扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
分子势能的大小与分子间距离的关系以及原因?
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
分子势能与分子距离的关系 1.分子距离在平衡距离处分子势能最小；2.分子距离在大于平衡距离和小于平衡距离时其分子势能将增大；3.分子距离在小于平衡距离时,斥力大于引力,分子势能表现为斥力,最大值在零距离处； 4.分子距离在大于平衡距离时,引力大于斥力,分子势能表现为引力,最大值在无穷远处； 5.分子距离在无穷远处引力和斥力都为零,引力引起的势能最大；6.分子距离在无穷近处引力和斥力最大,斥力引起的势能最大.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码为什么说分子间距离越大，分子势能越大是错误的_百度知道
为什么说分子间距离越大，分子势能越大是错误的
答题抽奖
首次认真答题后
即可获得3次抽奖机会，100%中奖。
分子间力是分子势能的根本原因。分子间作用力分为斥力和引力.在平衡位置时相对平衡，小于平衡位置时表现为斥力,大于平衡位置时表现为引力。分子之间存在引力和斥力，但分子间距大于平衡位置的间距r0 10倍以上的时候，他们之间的作用力就变得十分微弱，可以忽略不计。也就是说，如果距离太大之后，分子势能反而越来越小，甚至为零。
采纳率：87%
来自团队：
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。当前位置： >>
高中物理竞赛知识系统整理
物理知识整理知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为 m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小 车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何 运动呢？地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－as 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要 求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -as 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力 的大小为 - mas；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。(2)惯性力的大小等于研究对象的质量 m 与非惯性系的加速度 as 的乘积，而方向与 as 相反，即? ? f ? ? ?mas（3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为 as，物体受相对此参考系? ?? ? F ? f ? ma? 其中 F 为物理受的“真实的力” 加速度为 a',牛顿定律可以写成： ，f*为惯性力，是个“假力” 。（4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过 笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的 思考中培养出爱因斯坦 2.0 版本的概率很低（因为现有的迷惑都被 1.0 版本解决了） ，在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空 间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学 Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人 产生误导。二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力?? ? f ? ?mas 的特性，即与惯性质量正比。记为：2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： f ? m? r? 22）科里奥利力概念比较麻烦（竞赛复赛阶段还考不到） ，这里就不做介绍了。大家只要了解当物体相对转动参考 系有相对运动时必须考虑科里奥利力就行了。计算公式如下：? ? f k? ? 2mv相 ?? 这是个叉积式。总的来说惯性力可以用万有引力去等效，其本质都是引力场作用， “施力物体”都可以当成整个宇宙（还好不是 上帝） 。所以我们在地球上上随着地球自转的时候，来自宇宙中遥远的群星正把我们往外拉（离心力） ，结果导致我们 对地面压力比地球对我们的引力小了不少。不过南北极极点的人受这种群星的引力就可以忽略不计。 这个观点比较雷人，很多人听到后感觉很痛苦，感觉完全不符合逻辑。其实只要摒弃物体间的相互与运动状态无 关的惯性思维就会舒服多了。当我们相对于某个天体静止时，天体对我们的引力与我们现对运动时不一样。这个理解 可以类比电磁学里洛伦兹力与静电力，它们都产生于电荷间但不同的原因在于前者有相对运动。当两个物体间有相互 作用的时候，它们是通过一种物质实现这种作用的，这种物质就是我们看不见但可以检测到的“场” ，场力的特点是 与物体相对运动有关。实际生活中的一切现象都是场作用。 第一次世界大战期间，英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北 方大约 7km 时，英舰炮手瞄准德舰开炮，炮弹全都落在德舰的左侧大约 100 多米以外的地方，也是由于神奇的惯性力 的作用造成的。 （当然也可以理解为炮弹飞到目标位置时，德国人的舰船已经随着地球的自转跑到新的地方去了） 学习物理学我们应该可以意识到，这世上任何的事情没有绝对正确的解释，只有相对来说适用范围大，精确度高 的解释。学而思的物理课程在教学上一直强调两条： 1.讲到任何一个点，尽量在同学能接受的情况下，从这个点出发，给出将来大家要会继续学习的物理体系的框架， 避免那种”学习物理就是下一个老师否定上一个老师”的痛苦。 2.加强物理思想对我们同学思维习惯，认识方式的塑造，可能的话，甚至对人生观世界观加以引导。做到学懂物理 的人不会被各种迷信，各种哲学，各种“思想” ，各种“主义”所蛊惑，学懂物理的同学进了清华北大也不自杀，不 出家。学懂物理的人对待任何事情抱着研究归纳的心态，眼光去面对，以惯有的，高超的类比能力，思维迁移能力， 总结能力去做人生道路上的任何事情。 问题分类详解 3.“分离”问题 观察思考： 弹跳器是很多运动爱好者喜欢的运动，如图所示，人通过向下踩踏板，在弹簧缩短的过程中，人受到向上的力， 就把弹跳器从地面上拉起来了。粗略一想“道理”确实不难，不过对现象能做出定量的描述才是关键，比如中国人发 明了火药大炮，但是弹道学却让欧洲人的炮兵技术远远领先于中国（火炮确实是中国人发明的） 。我们的问题是，人 是什么时候脱离踏板往上“飞出” ，以至于把弹跳器拉离地面的？为了便于分析，我们忽略与力学无关的细节，把问 题描述成以下原理图，这个过程叫物理建模。 不妨把人用物块代表，质量设为 M，弹簧质量忽略，踏板质量设为 m，在人脱离踏板前，不考虑人的手对弹跳器 的力，当人离开踏板后，人再对通过手向上拉弹跳器，使之离开地面。问题是：在弹簧回复的过程中，踏板带着人向 上运动，当弹簧恢复到什么程度人会离开踏板？ 人离开踏板前人与踏板运动细节如何？解析：显然分离时人的加速度几乎与踏板仍然一样，隔离人，此时人加速度为 g，说明踏板也是这个值，人和踏 板相互作用力 N=0，隔离踏板知其受合力等于其重力，所以是在弹簧原长处分离。这个问题也可以用惯性力去解决。 讲解的时候不妨多对熟知的结论（用向上的力拉地面上箱子，拉力等于重力时箱子离开地面）适用范围作出描述，并把这个问题向着原有情景类比，训练学生类比能力。 二．“轻物”动力学分析 反思： “轻”是物理习题中经常描述的词，指的的质量忽略不计的物体，这类物体动力特点很容易通过思考发现。大家 先不放思考一下：当我们用一根轻绳拉一个物体加速前进时，为什么我们对绳子的拉力等于绳子对物体的拉力？只 能用牛顿定律去解释，而不能用力具有传递性之类的理论. 总结是： “轻”物体在动力学中的行为特征是 1.受的力以及力矩的特点： 2.运动特点： 牛顿运动定律定理对流体静力学规律的拓展 流体力学是最古老的物理学之一， 也是物理上在工业上应用最广泛的 物理学之 一。在流体中使用牛顿运动定律比较复杂，比较容易想到的 是取一小片质点为对象，受力分析，这个方法能处理一些不 考虑压缩，静态的流体问题。复杂的情况，我们以后会逐步 在各章介绍一些。由于在工业上的应用广泛，流体力学发展 成了一门体系庞大的，模型与方程众多的独立学科。大学的 物理系的同学也不会太深入学习。一般来说，具有物理能力 的人不太了解流体力学的应用体系，熟悉方程的人又普遍缺 乏物理的思维能力。可以说，这方面我国的理论水平还远远 落后于发达国家，这些年我国在某些技术上有了些进步，但 是理论上的差距才是真正是级别性的差距，因为不是所有的 公式都会公开发表的，还有很多问题等待我们同学将来去突 破。 海啸风动实验J20 战斗机著名空气动力学家：钱学森（他讲的是什么）有个两个简单的原理要先交代一下： 1：对每一个流体质元，其现对周围流体静止时受到的力都垂直与接触面，这是由于流体之间无静摩擦的原因， 可以看当成流体的定义。 2：对无穷小质元，忽略质量力（重力与惯性力）后各个面的压强处处一样，这个证明很容易用微元法实现，这 里就不证明了。这个原理其实就是帕斯卡原理，但是初中课本上表述的帕斯卡原理完全无法在负责情况下应用，这里 提醒大家不要用“液体能传递压强之类”的朴素理论分析问题。 知识点睛 恒力作用下匀变速运动动力学分析思路 动力学的两类基本问题 应用牛顿运动定律解决的问题主要可分为两类： （1）已知受力情况求运动情况， （2）已知运动情况求受力情况． 分析解决这两类问题的关键是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁――加速度． 基本思路流程图：动力学第一类基本问题物体的受 力情况牛顿第二 定律物体的加 速度 a运动学公 式物体的运 动情况动力学第二类基本问题 基本公式流程图为： F av0 ， t ， vt ， xvt ? v0 ? at 1 2 at 2 vt 2 ? v0 2 ? 2ax x ? v0 t ? v? x v0 ? v t ? ? vt t 2 2F合 ? ma动力学问题的处理方法： （1）正确的受力分析 物体进行受力分析，是求解力学问题的关键，也是学好力学的基础． （2）受力分析的依据 ① 力的产生条件是否存在，是受力分析的重要依据之一． ② 力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系，结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视 的． ③ 由牛顿第三定律（力的相互性）出发，分析物体的受力情况，可以化难为易． 