求线性微分方程y的二阶导+y=x+e∧x的通解_百度知道
求线性微分方程y的二阶导+y=x+e∧x的通解
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y&+y=x+e^x特征方程为r²+1=0，得r=i, -i令特解y*=ax+b+ce^x代入方程得: ce^x+ax+b+ce^x=x+e^x即ax+b+2ce^x=x+e^x得a=1, b=0, 2c=1故a=1, b=0, c=0.5通解y=C1cosx+C2sinx+x+0.5e^x
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微分方程的通解可以用y表示x吗？即x(y)的形式？
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RT& &通解没有作要求的时候可以用y来表示x吗？因为有的方程得写成dx/dy才好求，求出来以后又不好换回y(x)，所以能直接用y来表示吗？求高手解答，谢过！
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印象中好像看过啊，不过也不好说，尤其是填空题，12年个填空题是这样的，去看看
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薛小我爱你 发表于
我是这样考虑的，如果你解出了一个关于x和y方程，不能求出y。你不能证明有解。 ...
我觉得x和y的意义是一样的&&只是用的表示符号不同而已& &只要能维持等式成立的数字存在的话方程就是有解的& &所以和用x还是y来代替本身没有差别&&合工大数二模拟三有一道题空题只能写出x等于arctany加上e的arctany次方再加常数的形式&&所以有点困惑
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Jesseaspire 发表于
印象中好像看过啊，不过也不好说，尤其是填空题，12年个填空题是这样的，去看看 ...
大多数情况下都能表示回去&&但是今天做了一下合工大数二第三套&&里面有个填空题我就只能解出x等于arctany加e的arctany次方再加一个常数的形式&&所以困惑了
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按道理是可以的 但是改卷的老师不会理解你的=。= 改卷是有时间限制的 谁会专为了这个去给你算？
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ty151214 发表于
按道理是可以的 但是改卷的老师不会理解你的=。= 改卷是有时间限制的 谁会专为了这个去给你算？
呃?我还想着他们会为同一道题列出多种答案表示法&&不然到了有的不定积分题或者答案可以多种写的岂不是很坑爹
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parkheehyuk 发表于
呃?我还想着他们会为同一道题列出多种答案表示法&&不然到了有的不定积分题或者答案可以多种写的岂不是很 ...
{:soso_e127:}去年我同学解那道线性代数题，解向量你知道有很多种形式，明明是对的，但是扣了5分=。=
他下来对了答案的 比他对的分少了15分=。= 这道题应该扣了分的
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ty151214 发表于
去年我同学解那道线性代数题，解向量你知道有很多种形式，明明是对的，但是扣了5分=。=
那好吧& &不到万不得已& &还是老老实实写吧
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二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0 书上说的是设y=e^rx为上述方程的解，但是为
二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0
书上说的是设y=e^rx为上述方程的解，但是为什么解的形式一定是这样的？怎么证明没有其它的函数满足上述微分方程？
我脑子都被弄糊涂了，该方程一定就只有1个通解么？为什么不能是其它函数y1(x)满足该方程，得到另一...
