 3?是小概率事件53随机变量的函数的分布? 背景在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分 布问题, 例: ☆ 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：1 2 S ? ?d 4 d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。☆ 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：1 y ? mx 2 的分布。 2一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取 值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。 54密度函数随机变量分布函数f X ( x)XF X ( x)fY ( y)Y ? g( X )随机变量的函数FY ( y)55离散随机变量的函数的分布若X为离散型 随机变量, 其分布律为X x1 x2 x3 ．．．．．．． xn．．．．pkp1p2p3 ．．．．．．．pn．．．．则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为Y pk g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．． p1 p2 p3 ．．．．． pn．．．．如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加． 56例设随机变量X的分布律为X pk －1 0.2 0 0.3 1 0.4 2 0.1 求Y=2X2 +1的分布律．解由题设可得如下表格x Y=2x2+1 概率y pk 1 0.3-1 3 0.23 0.60 1 0.39 0.11 3 0.42 9 0.1所以，y=2x2+1的分布律为57例设圆半径X的分布律为X pk 9.5 0.06x周长 面积 概率10 0.510.5 0.49.519π 90.25π 0.0611 0.041020π 100π 0.5求周长及面积的分布律．解由题设可得如下表格10.521π 110.25π 0.41122π 121π 0.04所以，周长的分布律为周长 概率 19π 0.06 20π 0.5 100π 21π 0.4 22π 0.04 121π面积的分布律为面积 90.25π 110.25π概率0.060.50.40.0458连续型随机变量的函数的分布设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。 y = g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数? 一般方法 (1) 求Y的分布函数 FY(y)FY ( y)根据分布函数的定义P(Y ? y ) ? P( g ( X ) ? y)? P ( X ? ? x g ( x ) ? y?)(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)fY ( y) ? FY? ( y) 59?x ? ,0 ? x ? 4 设随机变量X的密度函数为 f ( x) ? ? 8 ? ?0, 其它 求随机变量Y=2X+8的概率密度。解（1） 先求Y=2X+8的分布函数 FY (y).y ?8 ) ? FY ( y) ? P(Y ? y) ? P ? 2 X ? 8 ? y ? ? P( X ? 2（2） 求Y=2X+8的概率密度?y ?8 2 ??f ( x ) dx? ? y ?8 ?? y ?8 ? fY ( y) ? FY? ( y) ? f ? ?? ? ? 2 ?? 2 ??1 ? y ? 8 ? 1 y ?8 ? y ?8 ? , 0 ? ? 4 , 8 ? y ? 16 ? ? ? ? ? ?8 ? 2 ? 2 2 ? ? 32 ? 0, ? 其它 ? 0, 其它 ? 60例 设随机变量X~解 (1)求Y的分布函数FY(y): FY(y)=P(Y&y)= P(2X+1&y) (2)对分布函数求导:1 fX ( x) ? ,Y=2X+1, 2 ?(1 ? x )求随机变量Y的概率密度函数fY(y).y ?1 ) =FX( y ? 1 ) =P(X& 2 2d FY ( y ) = d FX ( y ? 1 ) f Y(y)= dy dy 2f Y(y)=,利用复合函数求导链式法则得:y ?1 d y ?1 ) ( ) 2 dy 2 1 f Y(y)= 将fX(x)代入得: 2 fX (1 y ?1 = fX ( ) 2 2 1 = y ?1 2 π [1 ? ( ) ] 22 ? [ 4 ? ( y ? 1 )2 ]61? 定理正态分布的线性函数仍服从正态分布2设X ~ N ( ? , ? ), Y ? aX ? b(a ? 0), 则 Y ~ N (a? ? b, (a? )2 )? 