解题思路 （1）由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般方法和步骤． ① 确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图． ② 根据力的合成与分解的方法，求出物体所受合外力（包括大小和方向） ． ③ 根据牛顿第二定律列方程，求出物体的加速度． ④ 结合给定的物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动参量． （2）由物体的运动情况求解物体的受力情况． 解决这类问题的基本思路是解决第一类问题的逆过程，具体步骤跟上面所讲的相似，但需特别注意：① 由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向与加速度的方 向混淆．②题目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力．即使是后一种情况，也必须先求出合力 的大小和方向，再根据力的合成与分解知识求分力． 知识点睛 一．概念引入 1．动量 ⑴ 定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量， p ? mv . ⑵ 动量表征物体的运动状态，是矢量，其方向与速度的方向相同，两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相 同． 2.动量的变化量 ① ?p ? pt ? p0 . ②动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关． ③求动量变化量的方法： ?p ? pt ? p0 ? mv2 ? mv1 ， ?p ? Ft 3.冲量 ⑴ 定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量， I ? Ft . ⑵ 冲量表示力在一段时间内的累积作用效果，是矢量，其方向由力的方向决定，如果在作用时间内力的方向不变， 冲量的方向就和力的方向相同． ⑶ 求冲量的方法： I ? Ft （适用于求恒力的冲量） ； I ? ?p （适用于恒力和变力）.二．动量定理 内容：物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的变化量.? ?? ?? ? ? ? ?? ? I 合 ? Ft ? p? ? p ? m(v ' ? v)三．知识理解 ? ? 1．动量变化 ? p ：不指动量大小的变化，仍然必须用矢量计算，这个量是衡量动量大小方向总变化的一个物理量， 大部分时候我们会把复杂的动量变化分解到几个独立的方向上进行计算。 2.动量定理可以认为是牛顿第二定律的过程式。 3.相互作用力的冲量等大反向。 4.对一个整体，内力总冲量为零。 知识点睛阅读：动量守恒的发现史 动量守恒是人类最早认识到的守恒定律， 也是最普遍成立的物理规律。人类很早就发现碰撞、冲击等力学过程中有明显的规律性， 但定量的描述这种规律却很难。最早对碰撞现象做过研究的人是伽利略，他曾常识通过测量冲击过程中的力去发现数学规律，不过他未 能如愿。伽利略的这个研究思路来源于他对力学现象的一贯理解：力是造成运动状态变化的根本原因。但在当时的实验条件下，去弄清 楚一瞬间的力显然是不现实的。实际即使到现代物理学中，在实验上严格定义和测量“力”也是不可能的。 1639 年马尔西通过实验，发现了等质量弹性球碰撞时一个有趣的现象：把一串等质量的弹性球排成一条线，给其中一端的一个球初 速度，让这个球去撞击前方的球，结果这个球的速度最终传给了另一端的球，而其它球都停了下来。虽然马尔西的发现还非常“初级” ， 但也极大的鼓励其他科学家的研究热情。后来的研究也集中到了对碰撞前后可测量物理量的分析上，而不再执着于研究碰撞的过程中的 力。马尔西的碰撞实验：炮弹在出膛后碰到静止等质量的铁球后会停下来，把速度传递给最前方的铁球，而且被撞击的铁球落地时射程 与不遇到任何障碍的炮弹射程一样。 后来在笛卡尔，惠更斯以及马略特等人的不懈努力下，总算找出了孤立体系（不考虑外界作用的的物体或物质构成的体系）动量守 恒的方程。并最终由牛顿对整个研究做了总结，这就是我们后来知道的牛顿第三定律：即在运动过程中物体间的相互作用也是等大反向 并同时进行的。在牛顿力学中，动量守恒可以看成牛顿定律的一个推论。马略特通过小球摆起的高度来标识的球速 高中实验室通过小球的水平射程来标识球速 现代物理的发展揭示了牛顿力学的局限性，在微观以及接近光速的情况下，牛顿力学中概念体系完全崩盘，用牛顿力学完全无法理 解和预言微观以及高速下的物理现象。按说一度被视为牛顿定律推导式的动量守恒应该也不成立了，不过实验却发现，在微观以及高速 情况下，孤立体系的动量守恒依然是精确成立的。动量守恒定律在物理学中的地位一下子行情暴涨，和牛顿定律来了次上下级对调，成 了宇宙最基本的运行定律之一。 从讲义后文中的牛顿推导过程我们可以看出：牛顿用力的概念去理解动量守恒的实验结果，其实是又引入了“不同参考系时空间一 致”以及“能从实际世界中隔离出一个有精确质量的物体”等假设，结果导致很普适的物理定律被牛顿局限化了。应该说力的概念对于 理解宏观低速时的动力学情景确实是实用的，否则我们就得从能量动量的角度用微扰法去理解，需要使用的数学方法就会复杂的多。从 科普的角度， “力”的概念至关重要，它符合人的直觉的模糊思维，显得“形象简明” ，而且有“切身感受” 。但是从严格的物理逻辑出发， 我们说，正是由于引入了“力”的概念，才导致近代物理学一开始就走入了一条越走越窄的死胡同。执着于用“力”解释一切的人，一 般会觉得现代物理不是真正的物理，而是一堆神经病的数学家入侵物理研究时玩的符号游戏。 我们不妨回头去看看当初我们从马尔西实验中获得的教训，实验上能测量的就是物体作用前后的动量，所以逻辑上根本没必要也不 应该去额外定义一个“力”的概念。如果说要考虑实验对象受的作用，直接用其动量的变化就可以衡量了，这正是现代物理学对力的定 义（力是动量随时间的变化率） 。 1927 年，玻特和贝克用α粒子（高速的氦原子核）轰击金属铍时，发现了 强的中性射线。 1932 年查德威克用这种射线去轰击氮原子核，并通过类比 的理论计算出这种射线其实是质量约等于质子质量的中性粒子，这 就是多 大神预言的中子。由于查德威克的发现中子的贡献，他获得了 1935 年的诺 馨提示：要想拿诺奖，打入顶级物理学家的团伙是省力省距离的好办法） 。 一 种 穿 透力 很 弹性球碰撞 年前卢瑟福 贝尔奖。 （温沃尔夫冈?泡利（） ，性格犀利，言辞更犀利的天才级物理学家。1930 年，泡利在研 究β衰变（原子核内中子变成质子并辐射出电子的现象）辐射能量连续的问题时，发现一个令他纠 结的事，要么β衰变中能量与动量不再守恒，要么是还存在着一种用当时一切探测仪器也无法探测 到的“鬼粒子” ，他果断选择了后面一种判定，这种粒子就是一直到今天依然困扰着理论物理学家的 “中微子” 。 （中微子早在 1956 年被实验证实存在，但关于中微子的很多实验结论却总是出人意料， 比如最近又爆出测出中微子速度超光速的现象，这让相对论受到前所未有的挑战） 。相对论中的雷人结论： 为 m 的物体，一旦速度变为 v，质量变为：v 1 ? ( )2 c 即运动的物体质量比静止时大，原因是相互作用过程中动 m (v ) ? m一个静止时为质量量和质量守恒。一．动量守恒定律的推导： 【概念梳理】 系统：我们通常把研究对象有多个物体统称为一个系统。 内力：系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。 外力：外部其它物体对系统的作用力叫做外力。注意在高中的力学问题中重力永远是外力，因为高中范围内的问题 中我们不会把物体和地球取做一个系统。 推导 如图所示，两个物体在碰撞的过程中，它们发生的形变不断变化，因此它们之间的相互作用力是变力，取其平 均值，作受力分析图，对小球 1 和小球 2 分别使用动量定理，如式（1）和式（2） ，再根据牛顿第三定律列式（3）FF?则有：? ? m1v1 Ft ? m1v1 ? ? m2 v2 F ?t ? m2 v2 F ? ?F ?? ? m2v2 ? 变形得: m1v1 ? m2v2 ? m1v1这就是动量守恒定律：要注意从动量守恒定律在牛顿力学范围内看起来是牛顿定律的推论，实际它适用的范围 是广于牛顿定律的，在高速作用和微观状态中，牛顿定律早已经不在成立，但是动量守恒认严格成立。这里的“推 导”其实是牛顿式的推导。 二．动量守恒运用总结 （1） 内容： 相互作用的物体， 如果不受外力作用， 或它们所受的外力之和为零， 它们的总动量保持不变.Δp=0 p=p′ 或 m1v1 ? m2 v2 ? m1v1 '?m2 v2 ' （2）动量守恒定律的研究对象是两个或两个以上物体所组成的系统. （3）动量守恒定律的三种使用条件是： a：系统不受外力或所受的合外力为零.这种情况可以叫“严格守恒” 。 b： 系统所受的合外力不为零， 但在某一方向上合外力为零， 则在此方向上系统的动量守恒.这种情况可以叫 “分 量守恒” 。 c：系统所受的合外力不为零，但系统内各物体作用的内力远远大于系统所受的合外力，例如碰撞、爆炸、打 击、反冲运动等现象，如果在作用时间很短时均可认为内力很大，此时系统内各物体的动量变化主要是由内力引起 的，外力的冲量可以忽略，这种情况可以叫“近似守恒” 。 知识点睛 三．动量守恒的动力学理解： 从牛顿第二的整体式出发我们可以推导出动量守恒定律的质心式，我们知道，质心的坐标式为:m1 x1 ? m2 x2 ? ? mn xn m ?x ? m2 ?x2 ? ? mn ?xn (变化式为： ?xc ? 1 1 ） m1 ? m2 ? ? mn m1 ? m2 ? ? mn ?x 又位置对时间的变化率为速度 v ? ?t m1v1 ? m2 v2 ? ? mn vn 那么由上式可得 vc ? 即：质心的速度等于总动量与总质量的比. m1 ? m2 ? ? mn ?v 又速度对时间的变化率为加速度 a ? ?t ? Fi 那么由上式可得 ac ? m1 ? m2 ? ? mn 由牛顿第二定律得 ? Fi ? m1a1 ? m2 a2 ? ? mn an 即：系统的合力与总质量决定质心处加速度。动量守恒的条件 xc ?是合外力为零，那么动量守恒的体系质心加速度为零，即质心处于匀速或者静止态。 知识点睛 曲线运动中的加速度 我们研究曲线运动，运用的坐标系不同，加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的特点不同，采 用的坐标系经常不一样，比如直角坐标系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标系等，在高一暑假的讲义上， 我们曾经铺垫过一些，本讲继续讨论。 在普通的直角坐标系中，分加速度容易理解，每个坐标方向相互独立。 记为：?v x ? ? a x ? ?t ? ?v y ? ?a y ? ?t ? ?v z ? ?a z ? ?t ?对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理，这个方法比 较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂，本讲不再重复。 1.自然坐标系以及加速度分量 除了直角坐标系以外， 我们还经常会用自然坐标系研究加速度。 有一类曲线运动是在已知轨道上进行的， 这时， 可以在轨道上任取一参照点 o ，这样就可以在轨道上用到 o 的距离来表示运动方程。这就是自然坐标，实际初中 物理中的匀速率运动公式 s ? vt 就是这个坐标系中的方程。