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如果特征跟是虚数不是还有另一种形式的解吗，通解不唯一的
楼上说的对，这么设不过是偷懒之举
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二阶非齐次线性微分方程的解法
目录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法L ? x? ? d 2x dx ? a1 ? a2 x ? 0, 2 dt dt (1)解决常系数齐次线性微分方程这里a1 , a2是常数.特征方程F (? ) ? ? 2 ? a1? ? a2 ? 0(1)特征根是单根的情形(1.1)设?1 , ?2 , , ?n 是特征方程的 (1.1) 的 2 个彼此不相等的根， 则相应的方程 (1) 有如下 2 个解：e?1t , e?2t(1.2)如果 ?i (i ? 1, 2) 均为实数，则 (1.2) 是方程 (1) 的 2 个线性无关的实值解，而方程(1) 的通解可表示为x ? c1e?1t ? c2e?2t如果方程有复根， 则因方程的系数是实系数， 复根将成对共轭出现。 设? ? ? ? ?i是一特征根，则 ? ? ? ? ? i 也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1) 有两 个复值解e(? ?? i)t ? e?t (cos ? t ? i sin ? t ),e(? ?? i)t ? e?t (cos ? t ? i sin ? t ).它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根? ? ? ? i ? ，我们可求得方程 (1) 的两个实值解e?t cos ? t , e?t sin ? t.（2）特征根有重跟的情形k (1) 的 k 个线性无关的解 1, t, t 2 , 若 ?1 ? 0 特征方程的 重零根，对应于方程t k ?1 。若 这 个k 重 零 根 ?1 ? 0, 设 特 征 根 为 ?1 , ?2 ,, ?m , 其 重 数 为k1 , k2 ,, k m (k1 ? k2 ?k m ? 2) 。方程 (1) 的解为 t k2 ?1 e?2 ; e?mt , t e?mt , t km ?1 e?e?1t , t e?1t ,t k1 ?1 e?1 e?2t , t e?2t ,对于特征方程有复重根的情况，譬如假设 ? ? ? ? i? 是 k 重特征根，则 ? ? ? ? i ? 也是 k 重特征根，可以得到方程 (1) 的 2k 个实值解e? t cos ? t , te? t cos ? t , t 2e? t cos ? t , e? t sin ? t , te? t sin ? t , t 2e? t sin ? t ,, t k ?1e? t cos ? t , , t k ?1e? t sin ? t.例 1 求方程d 2x ?x?0 dt 2 的通解。解 特征方程 解为? 2 ? 1 ? 0 的根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?1 有两个实根，均是单根，故方程的通x ? c1et ? c2e?t ,这里 c1 , c2 是任意常数。d 2x ?x?0 dt 2 的通解。例 2 求解方程 解 特征方程 为? 2 ? 1 ? 0 的根为 ?1 ? i, ?2 ? ?i 有两个复根， 均是单根， 故方程的通解x ? c1 sin t ? c2 cos t ,这里 c1 , c2 是任意常数。某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数 1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程d2y dy x ? a1 x ? a2 y ? 0 2 dx dx2(2)这里a1 , a2为常数，它的特点是y的k阶导数（k=0,1,2,规定y(0) =y）的系数是x的k 次方乘以常数.我们想找一个变换，使方程 (2) 的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系 数。根据方程 x 本身的特点，我们选取自变量的变换 x ? ? (t) ，并取 ? (t) ? e ，即t变换x ? et (t ? ln x)(2.1)?t就可以达到上述目的（这里设 x ? 0 ，当 x ? 0 时，取 x ? ?e ，以后为确定起见， 认为 x ? 0 ） 。 事实上，因为 dy dy dt dy ? ? e?t dx dt dx dt2 d 2 y d ?t dy dt dy ?2t d y ? (e ) ?e ( 2 ? ) 2 dx dt dt dx dx dt代入方程(2) ，则原方程变为d2y dy ? (a1 ? 