推论若X ~ N ( ? , ? ), 则2X ???~ N (0, 1)正态分布的标准化 62设X ~ N（0，1），其概率密度为：1 ? ? x? ? e 2?则 Y ? X2x2 ? , 2?? ? x ? ??概率密度函数为：1 2?? ? fY ? y ? ? ? ? ?y?1 2e?y 2,y?0 y?00,此时称Y服从自由度为1的? 2 分布,记作 Y ~ ? 2 ?1?2 2 结论：若 X ~ N ? 0,1? 则 X ~ ? ?1? 63定理 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分 别为 f X (x) fY (y), 当 g(x) 是严格单调函数，则fY ( y) ? f X [(G( y)] G?( y)其中 x ? G( y) 为 y ? g ( x) 的反函数64例 解设随机变量服从[90，110]上的均匀分布,求 Y=0.1X+10的密度函数。 X的密度函数为 ?1 ? , 90 ? x ? 110 f X ( x) ? ? 20 其它 ? ?0, Y=0.1X+10的密度函数为fY ( y) ? f X [(G( y)] G?( y)?1 1 y ? 10 ? , 19 ? y ? 21 fY ( y ) ? fx ( ) ? ?2 0.1 0.1 ? 其它 ? 0, 即 Y 服从[19，21]上的均匀分布． 65例设球的半径X的概率密度为?6 x (1 ? x ), x ? (0,1) 试求体积的概率密度。 f ( x) ? ? 其它 ?0, 4 解 体积 Y ? ? X 3的分布函数为 3?4 FY ( y ) ? P ? ? X 3 ? ?3 ? ? 3 y ? ? ? 3 y? ? P ? X ? ? ? FX 4? ? ? ? ? ? ? 3y ? 3 ? ? 4? ? ? ? ?所以体积的概率密度为? 3 y ? ? 3 y ?? ? 3 y ? 1 ? 3 y ??2 3 3 3 3 3 fY ( y ) ? f X ? ? ? f ? ? ? ? X ? ? ? 4? ? ? 4? ? ? 4? ? ?? 3 ?? 4? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? 66所以体积的概率密度为? 3 ? fY ( y ) ? ? 2? ? ?0, ? 4? ? 4 ? ? 3 0, ? ? ? ? 3 y ? 1? ?, y ?? ? 3 ? ? ? 其它练习设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。 ? 1 , ? ? y ? 4? ? 答案： f S ( y) ? ? 2 ? y ?0, 其它 ? 676869707172
随机变量及其函数的 函数的概率分布 第二章 随机变量及其函数的概率分布随机变量与分布函数 §2.1 随机变量与分布函数 离散型随机变量及其 随机变量及其概率分布 §...第二章随机变量及其概率习题 - 习题二 一、填空题 1. 已知随机变量 X 只能取-1, 0, 1, 2 四个数值, 其相应的概率依次为 则 c = 2___. 解. ...第二章止, 一维随机变量及其概率分布 一维随机变量及其概率分布 3 ) P { X = 3.5} , 例 1 设 10 件产品中恰有 2 件次品,现在接连进行不放回抽样,每次...第二章 随机变量及其概率分布总结 - 2.2.1.随机变量与它的分布函数 1.随机变量的概念 随机变量?是定义在样本空间?上的实值集函数, 它具有取值的不确定性(...第二章考试内容: 随机变量及其概率分布 随机变量及其概率分布 / 随机变量的分布函数的概念及其性质 / 离散型随机变量的概率分布 / 连 续型随机变量的概率密度 / ...24-第二章 随机变量及其分布 小结与复习 - 复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点:理解随机变量及其分布的概念,期望与方差等的概念;超几何分布,二项分布,正...第二章_随机变量及其概率分布 - 复制 - 第二章 随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科三年级 授课对象】 【授课时数】10 学时 授课时数】 【授课方法...第二章 随机变量及其概率分布 - 第二章 随机变量及其概率分布 §2.1 随机变量 一. 随机变量 在前一章建立了随机事件及其概率的概念.我们发现有些试验的结果...第二章 随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解随机变量的概念; 2、 ...第二章 随机变量的分布及数字特征 - 概率论与数理统计教案word版... 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点 本章的重点是随机变量概...
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