我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加速度叫切向加速度，与法向加速度。下 面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大小和方向都在变化。为计算 P 位置加速度，将速 度增量 ?v 分解为与 v2 平行的分量??? ? ? ?v // 和 v2 垂直的分量 ?v1 ，如图：质点在 P 的加速度为? ? ? ?v // ?v ? ? ?v a ? lim ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ?t ?t? ? ? a? ? an? ? a ,a 其中 ? n 就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律：易从相似三角形得： an ?v?? ? ?v ， ?t其中 R 为 P 位置的“曲率半径” ， 由于 ? ?v v2 2 ，所以还有： a ? ?v ? ? R ? n R R如果物体做圆周运动，这个加速度又叫向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速圆周运动时发 现。惠更斯发现：做匀速圆周运动的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物体速度平方，反比于其圆轨 道半径。记为：v2 这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。 R 应该说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊情况。 由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广，必须把自然坐标系的 计算结果做一个形象的总结。 【总结】 （1）改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。 （2）改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。 利用以上推论我们引入极坐标里的加速度 2.极坐标系以及加速度分量 Fn ? m极坐标以到参考点 o （又叫极点）的距离 ? 以及到参考射线（极轴）的夹角 ? 来描述平面内的点（ ? ， ? ） ， 其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（比如以极点为圆心的圆的方程为 ? ? R ） 。极坐标在 物理上的优势是描述一些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比较直观。 比如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联时候用绳子或 杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图:水平向左运动的物体 B 的速度分解为沿着绳子的分量 v// 以及垂直绳子的转速 v? ，根据自然坐标系得到的加速 度计算原理： 1.在绳子方向（径向）上一共是两个加速度，一个改变 v// 大小，与拉绳子的加速度大小一致，另一个改变 v? 方 向，大小 a ? v? 。2RAB2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个改变 v? 大小，另一个改变 v// 方向，注意这个 加速度不等于v// RAB2,而等于 v//? ?v// v? 。 RAB专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆，比如著名的科里奥利加速度，平面 系 5 个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解，这里就不引入了。 期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景理解问题在向量 微积分里可以简化为几个简单的算符。 学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥 感和畏惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上 这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最 少。 从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因 为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服 上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。 当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从 概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那 种无法抑制的探索欲与求知欲。 知识点睛 一．功 物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。 1.恒力做功 在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 ?l ，则在此过程中，力对质点所做的功按以下计算： 其中 θ 为 F 与 ?l 的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为： 功的单位为焦耳（J） ，其中 1J ? 1N ? m 注意： ① 功为标量，但有正负：W ? F?l cos ?W ? F ??l② 多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。 证明： W ?? ?? ? ? ? ? ?? ? F ? ? l ? ( F ? F ? ? ? F ) ? ? l ? W1 ? W2 ? ? ? Wn ? ?Wi ? 1 2 n③ 功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。 实例：1.如图：拉力F对球做功等于Fx，但弹簧对墙做功为 0。2.如图：一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F，则： 子弹队木块做功：FS 木块对子弹做功：-F(l+S) 这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零，这和相互作用力冲量很不一样，所以当我们对于一个系统 进行功的计算时，必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为 W ? F ? d ，其中d为相对位移。功的定义导致功的计算 依赖参考系的选取，但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段只要不刻意强调，功指的都是对地的功。 ④ 易证明恒力做功与轨迹无关，只取决于恒力方向上的位移。 如轨迹为曲线，可以把曲线看成无穷多段，如图，设恒力F作用下一物体，从a位置运动到b位置,把轨迹分成无 穷段，分别为 ?l1 ， ?l2 ， ?l3 ? 整个过程中做功为W ? F ? ?l1 ? F ? ?l2 ? F ? ?l3 ? ? F ? ?l总 ? F?lF其中 ?lF 为F方向上位分位移，与F同向取正，反之取负。 实例：如图，用水平恒定的拉力F，把一个质量为m的球拉至新位Z，拉力做功为Fl，重力做功为mgh。 2.变力做功 微元思想给出了变力做功的计算方法，无限分割路径，以直线段代替曲线段，计算每一小段功，累加即可，可以把 功当做力对路径的路径积分。lt ? W ? ? F ? ?l l0作出 F cos? ? l 的函数图像，曲线与横轴所围面积表示功的大小：F cos ?lo实例：a?lb如图：弹性系数为 k 的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为 x0 收缩到 x，作出弹力随着位移的函数图象，规定向右 为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。由面积公式： ?W ?1 2 1 2 kxo ? kx 2 23.功率 单位时间做功为功率，用字母P表示，则功率定义式为：P??W ?t 其中 ?t 代入总时间则计算得平均功率， ?t 趋近于零则计算为瞬时功率，瞬时功率还可用 P ? Fv cos ? 计算，其中θ 为F与v夹角。 4.功与动能 计算功的目的是什么？功也是力的一种效果，定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关的一个物理量 。以下我们用微元法推导，做功过程中一个重要原理：动能定理。假设一个物体在外力F作用下，由a运动到b，速度由v0 变化为vt，把整个轨迹等分成很多的 ?l ， 对一段，由于轨迹很短，可以看为匀变速直线运动，由牛顿第二定律：F1 cos?1 ? ma1又 a1 ?vt ? v0 2 x1221 2 2 m(v1 ? v0 ) 2 1 2 2 则同理有 ?W2 ? F2 ? ?l2 cos ? 2 ? m(v2 ? v1 ) 2 1 2 2 ?W3 ? F3 ? ?l3 cos ? 3 ? m(v3 ? v2 ) 2易得： ?W1 ? F1 ? ?l1 cos ?1 ? ??Wn ?1 ? Fn ?1 ? ?ln ?1 cos ? n ?1 ?1 2 2 m(vn ? vn ?1 ) 2?Wn ? Fn ? ?ln cos ? n ?叠加得1 2 2 m(vt ? vn ) 2? ?Wi?1 2 2 m(vt ? v0 ) 2 1 2 mv ,叫一个物体的动能，用字母Ek表示，记 2我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量 为： Ek ?1 2 mv 2上述推导结论可以表达为，一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量，这个原理叫质点动能定理。 对于质点组的情况，只需要把多个质点的方程叠加即可，注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能 消去（内力总功不一定为零） ，那么质点组动能定理可表达为：W内 ? W外 ? ?EK 1 ? ?EK 2 ?即内力与外力总功等于系统总动能变化。 实例：当人从地面上跳起过程中，地板对人的力作用于脚上，起跳过程中，虽然身体重心在上升，但是脚没有上升，所 以地面未对人做功，对人做正功的只能是人自身的内力（肌肉对骨骼的力，不是武侠小说中的内力） ，导致人加速上 升。而跳水的时候，情况正好相反，跳板对人做功导致人加速上升。 从以上实例中我们应该看到，分析同一个事件，牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度，但 动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同，导致解释时的描述不同。 