1) ? a2 y ? o (2.2) 2 dt dt方程(2.2)常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换(2.1) ，代回原来的变量，就得到原方程 (2) 的通解。例2 求方程 xd2y dy ? 5x ? 4 y ? 0 2 dx dx 的通解解 此方程为欧拉方程，令d2y dy ? 4 ? 4y ? o 2 dt dt(2.3)x ? et ，则由 (2.2) 知，原方程化为其特征方程为? 2 ? 4? ? 4 ? 0特征根为 ?1 ? ?2 ? ?2 ，故方程 (2.3) 的通解为y ? (c1 ? c2 t)e?2t换回原自变量 x ，则原方程的通解为y ? (c1 ? c2 ln x) x?22.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程d2y dy ?P ? P2 ( x) y ? 0 1 ( x) 2 dx dx(2.4)的系数函数P 1 ( x), P 2 ( x) 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换y ? a( x) z (2.5)化为常系数方程。这里 a( x) 是待定函数。 为此，把 (2.5) 代入方程 (2.4) ，可得到a( x) z'' ? [2a' x ? P1 ( x)a( x)]z ' ? [a'' ( x) ? P1 ( x)a' ( x) ? P2 ( x)a( x)]z ? 0 (2.6)欲使 (2.6) 为常系数线性齐次方程，必须选取 a( x) 使得 z ''、z ' 及 z 的系数均为常 数。特别地，令 z 的系数为零，即'2a' ? P 1 ( x)a ? 0可求得a ( x) ? e ??1 P 1 ( x )d x 2再代入 (2.6) ，整理之，得到1 2 1 ' z '' ? [P2 ( x) ? P P (2.7) 1 ( x) ? 1 ( x )] z ? 0 4 2 (2.4) 可经线性齐次变换 由此可见，方程? p1 ( x )dx y ? e 2? z (2.8) 1化为关于 z 的不含一阶导数项的线性齐次方程 (2.7) ，且当 z 的系数1 2 1 ' I ( x) ? P2 ( x) ? P P 1 ( x) ? 1 ( x) 4 2 (2.7) 为常系数方程。 为常数时，方程因方程 (2.4) 在形如 (2.8) 的变换下，函数 I ( x) 的值不会改变，故称 I ( x) 为方程(2.4) 的不变式。因此，当不变式 I ( x) 为常数时，方程 (2.4) 可经变换 (2.8) 化为常系数线性齐次方程。1 2 '' ' 2 例求方程 x y ? xy ? ( x ? 4 ) y ? 0 P 1 ( x) ?的通解解 这里1 1 , P2 ( x) ? 1 ? 2 x 4 x ，因I ( x) ? 1 ?1 1 1 1 1 ? ( )2 ? (? 2 ) ? 1 2 4x 4 x 2 x故令y?e?1 1 dx 2 x?z?z x就可把原方程化为常系数方程z '' ? z ? 0可求得其通解为z ? c1 cos x ? c2 sin x代回原变量 y ，则得原来方程的通解为y ? c1 cos x sin x ? c2 x x（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降 阶， 即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具 体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。 已知d 2x dx ? p(t) ? q(t) x ? 0 x1 ? 0 2 dt dt 的一个特解 ，试求该方程的通解x ? x1 ? ydt ，则原方程可化为一阶线性微分方程 解 作变换 dy x1 ?? 2 x1' ? p(t) x1 ? ? ? y ? 0, dx 求解，得y ? c11 ? ? p (t)dt e , x12所以原方程的通解为? 1 ? p (t)dt ? x ? x1 ?c2 ? c1 ? 2 e ? dt ? . x ? 1 ?法二 设 x 2 是方程的任一解，则有刘维尔公式得x1 x1'x2 ? p ( t ) dt ? ce ? ' x2c ? 0 ，亦即其中常数? p ( t ) dt x1 x2 ' ? x1' x2 ? ce ? .1 以积分因子 x 2 1 乘上式两端，就可推出d x2 c ? p (t)dt ( )? 2 e ? , dt x1 x1积分上式可得到? 1 ? p (t)dt ? x ? x1 ?c2 ? c1 ? 2 e ? dt ? . x1 ? ?例 求方程 xy '' ? xy ' ? y ? 0 的通解 解 由观察知方程有一特解 y1 ( x) ? x ，令y ? xz' ' '' ' '' 则 y ? z ? xz , y ? 2z ? xz ，代入方程，得x2 z '' ? (2 x ? x2 ) z ' ? 