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高数 偏导数设z=xy+xF(u),而u=y/x,F(u)为可导函数,证明：x*(z对x的偏导）+y(z对y的偏导）=z+xy
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偏导数 (1)
同济版高数教学设计完美版
偏导数 (1)
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偏导数 (1)”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!§8.2
偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数.定义
设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量?x时, 相应地函数有增量f(x0+?x, y0)-f(x0, y0).如果极限?x→0limf(x0+?x,y0)-f(x0,y0)
?x存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作?f?zx=x0, x=x, zx?xy=y0?xy=y00x=x0y=y0, 或fx(x0,y0).例如：fx(x0,y0)=lim?x→0f(x+?x,y)-f(x,y).
?x类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为?y→0limf(x0,y0+?y)-f(x0,y0),
?y第 1 页 共 8 页记作
?zx=x0, ?f?yy=y0?yx=x0y=y0, zyx=x0y=y0, 或fy(x0, y0).偏导函数:
如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量x的偏导函数, 记作?z, ?f, z, 或f(x,y). xx?x?x偏导函数的定义式: fx(x,y)=limf(x+?x,y)-f(x,y). ?x?x→0类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为?z, ?f, zy , 或fy(x,y).
?y?y偏导函数的定义式: fy(x,y)=limf(x,y+?y)-f(x,y). ?y→0?y求?f时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求?f时, 只要把x?x?y暂时看作常量而对y求导数.讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0, fy(x0,y0)=fy(x,y)x=x0.
y=y0y=y0fx(x0,y0)=[df(x,y0)]x=x, fy(x0,y0)=[df(x0,y)]y=y.
dx0dy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为fx(x,y,z)=limf(x+?x,y,z)-f(x,y,z),
?x→0?x第 2 页 共 8 页其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数.解 ?z=2x+3y, ?z=3x+2y. ?z?x?y?xx=1=2?1+3?2=8y=2, ?z?yx=1=3?1+2?2=7y=2.例2 求z=x2sin 2y的偏导数.解 ?z=2xsin2y, ?z=2x2cos2y.
?x?y例3 设z=xy(x&0,x≠1), 求证: x?z+1?z=2z.
y?xlnx?y证 ?z=yxy-1, ?z=xylnx. ?y?xx?z+1?z=xyxy-1+1xylnx=xy+xy=2z.
y?xlnx?yylnx例4 求r=x2+y2+z2的偏导数.解 ?r=?xyyx=x; ?r==.
x2+y2+z2r?yx2+y2+z2r例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证: ?p??V??T=-1.
?V?T?p?p=-RT;
?VV2VV=RT, ?V=R;
p?TpT=pV, ?T=V;
证 因为p=RT,第 3 页 共 8 页R?V=-RT=-1.
?所以?p??V??T=-RT2?V?T?pVpRpV例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义:fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x'是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.
fy(x0, y0) =[f(x0, y)]y'是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如?xy
f(x,y)= ?x+y?x2+y2=0?0在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
提示:f(x, 0)=0, f(0, y)=0;fx(0, 0)=d[f(x, 0)]=0, fy(0, 0)=d[f(0, y)]=0.
dxdy当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有(x,y)→(0,0)limf(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0;
x→0x→0当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有第 4 页 共 8 页 因此,xykx2=k.
=lim(x,y)→(0,0)x+yx→0x+kx1+klim
y=kx(x,y)→(0,0)limf(x,y)不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为?z, ?f, zy , 或fy(x,y).
?y?y偏导函数的定义式: fy(x,y)=limf(x,y+?y)-f(x,y). ?y→0?y二.
高阶偏导数设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数?z=f(x,y),
?z=f(x,y),
?yy?xx那么在D内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数第 5 页 共 8 页?(?z=?2z=f(x,y)?(?z)=?2z=f(x,y)
?x?x?x2xx?y?x?x?yxy22
?(?z)=?z=fyx(x,y), ?(?z)=?z=fyy(x,y).
?x?y?y?x?y?y?y22??z?z??z?=fxy(x,y), ()=z=fyx(x,y)称为混合偏导数.
其中()=?y?x?x?y?x?y?y?x222?(?z)=?2z??z?z??z?z??z?z.
()=()=()=, , , ?x?x?x2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.2?3z?2z和?2z.
例6 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求?z、、23?x?x?y?x?x?y解
?z=3x2y2-3y3-y, ?z=2x3y-9xy2-x; ?x?y?2z=6xy2?3z=6y2
?z=6x2y-9y2-1, ?z=6x2y-9y2-1.
?x?y?y?x 22?z?z =由例6观察到的问题: ?y?x?x?y22?z?
定理 如果函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及z在区域?y?x?x?y第 6 页 共 8 页D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.22?z?
例7 验证函数z=lnx+y满足方程+z=0.
?x?y22证 因为z=lnx2+y2=1ln(x2+y2), 所以 2?z=?xx,
?yx+yx+y2(x2+y2)-x?2xy2-x2?z
?x(x+y)(x+y)2(x2+y2)-y?2yx2-y2?z
?y(x+y)(x+y)22x2-y2y2-x2?z?z因此
2+2=222+222=0.
?x?y(x+y)(x+y)2?2u+?2u=0,
例8．证明函数u=1满足方程?ur?x?y?z其中r=x2+y2+z2.?r=-1?x=-x,
证: ?u=-1??xr?xrrr?2u=-1+3x??r=-1+3x2
?xrr?xrr23y2?2u=-1+3z2?u1同理
?zrr?yrr第 7 页 共 8 页?u?u?u13x113z因此2+2+2=(-3+5+(-3+5)+(-3+5)
?x?y?zrrrrrr23(x2+y2+z2)333r=-+=0.
=-+rrrrr3-x??(r3)r3-x?3r2?r2.
=?(-x=-=-提示: ?u?x?xrrr 第 8 页 共 8 页百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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