知识点睛 一．势能 运动的物体具备一种做功的本领，我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也可以具有做功的本领呢？回 答显然是肯定的，比如被举高的重物，形变后的弹簧等。为了研究这些现象，我们有必要拓展能量的定义。 我们把一个物理过程中，做功数值与路径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两 质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。 存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能 变化的负值，即：W保守 ? ??EP 。说明：势即位也，势能这个定义，顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量，所以要引入保守力的概念。计 算势能时，还要注意以下几点： （1）势能的相对性。 通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势 能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。 （2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。 （3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。 二．常见的几种势能 （1）重力势能 在地球表面附近小范围内，mg 重力可视为恒力，取地面为零势能面，则 h 高处重物 m 的重力势能为Ep ? m g h（2）弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x 时，弹力 F=-kx，弹力做的功为1 W ? ? kx 2 2由前面保守力所做功与势能变化关系可知W ? ??EP ? ?( EP ? 0)所以： （3）引力势能E弹 ?1 2 kx 2GMm （选取无穷远为零势能面） r 关于万有引力的规律我们将在以后的讲义中具体讲解，这里列出这个公式是提醒同学们：重力势能公式是引力 势能在近地附近的近似，如果一个物体被举高 10m，那么重力势能可以用 mgh 近似计算，如果物体被举高 1000km， GMm 那么重力势能公式必须用 E P ? ? 计算了。 r 中学物理定义动能，重力势能以及弹性势能统称为机械能（这个定义和普物有些不同，阅读大学物理的同学注 意一下。由于机械能是个无关紧要的概念，所以不必较真） 。 二．其它形式的能量 除了机械能，物理学研究的现象中还涉及内能，光能，电磁能，化学能，核能等。能量的定义体系很乱，有些 是从应用的角度按表征定义的，比如风能，水能，潮汐能等。所有能量的本质都是四种自然作用的体现，比如弹性 势能与内能的本质都是分子间电磁作用，所以我们能观察到实际的弹簧被拉长后温度降低（因为分子间相互作用做 负功，分子热运动动能变少）被压缩后温度升高的现象。力学中阐述的弹性势能是一种理想情况。 在以后的物理学习过程中，我们会逐步的对每种能量的标度越来越清晰。本讲只定性的给出每种能量的定性介 绍。质点间的引力势能为EP ? ?内能：由于物体内部大量分子热运动以及相互作用具有的能量。宏观可观测的内能标志是温度，以及形状，在理论 上的完全恢复的弹性形变中，不考虑内能变化。机械能变为内能最常见的形式为滑动摩擦与不可恢复形变。后面的 讲义会推导两种情况下内能与机械能转化的模型。 光能：由光的频率以及光子数（构成光的一份能量叫一个光子）决定的能量。 电磁能：具体体现形式很多，比如静电势能，电流能，磁能，电磁波能等，由于光也可以看做电磁波，所以可以认 为光能本质也是电磁能，当然也可以倒过来。 化学能：化学反应中吸收或者释放出来的能量，本质也是电磁作用能。 核能：在核反应中才能释放和吸收的能量。 以上定义都是经验的，直观的定义法，分别有具体的实验对应。现有的理论认为，测量能量本质的方法是测量 质量，根据是著名的 E=mC2（这个公式在以后的讲义推导） ，质量可以根据引力，惯性等标度。关于能量与质量高度等效其实不难理解，我们需要做的只是观念的转变。比如高温物接触低温物，主要是高温物把红外光子辐射 给了低温物（热传递一共有三种形式：传导，对流，辐射。传导与对流的本质是因为物质分子周围电磁场接近，所以产生了非球对称 的辐射） ，那么高温物物质变少了，所以高温物内能以及质量都变少了。比如氢气与氧气燃烧，生成水并辐射出光能，那么生成的水比 反应前的氢氧总质量少了。一个同学把落地的笔捡起来，那么人通过手部的分子电磁场接近笔的分子电磁场把电磁能传递给了笔，笔 与地球体系总引力势能变多则其质量变多。不过以上现象由于质量变化都很少所以实际测量比较困难而已。物质的本质是质量，或者 说能量，我们得为老爱因斯坦的工作喝一声彩，他给了我们对现有的一切现象统一简洁的描述。四．能量守恒与机械能守恒 自然界的各种能量的总和在一切变化过程中保持不变，只能由一个物体转移给另一个物体，由一种形式转变成 为另一种形式，这就是能量守恒定律。能量守恒定律发现的过程比较曲折，最初由各个学科的科学家分别在力学， 热力学，生理学，电学等学科分别提出能量守恒的具体表达，后来由焦耳等科学家完成能量守恒的总结。 物理表达中，能量守恒的适用对象必须为孤立体系（这一点和动量守恒一致） ，如果有外界作用，那么外界会 对体系内输入或者输走能量。能量转移的过程意味着有做功的过程，做功是能量转移转化的过程。 总的来说，能量守恒定律可以称为物理学建立以来最受物理学家信任的物理定律。在科学史上，人类经常会发 现已定义的能量不守恒的现象，这时候物理学家们就会把能量的定义拓展一下，定义一种新的能量形式，能量守恒 定律就又完美了。最经典的案例莫过于焦耳用内能的定义代替热质理论的成就（这段科学史比较普及，这里就不介 绍了） 。 很多同学看完这段会觉得这样的物理定律比较扯淡，有点像那个“史上最无敌的真理”―“一切事物都是矛盾统一的”在解释“一 个饿了的人吃了面包肚子就饱了”时使用的逻辑―“饿和饱是一对矛盾，面包和人是一对矛盾，人吃了面包，结果就矛盾统一了” ！只要对所发表言论中的概念不做清晰定义并保有最终解释权，那么这个世界永远伟大光荣正确的理论会无处不在。比如我们就可以说 “报学而思物理竞赛班的同学其实都是 free 的” 。 不过物理毕竟不是扯淡理论，关于能量的理解会伴随我们同学学习研究物理的终身。基本从 3 岁开始，我们看到咸蛋超人胸前红 灯嘟嘟直闪，就认识到那种对于超人来说都至关重要的东西原来叫能量。中学的时候，身处题海战的我们被迫的开始运用能量守恒去 计算习题中的未知数。再后来，通过对相对论的推导，我们会意识到能量与质量的等效性，这时我们才真正的对能量有了清晰的认知。 再到后来，我们的同学在科研工作中自觉的运用能量守恒分析实验的数据。可以说，能量是这颗行星上的智慧生命普及度最高的专业 概念，虽然每个人对其理解深度不一，但是都在自觉不自觉的运用能量的概念在思维和判定。 在学习能量守恒的过程中我们同学会认识到物理学的终极目标：用更少的概念去描述更多的观测规律，并对没有观测到过的现象 进行预言。从这个角度，我们应该意识到焦耳的工作是高度有效的，因为他让后来同学在学习中学物理时少背了一套理论，让我们对 热效应的思考时少用了很多步骤。可笑的是无知的人理解物理学发展的过程老是用“真理战胜愚昧”来理解。比如国内的一些学者写 的科普读物中就这么赞美焦耳， “热质是错误的假想的物质，在焦耳的实践斗争中被推翻” 。其实稍微懂点现代物理的人都应该知道， 热质学说很有道理啊，热质不就是现在说的光子么，只不过在当时热质说还只是个唯像理论。作为能量守恒的特例，当一个系统除了速度，高度，形变以外没有其它物理参数变化时，自然机械能守恒，根 据动能定理以及势能的功能关系，我们可以推导得出机械能守恒的力学条件。 对于一个质点系，由动能定理：W内 ? W外 ? ? ?EK又重力做功 WG ? ??EP 系统内弹簧对质点总功 W弹 ? ??E弹 这两个功在方程的左边，把它们移项到右边，则有W其他 ? ? ?EK ? ? ?Ep ? ? ?E弹左边为除重力以及系统内弹簧以外其它一切力做功， 右边为机械能变化量。 这个方程又叫功能原理。 其推论是： 如果一个系统除重力以及系统内部弹簧弹力功以外，其它力总功任意时段都为零，则系统机械能守恒。 这个表述虽然看上去严格，但是其实基本不实用，因为计算系统内力做功显然不是容易的事，多数我们还是从 没有其他能量生成考虑机械能是否守恒。 注意以上的推导和普物的不同， 因为中学教材中对机械能定义的原因导致。 其次就是机械能显然是对实际的一种理想近似。下面我们讨论两种常见的机械能与内能转化现象： 1.摩擦生热 回顾上讲中我们处理的一个模型：子弹击穿木块一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F，则： 子弹队木块做功等于木块动能变化量： Fs ? ?E木块 木块对子弹做功等于子弹动能变化： ? F (s ? l ) ? ?E子弹 叠加一下： ? Fl ? ?E子弹 ? ?E木块 这个方程可以解读为摩擦内力的总功为负，其值等于总动能变化量（也是负数） 。但是从能量守恒的角度，我们会 发现系统作用后总动能减少了，减少的能量转变成什么形式的能量了呢？焦耳发现，子弹与木块的温度都上升了。这 说明系统的内能增加了，通过测量，在摩擦内力做功的过程中，系统增加的内能总是正比于系统机械能减少量。这说 明内能与机械能本质是等效的，所以焦耳用机械能的量度――力与距离的乘积衡量内能。原子分子论建立起来后，内 能有了明确的定义，就是大量微观粒子总动能与势能的总和。从上面的推导中可以看出，如果是通过滑动摩擦把机械 能转化为机械能（简称摩擦生热）则生热的数量可以用 Q ? fl 计算（l为相对路程） 。如图为焦耳测量热功当量的实验之一，重物的机械能通过螺旋桨与水之间的摩擦转化为水的内能，使水温度上升 。亏损的机械能与水温度升高量成简单正比，证明内能与机械能的本质是一回事。早期物理学计量内能的单位为卡路 C需要的内能） 里（记为cal，1cal相当于把 1g的水升温 1° ，该实验可测得 1cal的值约 4.2J。这个实验结果也可以理解 为：把一瓶矿泉水从距地面高 0.42m的地方自由释放，不考虑空气阻力，水瓶落地后停下，即便生热全被内部的水吸 C。这个现象很不明显，所以一直没有引起注意。 收，水也只升高 0.001° 2.碰撞 动量失衡的学习过冲中我们知道质量 m1 和 m2 的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为v10 和v20 及 v1 和 v 2 ，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2上述方程在预言结构时候显然是不完备的，原因是不同的材料碰撞过程中能量变化不同，根据碰前后是否生热， 生热的不同我们可以把碰撞分为： （1）弹性碰撞 在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 ? m2 v 20 ? m1v1 ? m2 v 2 2 2 2 2结合动量守恒解得v1 ?m1 ? m2 2m 2 v10 ? v20 m1 ? m2 m1 ? m2v2 ?2m2 m ? m1 v10 ? 