0' 再令 z ? u ，得一阶线性齐次方程x2u ' ? (2 ? x) xu ? 0从而可得u ? c1 ex ex , z ? c 1 ? 2 dx ? c2 x2 x取c1 ? 1, c2 ? 0, 便得原方程的另一解ex y2 ? x ? 2 dx x显然，解y1 , y2 线性无关，故方程的通解为y ? c1 x ? c2 x ? ex dx x2幂级数法d2y dy ? p(x) ? q(x) y ? 0 (1) y(x 0 ) ? y0 及 2 dx 考 虑 二 阶 线 性 微 分 方 程 dx 及初值y ' (x 0 ) ? y'0 的情况可设一般性，可设x0 ? 0，否则，我们引进新变量 t ? x ? x0 ，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于 x ? x0 的就是 t0 ? 0 了.因此总认为 x0 ? 0 .定理 若方程 则方程?(1) 中的系数 p( x) 和 q( x) 都能展成 x 的幂级数，且收敛区间为 x ? R,(1) 有形如y ? ? an x nn ?0x ?R的特解，也以为级数的收敛区间.定理 若方程 则方程?(1) 中的系数 p( x) 和 q( x) 都能展成 x 的幂级数，且收敛区间为 x ? R,(1) 有形如y ? ? an x nn ?0x ?R的特解，也以为级数的收敛区间.定理 若方程(1) 中的系数 p( x) 和 q( x) 具有这样的性质，即 xp ( x ) 和 x 2 q( x) 都能展成 x 的幂级数，且收敛区间为 x ? R ,若 a0 ? 0 ，则方程 (1) 有形如?y ? x? ? an x n (1.1)n ?0的特解，? 是一个待定的常数.级数 (1.1)x ?R也以为级数的收敛区间.例 求方程 y'' ? 2 xy ' ? 4 y ? 0 的满足初值条件 y(0) ? 0 及 y ' (0) ? 1 的解 解 设y ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? an xn ?(1.2)为方程的解.利用初值条件，可以得到a0 ? 0, a1 ? 1,因而y ? x ? a2 x2 ???? ? an xn ? y' ? 1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ???? ? nan xn?1 ? y'' ? 2a2 ? 3 2a3 x ???? ? n(n?1)an xn?2 ?将 y, y , y 的表达式代入原方程，合并 x 的同次幂的项，并令各项系数等于零，得 到a2 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 0, an ? 2 an ?2 , n ?1' ''因而a5 ? 1 1 1 1 , a6 ? 0, a7 ? ? , a8 ? 0, a9 ? , 2! 6 3! 4! 最后得a2 k ?1 ?1 1 1 ? , a2 k ? 0, k (k ? 1)! k !对一切正整数k 成立.将 ai (i ? 0,1, 2, ) 的值代回 (1.2) 就得到、x5 x 2 k ?1 y ? x?x ? ? ? ? 2! k! x4 x2k ? x(1 ? x 2 ? ? ? ? 2! k!3)=xe x ,2这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程 y'' ? xy' ? y ? 0an x n 解 因为 p0 ( x) ? 1, p1 ( x) ? x, p2 ( x) ? 1 ， 所以在 x0 ? 0 的邻域内有形如 y0 ? ? n ?0?的幂级数解.将?y0 , y0' , y0'' 代入原方程，得(2a2 ? a0 ) ? ?[n(n ? 1)an ? (n ? 1)an?2 ]x n?2 ? 0.n ?3比较x 的同次幂的系数，得2a2 ? a0 ? 0,6a3 ? 2a1 ? 0, n(n?1)an ? n(n?1)an?2 ? 0 (n ? 4).解得 a a 1 a2 ? ? 0 , a3 ? ? 1 , a2 n ? (?1) n n a0, 2 3 2 n!(?1) n a1 a2 n ?1 ? . 1 3 ??? (2 n ? 1)所以，原方程的通解为y ? a0 ?? 1 x2 n (?1)n (? ) ? a1 ? x 2 n?1 , n ! 2 1 3 ??? (2 n ? 1) n ?0 n ?0 ?即y ? a0e?x2 2(?1)n ? a1 ? x 2n?1. n ?0 1 3 ??? (2n ? 1)?方程组的消元法 在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未 知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解 例 求解线性微分方程组? dx ? x ? 