2 v20 m1 ? m2 m1 ? m2对上述结果可作如下讨论v ? v20 ， v2 ? v10 ，即 m1 m2 交换速度，这便是最初马尔西惠更斯他们得到的认识。 ① m1 ? m2 ，则 1②若 m1 ＞＞ m2 ，且有 ③若 m1 ＜＜ m2 ，且v20 ? 0 ，则 v1 ? v10 ， v2 ? 2v10 即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。v20 ? 0 ，则 v1 ? ?v10 ， v2 ? 0 ，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。（2） 完全非弹性碰撞 两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械 能最大。m1v10 ? m2 v20 ? (m1 ? m2 )vv?m1v10 ? m2 v20 m1 ? m2碰撞过程中损失的机械能为1 1 1 2 2 m1v10 ? m2 v 20 ? (m1 ? m2 )v 2 2 2 2 1 m1 m2 ? ( )(v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m2 ?E ?（3）一般非弹性碰撞，恢复系数 一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度 v1 ? v 2 ，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能 要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数 e 定义为e?v 2 ? v1 v10 ? v 20e=1。①弹性碰撞， ②完全非弹性碰撞v2 ? v1 ，e=0。③一般非弹性碰撞 0＜e＜1。 说明： 1.碰撞生热的本质是因为物体接近时分子间作用力导致分子平均距离先压缩后恢复，有些材料分子相对位置稳 定，所以几乎能完全恢复。碰撞过程中分子热运动动能不会增加，即不成热。有些则分子相对位置很容变动形成新的 平衡点，碰撞时就不能完全恢复了，分子的热运动动能就增加了，体现在宏观上就是生热了。 2.以上推导全是讨论的一维的情况，对于速度与受力不共线的情况（即斜碰） ，只要分解后分别在法向与切向处 理即可。 如图所示，设两物间的恢复系数为 e，设碰撞前 m1 、 m2 速度为 其法向、切向分量分别为 度分量v10 、 v 20 ，v20 v10 nm1v20 l v20 n m2 切向速 v10 v10 lv10 n 、 v 20 n 、 v10? 、 v 20? ，碰后分离速度 v1 、 v 2 ，法向、v1n 、 v 2 n 、 v1t 、 v2t ，则有e?v 2 n ? v1n v10 n ? v 20 n若两物接触处光滑，则应有 m1 、 m2 切向速度分量不变v1t ? v10t v2t ? v20?若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。 五．伯努利方程 图表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的 a1 处和 a2 处 截出一段流体，即 a1 处和 a2 处之间的流体，作为研究对象。a2 b2 p 2 用横截面a1 处的横截面积为 S1 ，流速为 v1 ，高度为 h1 ， a1 处左边的流体象的压强为 p1 ，方向垂直于 S1 向右。a1b1h1h2对研究对p1对研究对a2 处的横截面积为 S 2 ，流速为 v 2 ，高度为 h2 ， a2 处左边的流体象的压强为 p 2 ，方向垂直于 S 2 向左。经过很短的时间间隔 ?t ，这段流体的左端 S1 由 a1 移到 b1 。右端 S 2 由 a2 移到 b2 。两端移动的距离分别为 ?l1 和?l 2 。左端流入的流体体积为 ?V1 ? S1?l1 ，右端流出的流体体积为 ?V2 ? S 2 ?l 2 ，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等， ?V1 ? ?V2 ，记为 ? V 。 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力 F1 ? p1 S1 ，所做的功W1 ? F1?l1 ? p1 S1?l1 ? p1?V 。作用在右端的力 F2 ? p2 S 2 ，所做的功W2 ? ?F2 ?l2 ? ? p2 S 2 ?l2 ? ? p2 ?V 。外力所做的总功W ? W1 ? W2 ? ( p1 ? p2 )?V外力做功使这段流体的机械能发生改变。 初状态的机械能是 a1 到 a2 这段流体的机械能 E1 ， 末状态的机械能是 b1 到b2 这段流体的机械能 E 2 。由 b1 到 a2 这一段，经过时间 ?t ，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度 ? 和各点的流速 v 没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样 机械能的改变 E2 ? E1 就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。由于 m ? ??V ，所以流入的那部分流体的动能为 重力势能为1 1 mv12 ? ?v12 ?V 2 2mgh 1 ? ?gh 1 ?V流出流体的动能为 重力势能为1 2 1 2 mv 2 ? ?v 2 ?V 2 2mgh 2 ? ?gh2 ?VE 2 ? E1 ? 1 2 ? (v 2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2机械能的改变为理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功 W 等于机械能的 改变 E2 ? E1 ， 即 W ? E2 ? E1所以有：( p1 ? p 2 )?V ?1 2 ? (v 2 ? v12 )?V ? ?g (h2 ? h1 )?V 2整理后得p1 ?1 2 1 2 ?v1 ? ?gh1 ? p 2 ? ?v 2 ? ?gh2 2 2a1 和 a2 是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：1 2 ?v ? ?gh ? 常量 2 这个方程叫伯努利方程。 流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动） ，伯努利方程可表达为 p?1 2 ?v ? 常量 2 可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速 v 大的地方要强 p 小，流速 v 小的地方压强 p 大。 伯努利方程的应用举例： p?经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴 在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互 相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生 过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。甲：不转球乙：旋转球球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球 的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。 跟不转球相比， 图乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力， 飞行轨迹要向下弯曲。 足球比赛中的香蕉球也是这个原理。 三．力的两种定义法 力的严格数学定义有两种，一种是从动量的角度定义， 即： Fx ??p x ?t理解为一个体系受力为一个体系的动量随时间变化率。另一种是从能量的角度定义 动能角度： Fx ??Ek ?x或者从势能的角度： Fx ? ??E p ?x从数学上，力的概念看起也很严密，当然这仅仅是从数学角度而已。牛顿质点力学的哲学体系还会要求每个力都 找出“施力者”与“受力者” ，并认为力具备相互性。对于容易隔离出个体的宏观低速问题，依然可以近似的认同牛 顿体系对力的定义。继续的物理学习中我们会发现这两种定义方式都与牛顿体系有着深度的哲学上的矛盾。在数学方 程与哲学原理在逻辑上产生矛盾的时候，物理学当然会毫不犹豫的选择放弃哲学观点。本讲提示： 1.归纳力学模型，提高分析综合问题的能力； 2.总结力学原理适用范围以及使用某个原理的目的。 从数学的角度，所有牛顿力学范围内的问题都可以通过一个套路化的流程解决：先利用牛顿第二定律列出微分方程与牵连方程，再 找出边界条件，剩下的工作交给解方程即可，方程会回答所有的问题。但是在高中遇到的问题绝大部分都是一些特殊情景，数学模型都 很巧，所以基本不用积分（而且对大部分同学来说套路解法也不现实，学会做微积分的数学题不难，难在对着物理问题运用微分方程） 。 这就出现了联立受力分析，运动态分析，动量分析，能量分析，角动量分析 5 大力学思路综合运用的特殊解法。 从考试的角度，无论是高考压轴，自招还是竞赛，多数同学要能迅速准确答题，基本都得多归纳，多训练，通过“刷题”积累模型。 从学习的角度，积累模型的同学总算比对着样题模仿的同学学的深刻一些。应试大战中的“超级成功人士” ，考试的时候，大部分时候基 本不是在根据原理分析题，而是条件反射的写出对习题条件的解读，只有少数的地方他会去动些脑经。 从学习的角度，我们不太支持我们的同学把空闲时间无限度的花在“刷题”上，虽然这样考试成绩提高明显。大家可把本讲当做一 次对前期所学物理原理的一次复习和反思。把不同的物理原理放在一个物理模型中思考，既能加深对原理的理解，又能获得较高成就感， 更有趣的是我们往往会发现一些“矛盾”甚至是“悖论” ，当然这些矛盾多数不是某个物理原理错了，而是我们理解不当。物理学的发展 往往在这些矛盾的解决过程中实现，比如历史上麦克斯韦方程与经典力学在光速问题上的矛盾就导致了相对论的产生 。我们同学学习物 理的过程中也会不停的遇到前后知识在同一模型中矛盾的情况，可以说解决这些问题的过程中我们不仅会加强对定律本质的理解，更会 训练出一种能力，这种能力会在将来的学习以及研究过程中经常用到。 总的来说，学习物理，思考物理，其味无穷，其乐亦无穷。知识点睛 一．受力分析 一个物体的运动状态与之受力有必然对应关系，这就是我们分析问题首先应该注意到的思路。 从运动态出发,力学的方程有： 1.刚体平衡必须满足两个条件 ?Fi ? 0 其一：力的矢量和等于零,即 ?Mi ? 0 其二：作用于刚体的力对于矩心 O 的合力矩也为零,即 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即M ? r?F分析的时候注意具体力的特点，注意总结典型力学模型中受力特点。 注意“轻”的东西无论运动态如何，受力为平衡力（矩） 。 2.如物体不平衡 （1）对平动，一个物体加速度满足牛顿第二定律：a?? F 或? F ? m am这个定律使用既可以在直角坐标系使用，也可以在其它坐标系使用，如果在自然坐标中使用，我们把垂直速度的 加速度叫向心加速度，由向心力提供。牛顿定律使用的难点在于注意发现某个分量上的加速度特点以及熟练使用矢量 分解技巧。牛顿定律的作用是计算运动态与力的关系，以及对加速度积分得到速度变化量，对速度积分得到位移。 牛顿定律分别对时间积分得到动量定理，对空间积分得到动能定理。对系统使用分别得到动量守恒条件以及系统 能量守恒的原理。 使用牛顿定律经常要换参考系，变化参考系时必须补画惯性力，惯性力的大小等于受力物质量与参考系绝对加速 度之乘积，方向与参考系绝对加速度相反。 （2）对转动，我们引入角动量这个物理量（以下内容了解即可） ： 角动量 力矩对应力，动量作为一个矢量，也可以类似的引入一个动量矩，叫角动量：L =r×p 这里的 p 是一个动量，而 r 是一个从某个参考点出发的位移矢量，一般我们取这个参考点是相对于参考系静止的。 暂时我们只考虑质点的情况，刚体的角动量以后再引入。 角动量定理 下面我们考虑这个 L 随时间的变化：?L ( r ? ?r) ?( p ? ? p) ?r ? p ? r ? p ?r ? ? p ? ? ?r ? ?t ?t ?t ?t ?r ? v ，且 v // p ,所以 v ? p ? 0 ） （因为 ?t所以类似于动量和力的关系，我们可以知道：? p?L ?p ? r? ? r?F ? M ?t ?t也就是质点对任意固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。 只有质点系的外力的力矩才会改变质点点系 的角动量，而内力相互抵消。 【总结】受力分析的目的在于弄清楚力与运动的关系，弄明白哪些量守恒。 二．运动态分析 运动态分析包含： 1.轨迹的认识，通常用坐标系分解去理解。 要注意分析运动的合成与分解，独立性原理，换系后相对运动计算。 2.牵连速度 （1）杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速 （2）接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同. （3）线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和. 3.牵连加速度 三．直角坐标系中某方向速度比等于加速度比 四．用绳或者杆连接物体改变沿绳子速度大小加速度一直（注意沿绳子合加速度通常不一致），或者利用换系后的 圆周运动理解加速度关联，对于接触面为曲线的情况一般也采用换系后使用向心加速度公式推导关联加速度。 三.动量分析 质点的动量变化有力的冲量导致，即：? ?? ?? ? ? ? ?? ? I 合 ? Ft ? p? ? p ? m(v ' ? v)这个方程多数使用正交分解的矢量式。 对于一个质点系，内力总冲量为零，该方程也成立。如一个体系外力时刻为零，则动量守恒。动量方程与牛顿定 律方程不必同时列出，但与能量方程具备互补性。 2.能量分析 一个物体，外力对之做功等于动能该变量，即：? ?Wi?1 2 2 m(vt ? v0 ) 2一个封闭体系，所以能量的总和为零，如有外力功，可理解为引入能量。 以上能量方程只列一个即可，也不与牛顿定律同时出现。 3.角动量分析 角动量守恒从前面的公式我们可以知道，只有当 M=0 时，角动量才能守恒，那么只有两种情况： 1.外力为零。 2. 力 F 通过定点，也就是有心力，那么相对于那个定点，力矩始终为零，所以角动量守恒。 使用角动量注意参考点的选择。 【总结】解决复杂力学问题的两条路径：动量分析与功能分析以及运用角动量守恒，在复杂的问题中，这几条规律 往往一起运用，看起来他们的定义与关系都很相似，但是其实是三个完全独立的方程，动量讨论方向问题，而能量 讨论力与位移的关系，角动量讨论有心力场的问题。 知识点睛 一.开普勒行星运动定律 人类对于天空的观测可能从人类诞生就开始了，关于天空的知识历来就充满了神秘感，比如古代的中国人就相 信天空中的某些现象能预示一个王朝的兴亡或某个人的生死，“昨夜老夫夜观天象…”是咱们的老祖宗诓人时常用的 起语。起源于古代巴比伦时期的星座占星术，到了二十一世纪依然是众多受过高等教育的年轻人判断第二天人品值 的重要参考。科学与迷信都起源于对现实的观察与描述，也都是对现实观察的推断，只不过后者更加严密和精确罢 了。而后者会比较接近艺术家的思维方式：睁开眼睛看3秒，然后闭上眼睛让想象力驰骋，最后“顿悟”了。 当然古代天文学中也有对天空理性的描述，第一个值得回顾的是古希 托勒密提出的地心学说，地心学说认为行星有一个“本轮”绕着地球做 动，同时行星又绕着本轮做圆周运动，用两个角速度合成就能描述行星 位置。真正有物理天赋的同学很容易看出来地心学说其实很靠谱，那个 就是太阳。究竟是以地为心还是以日为心从物理学角度其实没有本质的 的差别，无外乎参考系不同而已，如果天体运行是圆轨道，无论地心说 说在描述轨道上是等效的。至于宇宙真正的“心”是地球还是太阳还是 不该是当时的科学家应该想的问题，一个科学家要做的是帮助人类获得 可信的认知进步。从物理的角度，日心说后来至上只不过是因为在描述 时更加简明。而后来科学家对古希腊理论最大的突破在于用椭圆轨道代 道。 腊哲学家 圆 周 运 在天空的 本轮其实 是非对错 还是日心 无心，这 实实在在 行星运动 替了圆轨 第谷 ()不过由于天主教会把地心说上升为真理，反地心说因而具备了巨大的 哲学以及 社会意义。如大家所知，伽利略首先提出了质疑，哥白尼又提出了日心说， “斗士”布鲁诺还因为宣扬宇宙无心还 被教会给烧死了。这里我们不想重复去这段已经写入中学政治课本的革命史，其实无论是教会还是打着哲学家头号 的“斗士” ，都不会去关心科学的本质。他们大多无外乎挂是科学的羊头卖自己社会观点狗肉而已，为了在普通大 众那得到更多支持与利益，科学要么被利用，要么被整编，要么被牺牲。也是基于此，我们课程特别注重给我们的 同学介绍真正的科学史。除了激发我们同学的学习兴趣外，真正的科学史还可以使我们受到思维的启发，让我们感 受到科学的本质。 在伽利略发明了望远镜后，人类对天体运动的观察有了突飞猛进的进步。伟大的天文学家开普勒在他的老师， 现代天文学始祖第谷的观察数据基础上，归纳出行星运动的三大定律。开普勒定律是人类第一次对天体运行的精确 定律，开启了现代天文学的新篇章。这三个定律分别为： §第一定律: 行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上． 说明图如下，行星的轨迹只是近似的圆，严格来说都是椭圆，距离太阳距离时远时近，速度也时慢时快，但具 有周期性。数学上椭圆有两个焦点，太阳位于椭圆的一个焦点上。§第二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积． 下面举一个例子详加说明： 为用数学式子表述第二定律，设径矢 r 在 ?t 时间内扫过的面积为 ?A ，则面积 ?A 1 为 ，由图可知， ?A ? r ?r sin ? ?t 2速度：?A 1 ?r 1 ? r sin ? ? rv sin ? ? C 常量 ?t 2 ?t 2 式中 v 为行星运动的线速度， ? 为径矢 r 与速度 v 方向之间的夹角．当行星位于椭 圆轨道的近日点或远日点时，速度 v 的方向与径矢 r 的方向垂直，即 ? ? 90? ，故 ?A 1 1 ? r近v近 ? r远v远 ?t 2 2 这个定律显然是角动量守恒的一个特例． 【说明】 开氏第二定律有两种用法 2.计算瞬时速度与位置关系。 3.根据面积速度计算运行时间，当然前提是求出矢径扫过的面积。故面积速度为 §第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即 T2 ?k a3 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动．也适用于卫星绕行星的运动．关于椭圆的必要数学知识请参看附录， 本讲涉及的数学知识请大家务必在短时间内弄懂。椭圆的数学描述 §椭圆第零定义 椭圆看上去就是个圆被踩扁后的形状，故椭圆的第零定义（由于数学教材已经规定了第一与第二定义的方法， 这里姑且把这个最易理解与推导的定义叫第零定义）就是把一个圆向着有夹角的平面投影，则可得到一个椭圆，如 图：设圆在其坐标系里半径为 a，把圆心放入坐标原点，根据两点间距离公式，显然其方程为x2 y2 ? ?1 a2 a2投影后，平行于圆面与椭圆所在平面交线的坐标 x 坐标值不变，但垂直 x 轴的 y 坐标变小，变小比例一定只取 决于两面夹角，所以椭圆的方程变为：x2 y2 ? ? 1， a 2 b2其中 a 叫长半轴 b 叫短半轴，且知两个面上 y 坐标之比为b a用这个定义，很容易由面积摄影定理证明椭圆的面积公式：S0 ? ?a 2 S b ? 根据面积摄影定理 S0 a圆的面积为 （这个公式这里就不做推导了，很容易理解，大家可以用一个边平行于两面交线的长方形证明，再把一般的形 状用微元法割成无数小长方形即可） S ? ?ab ， 所以椭圆面积为 这个定义法适合描述椭圆上部分的面积，对于椭圆上部分面积，大家可以用上面的示意图。先把椭圆上的形状 反投影到圆上，再计算圆上的面积，最后再根据面积射影定理计算椭圆面积即可。这个方法后面会有例题涉及。 §椭圆的第一定义： 在平面上固定两个点，到这两个点的距离和很等于 2a 的点的集合也是一个椭圆，这两个参考点叫椭圆的焦点。 根据这个定义，用两点间距离公式也能证明椭圆方程。其中 │F1O│=│F2O│=c, 设椭圆上一个点的坐标（x，y）根据定义写出方程：( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2ax2 y2 化简可得 2 ? 2 ? 1 （化简过程略去） a b其中 b ? a2 ? c2 从图中还可以看出： │F1B1│=│F2B1│=│OA1│=│OA2│=a │OB1│=│OB2│=b 我们又把 c 与 a 的比叫一个椭圆的离心率记作： e ?c a这个定义在计算椭圆参数时比较适合，但是讨论轨迹细节不实用，计算过于繁琐。这就要引入： §椭圆第二定义： 把到一个定点 F1(焦点)与定直线（又叫准线）距离之比为衡量的（比例系数正是前文提到的离心率 e，且椭圆的 离心率 e&1）点构成的平面图形叫椭圆。 其中用 p 表示焦点到准线间的距离，在直角坐标系中可以证明准线的直 角坐标方程是：x??a2 （用距离公式可推，大家可以自己算一下） c那么焦点到准线的距离为:a2 b2 p? ?c ? c c下面推导一下极坐标系中椭圆的方程，极坐标我们前面讲义引入过，极坐标用平面内到极点的距离 ? 与到极轴的角度 ? 定义平面内的点。如下左图： 极径：到参考点（极点）的距离，用 ? 表示 极角：与参考射线（极轴）的夹角，用 θ 表示 ，注意 θ 逆时针为正，这样点的坐标为（ ? ，θ） θ 与 ? 满足的方程叫平面内曲线的轨迹，比如把一个半径为 R 的圆的圆心放在极点，其方程为：??R如上右图，设 ? ? F1 A ， F1 到准线距离为 p,定义离心率 e 为椭圆上的点到焦点与到准线的距离比， 则： e ??? ? p cos?化简得到：??ep 1 ? e cos ?【注意】 抛物线双曲线也符合这个公式，只是离心率分别取 1 和大于 1。一般的直角坐标方程与极坐标方程变换的公式， 当极点重合直角坐标原点，极轴重合 x 轴时，如图：易知直角坐标变化为极坐标变换式为：? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?