5 y, ? ? dt ? ? dy ? 2 x ? y. ? ? dx解 从第一个方程可得1 dy y ? ( x ? ), 5 dx(1.2)把它代入第二个方程，就得到关于d 2x ? 9 x ? 0. dt 2x 的二阶方程式不难求出它的一个基本解组为x1 ? cos3t , x2 ? sin 3t ,(1.2) 式，得出 y 的两个相应的解为 x x 把 1 和 2 分别代入1 1 y1 ? (cos 3t ? 3sin 3t ), y2 ? (sin 3t ? 3cos 3t ). 5 5 由此得到原来微分方程组的通解为5cos3t 5sin 3t ? x? ? ? ? ? ? ? ? c1 ? ? ? c2 ? ?, ? y? ? cos3t ? 3sin 3t ? ? sin 3t ? 3cos3t ?c1其中和c2为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法 常用于解决常系数非齐次线性微分方程L ? x? ? d 2x dx ? a1 ? a2 x ? f ? t ? , (2) 2 dt dt这里a1, a2是常数，f ?t ? 为连续函数类型一设f ? t ? ? (b0t m ? b1t m?1 ? 那么方程 ?1? 有形如bm?1t ? bm ) e?t , 其中? 及bi (i ? 0,1,m)为实常数，x ? t k (B0 t m ? B1t m?1 ?Bm?1t ? Bm )e?t的特解， 其中 k 为特征方程 F ? ? ? =0 的根 ? 的重数(单根相当于 特征根时，取 k ? 0 ),而 B0 , B1 ,k ?1； 当 ? 不是可以通过比较系数来确定 . Bm是待定常数，类型二at 设f ? t ? ? ? ? A ? t ? cos ? t ? B ? t ? sin ? t ? ? e 其中? , ? 是常数,而A ? t ? ,B ? t ? 是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过m,那么我们有如下结论： 方程 ? 2 ? 有形如at x ? tk ? ? P ? t ? cos ? t ? Q ? t ? sin ? t ? ?e的特解，其中 k 为特征方程 F ? ? ? =0 的根 的带实系数的次数不高于a ? i ? 的重数，而 P ? t ? , Q ? t ?均为待定m 的 t 的多项式， 可以通过比较系数来确定 .d 2x dx 求方程 2 ? 2 ? 3x ? 3t ? 1 dt dt 的通解解 先求对应的齐次线性微分方程d 2x dx ? 2 ? 3x ? 0 2 dt dt的通解.这里特征方程? 2 ? 2? ? 3 ? 0 有两个根 ?1 ? 3, ?2 ? ?1 .3t ?t c ,c 因此，通解为 x ? c1e ? c2e ，其中 1 2 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的? ? 0 不是特征根，故可取特解形如 一个特解.这里 f ?t ? ? 3t ?1, ? ? 0, 又因为x ? A ? Bt ,其中 A, B 待定常数.为了确定 A,B,将 x ? A ? Bt 代入原方程，得到?2 B ? 3 A ? 3Bt ? 3t ? 1 ，比较系数得?3B ? 3, ?2 B ? 3 A ? 1,1 1 B ? ?1, A ? , x ? ? t, 3 从而 3 因此，原方程的通解为 由此得1 x ? c1e3t ? c2 e ? t ? t ? . 3求方程的d 2x dx ?4 ? 4 x ? cos 2t 2 dt dt 通解.解 特征方程? 2 ? 4? ? 4 ? 0 有重根 ?1 ? ?2 ? ?2 ，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为x ? (c1 ? c2 t) e?2t ,其中c1 , c2为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为 ?2i 不是特征根，我们求形如 x ? A cos 2 t ? Bsin 2t 的特解，将它代入原方程并化简得到8B cos 2t ? 8 A sin 2t ? cos 2t,1 1 A ? 0, B ? , x ? sin 2t , 比较同类项系数得 8 从而 8 因此原方程的通解为 1 x ? (c1 ? c 2 t) e ?2t ? sin 2t. 8 方法二 由方法一知对应的齐次线性的通解为x ? (c1 ? c2 t) e?2t . 为 求 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 ， 我 们 先 求 方 程d 2x dx ? 4 ? 4 x ? e2it 2i 不 是 特 征 根 ， 故 可 设 特 解 为 2 dt dt 的特解.