反之有：?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? x ( x ? 0) ?用以上公式可以实现极坐标与直角坐标方程的互变。 【总结】 以上 3 个椭圆的数学定义法在计算轨道参数时都将使用，一般性的原则如下： 1.从开普勒行星第二定律看出，行星运动过程中运动的时间是正比于行星扫过的面积的，那么只要我们用投影法计 ?A 算出行星的极径扫过的面积，再除以面积速度 ，即能推导出行星运动的时间了。 ?t 2.极坐标特变适合处理行星运动方位问题， 所以我们将用的更多一些， 直角坐标比较适合处理一些特殊位置的情景。 3.从公式的角度，长半轴 a 是一个重要的参数，很多轨道参数都与 a 有直接联系，提醒使用的时候注意。 阅读材料：1571 年 12 月 27 日，开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭。开普勒的童年时代充满了不幸，但是正是这种不幸磨练出他无 比坚强的意志。 在贫困的煎熬和丧父的悲痛中 （他的母亲还被诬陷下狱） ， 开普勒坚持到大学毕业， 并成为蒂宾根大学最优秀的毕业生。 后来开普勒获得天文学家第谷的赏识， 在第谷的帮助和指导下， 开普勒的学业有了巨大的进步。 第谷死后， 开普勒接替了他的职位， 被聘为皇家学者。当时的皇家聘请天文学家作为皇家学者，其实并不是多么重视科学，反倒是他们相信天文学家比较擅长夜观星相占 卜未来（@#￥%&！愚昧的人都是相似的，聪明的人各有各的机巧） 。比如第谷就曾经“成功的”预言了苏莱曼苏丹的死而名声大震，从 而名利双收。 相比于他的老师第谷，开普勒在忽悠贵族骗名骗利方面显然没有那么多的天赋，皇室学者的身份并没有为开普勒带来多少的收益。 开普勒从事这份工作的原因是为了研究第谷积累了二十多少年天文观测数据，在贫困交加和别人的鄙视中，他利用一切的时间去探究 这些数据背后的“天机” 。 通过 16 年的不懈努力下，开普勒终于获得了成功。到 1619 年，开普 勒完成了他对 天体运动三定律的研究和出版。但论文的出版并没有为开普勒带来荣誉与 金钱，相反，他 的书很快被列为禁书，甚至连他的生命也受到威胁。1630 年 11 月，因数 月未得到薪金， 生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他 刚刚到那里就 抱病不起。1630 年 11 月 15 日，开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。 他死时，除一些 书籍和手稿之外，身上仅剩下了 7 分尼（0.07 马克） 。 科学家的故事我们同学从小读过很多，甚至开普勒的故事应该也有不 少同学读过。不 过我们同学读到科学家的故事多数都是人们加工美化过的。如同我们想向 大家介绍真正 的物理学一般，我们也想向大家介绍真正的物理学家，真正的物理学家的 生活。在世俗的 眼中，科学家存在的意义就是发明各种先进的玩意让普通大众的生活越来 越美好，然后科 学家同时也名利双收。在科学家的周围，充满了耀眼光环与人们的敬仰， 很多人就是因 为这个原因投身科学的。但实际上，他们很快会发现很多科学家在他所在 的时空，往往贫 困潦倒， 甚至在社会生活中显得微不足道， 没有多少人关心他们在做什么。 即便他们获得 了很大的成就，往往也需要几十年上百年才被后世的人理解和感激。 即便在现代，那些真正从事前沿研究的科学家，在生活中也是平平凡 凡的。很多出名 的科学家，往往不是因为他们的专业贡献，而是因为他们身上一些能吸引 普通人眼球的 东西（比如霍金） 。真正的物理学史，会让从小陶醉在科学家梦想的人感到 无比的残酷与 “我曾测量过天空， 而现在 失落。我们不禁要问：几百年来，无数物理家不顾一切沉迷研究的真正目 的是什么？难 道是天生脑子烧坏了，还是伟大到为了全人类几百年后的幸福生活？按现 代环保主义者 测量幽冥，灵魂飞向天国，肉 的观点， 科学这三百年做的事情， 无外乎是加速了这颗星球上的人口膨胀， 资源消耗与环 体安息土中”天空立法者--开 境巨变，使人类几乎无可避免的在本世纪末面临灭亡命运。所谓的“人类 的幸福”一直以 普勒() 来只是人类自私的借口，那么物理学真正目标在哪儿？ “当我们仰望星空...”无数文学作品以这句让人心旷神怡，遐想无限 的话作为起首 语。是的，对于宇宙万物的探索欲是我们人类最深刻最本质的欲望。这个本能深植与我们的基因之中，甚至当初造物主在创造生命的 时候就决定了这一切。当我们仰望星空的时候，看这繁星点点，人类一切它欲念与情感都显得那么微不足道。我们从哪里来？我们要 到哪里去？我们处于一个什么样的宇宙之中？为什么会有那么多我们无法理解的规律性的现象？我们的先人正是在这个强烈的好奇心 驱动下，不顾一切前赴后继献身于探索的征程。 正如开普勒在出版他的书的时候写下的那段话： “这正是我十六年前就强烈希望探求的东西。我就是为了这个目的同第谷合作 的……现在大势已定！书已经写成，是现在被人读还是后代有人读，于我却无所谓了。也许这本书要等上一百年，要知道，大自然也 等了观察者六千年呢！ ”在开普勒看起来，大自然召唤者我们人类去发现它的规律，无论多少艰难险阻他都会投身其中。这是历史上每一个有重大发现的科学家的共识！即便人类真的在不久的将来面临灭亡，在人类灭亡的那一瞬间，真正的科学家惋惜的一定是还有那 么多的我们不理解的规律没有能够弄明白。从这个角度，开普勒的一生一点也不可怜，一点也不孤单，也没有多少事情需要惋惜。他 的经历，是一个真正的科学家需要去面对，去承担的。他获得的回报是他真正的享受了获得发现的快乐。 写下以上这么多，不仅仅是想向各位同学介绍一下这位伟大的科学先驱，也是给我们同学一个正确的导向。在这个重视眼前利益的 国度，在现实主义的氛围中，当我们有志于投身科学的时候，驱动我们的是想成为科学家的梦想还是无法抑制的探索欲念？如果是仅 仅是前者，我们觉得最好放弃！⑤ 万有引力定律 到底是什么原因引起了开普勒的规律的天体运动？由于基督教曾经解释一切天体运动都是由于上帝派出的天使驱 动的原因，所以思考这个问题本身在中世纪的时候就是违法的。当然再严酷的法律也不可能遏制人类探索自然规律的 渴望。开普勒以后，很多科学家对天体运动的本因进行分析。受伽利略“力是改变运动状态原因的思维方式的影响， 科学家的注意力都集中到了研究控制行星运动的力。这个力是谁施加给行星的？符合什么规律？ 胡克与哈雷等人从惠更斯的圆周运动向心力定理出发，把椭圆退化成一个圆。证明了控制行星运动的力必然正比 于受力者质量， 反比于到圆心距离的平方 （这个推导比较简单， 我们会作为一个例题让大家自己享受一下发现的幸福） 。 但对于椭圆轨道，受限于他们的数学能力，无法给予证明。更关键的是，这个力是如何施加给行星的？ 哈雷与胡克是最早意识到行 星是在太阳的引力作用下运动 的， 并且他们从圆周运动推导出 这个力应该反比于距离平法， 但 是这个力是否普遍存在， 如何用 数学证明椭圆轨道这个力也平 方反比，他们无能为力。他们曾 经和雷恩一起打赌出 40 先令给 第一个获得证明的人。 突破的人是谁呢？历史选择了牛顿。对于牛顿对人类进步的评价，无路用什么样的语言都无法确切表达。为牛顿 撰写墓志铭的亚历山大? 蒲珀曾说过：“大自然和大自然的法则藏匿于黑暗之中。上帝说，让牛顿出世吧！于是世界一 片光明。” 牛顿从相互作用原理以及微积分出发，提出并证明了：所有的物体都在相互吸引的理论，正是太阳与行星间的相 互吸引力，约束着行星围绕地球做圆周运动。在证明的过程中牛顿巧妙的引入了叠加法证明了两物体之间的相互引力 一定正比于两个物体所含物质的多少的乘积，从微积分的角度出发，牛顿又证明了质点间的万有引力与距离平方成反 比的结论。总结起来就是现在的万有引力定律：F ?Gm1m2 r2关于平法反比力下轨迹为二次曲线（椭圆，圆，双曲线，抛物线统称二次曲线）的证明，后世又发现了不少可以 证明的数学方法，都非常有趣，这里既不做阐述了。有兴趣的同学可以自己推导，不一定要用高等数学。我们这里重 复一下牛顿使用过的叠加法，对我们的今后的思维会有一定的启示。 如图，两个相互吸引的物体可以分为无数等质量的小份 ?m1 与 ?m2 ，如果忽略掉物体的体积，每一份 ?m1 面临的 物理情景是对称的，那么受力一定是相等的，整个 m1 受的外力为各个力之和。这就 m1 了物体间受力和其物质的多少 是成正比的。由于 m1m2 具备对易性，相互作用力也一定与另一个物体含物质的多少成正比。后世把这个含物质的多少叫做引力质量，记作 m 引，把牛顿第二定律中的质量叫惯性质量，记作 m 惯。引力质量和 惯性质量在实验上是两个不同的概念，前者的测量标准是引力对弹性物体引起的形变，后者的测量标准是惯性力对弹 性物体的形变。 （看不懂的动脑子或者问老师） 实验表明，不同材料，不同物质多少的物体，引力质量与惯性质量几乎没有差别。比较粗糙的实验方法是测量不 同的物体在同一地点在重力作用下是否加速度一致。以下推导之： 引力质量为 m1 的物体受地球的引力为 由牛顿第二定律有 GF1 ? Gm地 m1引 R2m地 m1引 ? m1惯 g1 R2m地 ? g1 R2 即自由落体加速度与物体的质量无关，那么引力质量就可以和惯性质量一致，统称质量，以后实验上称量质量的 定义就直接用天平去定义了，其实测的是引力质量（注意化学中的质量正比于物质的量以及化学反应质量守恒只是近 似的，没有考虑相对论效应） 。如惯性质量与引力质量一致，则G当然这个实验不可能得出精确的结果，一般的精度级别只有千分一，牛顿自己还曾 经用单摆实验验证过，大概也是这个量级。比较可信的实验是匈牙利物理学家厄缶完 -8 成的，到 1890 年，厄缶持续做了 25 年的实验，证明在 10 精度范围内两者相等。厄缶 将两个不同质料、质量相等的球悬系在扭秤的两臂上使扭秤平衡，并指向东西。物体受 地心引力和地球自转的惯性离心力作用。 若物体的引力质量与惯性质量不等， 引力和惯 性离心力之和将产生转矩，此转矩可被悬丝的扭力矩所平衡。将整个实验装置转 180° ， 使两球的位置互换，转矩取向相反，而扭力矩不变，则应观察到扭秤偏转一个角度。实 -8 验在 10 精度内未观察到这一效应。 类似的实验以后又多次为其他人更精确地做过， 精 10-13，表明引力质量和惯性质量精确相等。这个实验将来一定还会有人继 度提高到 9× 续做，因为事关广义相对严密性问题，所以依然属于前沿科学的研究问题。 牛顿明锐的意识到地球对地球周围一切物体的重力就是万有引力的实例， 而生活之 中常见物体间的万有引力由于太小没有被注意到。 由于这个原因， 牛顿提出检验万有引 力定律的方法就是利用月球绕地球运动的向心加速度进行验算。关于那个著名的激发牛顿思路的苹果，考证表明最开 始是牛顿的一句调侃。但是别有用心的哲学家与无知的文学家们把这个事件当成经典的联想思维的范例广为流传，甚 至完全替代了真实的科学发现史（要在大众心中击败科学，或利用科学获得实惠，就要打入科学内部，学习科学的术 语，然后按照对自己有利的方式向大众介绍科学，介绍科学家。几百年以来，哲学家、政治家、神学家、文学艺术家 以及好莱坞制片人，一直遵循这一战术） 。 牛顿发表的时候并不知道万有引力常数是多少，要测量这个数据，无可避免的 必须去测量实验室中物体间的万有引力。这个实验直到 18 世纪末，英国科学家亨 利?卡文迪许才第一次完成。他将两边系有小球的 6 英尺木棒用金属线悬吊起来， 这个木棒就像哑铃一样；再将两个 350 磅重的球放在相当近的地方，以产生足够的 引力让哑铃转动，并扭动金属线。然后他在金属线上贴了一小个反光镜片，通过观 察光线通过反射后在墙上的射点的移动计算出金属丝的扭动角，从而测量出了微小 的引力。如图是卡文迪许使用的装置图。测量结果惊人的准确，他测出了万有引力 恒量的参数约为： 厄缶实验G ? 6.754?10?11m ? kg ? s3?1?2卡文迪许实验示意，简单但是 又精巧的设计这个值距离现代物理学中公认的值差距很小：G ? 6.67 ?10?11 m3 ? kg?1 ? s?2在此基础上卡文迪许计算了地球的密度和质量。卡文迪许的计算结果是：地球 24 质量约 6．0×10 公斤。由于这个了不起的贡献，卡文迪许的实验被评为科学史上 最美的十个物理学实验之一。一直到现在，以卡文迪许命名的实验室依然是是世界 上最著名的实验室之一，无数的物理学家以在卡文迪许实验室工作为荣。附录：卡文迪许实验室 1874 年至 1989 年一共a生了 29 位诺贝尔奖得主。他们是： 乔治?汤姆孙（物理, 1937） 爱德华?维克托?阿普尔顿（物理, 1947） 帕特里克?布莱克特（物理, 1948） 约翰?考克饶夫（物理, 1951） 欧内斯特?沃吞（物理, 1951） 弗朗西斯?克里克（生理学或医学, 1962） 位于剑桥大学的卡文迪许实验室， 詹姆斯?杜威?沃森（生理学或医学, 1962） 马克斯?佩鲁茨（化学, 1962） 被誉为诺贝尔奖得主的摇篮 约翰?肯德鲁（化学, 1962） 多萝西?克劳福特?霍奇金（化学, 1964） 布赖恩?戴维?约瑟夫森（物理, 1973） 马丁?赖尔（物理, 1974） 安东尼?休伊什（物理, 1974） 内维尔?莫特（物理, 1977） 菲利普?沃伦?安德森（物理, 1977） 彼得?卡皮查（物理, 1978） 阿兰?麦克莱德?科马克（生理学或医学, 1979） 亚伦?克拉格（化学, 1982） 诺曼?福斯特?拉姆齐（物理, 1989） 这些科学家全部因为实验中的发现而获奖，也可以看出来颁奖委员会对于对于扩大人类认识范围的科学研究的重视。⑥ 万有引力定律的运用 3.关于公式使用的说明 (1)我们生活中的重力就是万有引力的体现（要注意我们认识到得重力大小是相对地球静止的物体对地面的压力） ， M Mm 因为 mg ≈ G 2 ，所以有 g ≈ G 2 。在考虑地球自转的情况下，相对地面静止的物理受的万有引力分解为重力 R R 与自转向心力，如图：⑵ 并可以推导开普勒第三定律中的常数 k 在不考虑太阳进动的情况下近似为a3 GM ， 以下所有的推导我们推导 ? T 2 4π 2都近似认为太阳质量 M 远远大于行星质量。 （3）万有引力定律本来是针对质点提出的，但是数学运算表面，对于均匀球的外部，这个公式依然可以用，此时公 式中的 r 为到球心的距离。 2.万有引力的功与能量 引力做功 质量 m 的质点在另一质量 M 的质点的作用下由相对距离 r1 运动至相对距离 r2 的过程中，引力所做功为： GMm GMm W? ? r2 r1 说明：这个公式变力做功，推导用的数学方法是积分，这里就不写出过程了。 引力势能 两个质点 M 、 r 相距无穷远处，规定 EP 0 ? 0 ，设 m 从无穷远处移近 M ，引力做功 W ，? 1 1 ? W ? GMm ? ? ? ?r ? ? 末 r初 ?开始时 r初 ? ? ，最后相对距离为 r 又有 W ? ??EP ? ? ? EPr ? E? ?W?GMm r质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为 GMm r ≥ R ， R 为球半径 EP ? ? r 3.总能以及轨道关系 当质量为 m 的天体在另一质量 M 的天体的作用下做长轴为 2a 的椭圆运动时，他的动能和势能虽然随时都在变 化，但是总的机械能确实守恒的．对于圆轨道， 2a 为圆的直径． 若 M 天体固定，m 天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆） 、抛物线或双曲线,对椭圆 轨道：yb?a v2Ov1 M (? ,0) a x?b如图所示，设椭圆轨道方程为x2 y2 ? ?1 a2 b2则椭圆长，短半轴为 a、b，焦距 c ?a 2 ? b 2 ，近地点速度 v1 ，远地点速度 v2 ，则机械能守恒：E?1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mv 2 ? 2 a?c 2 a?c由角动量守恒（或者开氏第二定律）mv1 (a ? c) ? mv2 (a ? c)可解得? ?v1 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ? ? ?v2 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a代入 E 得GMm ?0 2a 此为椭圆轨道的总机械能公式， 当 a ? ? 时，椭圆变为抛物线，即抛物线轨迹能量为 0.进一步的数学计算表明， E??如果能量为正，则轨道为双曲线，即：E?GMm ?0 2a其中 a 为双曲线实半轴，这里就不做具体的介绍了，有余力的同学推导一下上面公式。 五．万有引力定律的应用 1.行星的发现 肉眼能观察到的行星只有金木水火土星，历史上经常利用万有引力定律发现未知天体的方法是，先精确测量现 有天体的轨迹，并与用万有引力作用下的理论计算比较，找出其产生偏差的原因-未知天体对它的万有引力作用， 并对根据万有引力的大小和方向来确定未天体的质量和位置，然后到该位置去观测发现未知天体。用此法发现的太 阳系的行星有海王星和冥王星。本讲提示： 1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。 2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。 3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理 解。 万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。我们下一讲依然会 安排一次总复习。知识点睛 上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力 有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：（ 两质点间相互吸引对方的力： F万 ?GMm ） r2显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。通过数学家的计算，这个 公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们 感受到的重力，如图：（不计自转，引力即重力）（考虑自转引力分解为重力与指向 O'的向心力）上述表达中 R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。这样就得到行星表面重力 加速度为： M g ?G 2 R 当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。上面右图中，向心力 指向 O'。极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体 时密度。 如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为 0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球 对我们的引力。公式记为： F万 ?GM内球m R内2（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）知识点睛 4.引力作用下的轨道 有了力，可以从力的角度理解运动了。引力作用下最简单的模型是引圆周运动，如果产生引力之间的天体其中 一个远小于另一个天体质量（比如地球围绕太阳转，人造卫星围绕地球转）可以近似认为大物体不动。万有引力提 供小天体向心力，通过这个理解可以中心天体的质量，以及圆周运动天体的运动参数。比如人类发射的同步卫星， 轨道在赤道上方，固定的高度，固定的速度绕着地球运动。我国发射的&东方红 3 号&同步 通信卫星， 定点于东经 赤道 上空。所有的同步卫星高度都为 35,786km，轨道都在赤道上方。 可想而知这个轨道将来会有多繁 忙。理论上至少用三颗同步卫 星， 才能实现对全球范围绝大 部分地区的通信覆盖， 只在极 地附近有小部分的盲区。 同步 卫星的高度能不能自己推导 出来？当轨道时椭圆时， 计算轨道就不是仅仅从受力分析能解决的。 这时候我们就得引入角动量的概念。 势能的概念， 以及总能的概念。一个行星围绕太阳运动，或者人造地球卫星围绕地球做椭圆轨道运动时，轨道示意图如下：（S 是中心天体，位于椭圆一个焦点）图中有我们要初步掌握的椭圆的几何规律： a 2 ? b 2 ? c 2 图中还有行星运动满足的方程： 四．角动量守恒（开普勒行星第二定律）即：v1r1 sin ?1 ? v2 r2 sin ?2五．能量守恒：m v2 GMm GMm ? （? ） ?? 2 r 2a有时候我们还得考虑周期公式：a 3 GM ? T 2 4? 2利用开氏第二定律的面积速度表达式我们还能计算部分轨道的时间： ?A 1 ?r 1 ? r sin ? ? rv sin ? ? C 单位时间转动面积为： ?t 2 ?t 2 总的来说就这么点东西，如果我们上讲从做题的角度给大家介绍这章的知识体系，课程的内容其实不多，脉络 也会很清晰。 不过， 学习物理的目的不是为了做题， 我们也希望大家本讲学习的时候也不是光把注意力落在做题上。 而是多注意一个物理原理在发现过程中对人类认知造成的困扰，以及科学家解决困扰的突破点，同时更要了解这个 原理在将来的学习中的发展。 自学材料： 关于第三宇宙速度 第三宇宙速度定义为在地球上发射航天器能飞出太阳系所必须的最小速度．公认的推导方法是这样的．地 球绕太阳转，转速由： F万 ? F向 ． 即：v地 ?GM 太 m地 R2 GM 太 ?2 m地 v地R得，其中 R 为地太距离，代入数据得： R v地 ? 29.8km/s ． 要离开太阳系，必须相对太阳在离地球后获得地球轨道的逃逸速度v逃 ? 2v地 ? 42.2km/s ，其相对地球的速度?v ??2 ? 1 v地 ? 12.4km/s ．?现以地球为参考系，设发射时速度 v3 能刚好让航天器相对地球无尽远处还剩下 ?v 的速度．由机械能守恒： 1 2 Gm地 m 1 2 mv3 ? ? mv ， r 为地球半径． 2 r 2 沿地球公转方向代入得： v3 ? 16.7km/s 就是第三宇宙速度，从推导知发射必须沿着地球公转速度方向发射才行． 这个推导一直让很多不理解的人感到吃不消．第一步是以太阳为参考系，第二步又是以地球为参考系,思 维显得有些混乱。所以很多人应该一直以太阳系为系，列方程。设 v3 则航天器发射时对太阳速度为： v3 ? v地 ． 且必须能飞到无尽远处，那么： Gm地 m GM 太 m 2 1 m ? v3 ? v地 ? ? ? ?0． 2 r R 这样解得 v3 ? 13.8km/s 只要探测器在地球 轨道上离开地球引力 范围时达到地球所在 轨道的“逃逸速度”― ―也就是地球围绕太 阳公转速度的 2 倍， 探 测器就能离开太阳系。以上观点在历史上一直}