这是属于类型一，而i i 1 1 x ? ? e2it ? ? cos 2 t ? sin 2 t, Re x ? sin 2 t, 8 8 8 8 分出它的实部 于是原方程的通解为1 x ? (c1 ? c 2 t) e ?2t ? sin 2 t 8??注：对于?d 2x dx ? a1 ? a2 x ? f ? t ? (3) 2 ? 2 d x dx ? dt dt ? a1 ? a2 x ? f ? t ? ? g (t), 可分解为 ? 2 , 并且f ? t ? , 2 dt dt ? d x ? a dx ? a x ? g ? t ? (4) 1 2 ? dt ? dt 2 g ? t ? 均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为 x1 , x2 , 则原方程的特解为 x ? x1 ? x2 .d 2 x1 dx ? a1 1 ? a2 x1 ? f ? t ? 2 dt dt d 2 x2 dx ? a1 2 ? a2 x2 ? g (t) 2 dt dt这 是 因 为，，d 2 ( x1 ? x2 ) d ( x1 ? x2 ) d2 x dx ? a ? a x ? ? a1 ? a2 ( x1 ? x2 ) 1 2 2 2 dt dt dt dt d 2 x1 d x1 d 2 x2 dx ? a ? a x ）（ + ? a1 2 ? a2 x2 ） 1 2 1 2 2 dt dt dt dt =f ? t ? ? g (t), =（'' ' t 2t 求 x ? 4 x ? 4 x ? e ? e ? 1 的通解.对应的齐次方程的特征方程为? 2 ? 4? ? 4 ? 0,即得特征根为 ?1 ? ?2 ? 2.(1) 对应方程 x '' ? 4 x ' ? 4 x ? et ，设其特解为 x ? A et , 代入方程则的A ? 1,'' ' t t 即方程 x ? 4 x ? 4 x ? e 的一个特解为 x ? e .(2) 对应方程 x'' ? 4 x' ? 4 x ? e2t ，设其特解为 x ? Bt 2 e 2t , 代入方程则的1 B? , 21 2 2t '' ' 2t 即方程 x ? 4 x ? 4 x ? e 有一个特解为 x ? 2 t e .(3) 对应方程 x'' ? 4 x' ? 4 x ? 1 ，设其特解为 x ? C , 代入方程则的1 C? , 41 '' ' 2t 即方程 x ? 4 x ? 4 x ? e 有一个特解为 x ? 4 .所以原方程的通解为1 1 x ? e 2t (c1 ? c 2 t) ? et ? t 2 e 2t ? , 2 4 c 1 , c2 是任意常数. 这里升阶的方法 升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得 求解更为繁琐， 但适当运用这种方法， 在有些情况下也可以受到事半功倍的效果. 升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】'' ' 例 用升阶法求方程 x ? 2 x ? 3x ? ?3t ? 1 的一个特解解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得x''' ? 2x'' ? 3x' ? ?3,' '' ''' 令 x ? ?1 ，则 x ? x ? 0 代回原方程，得 ?2 ? 3 x ? ?3t ? 1 ，解之，有 x ? t ? 1 ，该表达式几位方程的一个特解.'' ' t 例 用升阶法求方程 x ? 2 x ? 5x ? e sin 2t 的一个特解'' ' (1? 2i) t 解 先求解方程 y ? 2 y ? 5 y ? e ，令 y ? u(t)e(1? 2i) t'' ' ，代入方程，得 u ? 4iu ? 1 ，1 1 1 ' u ? ? it 取 u ? 4i ? ? 4 i 4 ，则 ，进一步取1 1 y ? ? ite (1? 2i) t ? ? ite t (cos 2 t ? isin 2 t) 4 4 1 t 1 t ? te sin 2t ? ite cos 2t , 4 4其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为1 x ? ? tet cos 2t. 4常数变易法 a1 (t), a2 (t), 定理 如果 是区间nan (t), f (t) 是区间 a ? t ? b 上的连续函数，x1 (t), x2 (t),xn (t)a ? t ? b 上齐次线性微分方程n?1?x? ? ? a1 (t) x? x? ? ? a1 (t) x?n?? an (t) x ? 0 ? an (t) x ? f (t)的基本解组，那么，非齐次线性微分方程n?1??的满足初值条件? (t0 ) ? 0,? ' (t0 ) ? 0, ? (n ?1) (t0 ) ? 0, t 0 ?[a, b]的解有下面公式给出n? (t) ? ? xk (t) ? ?k ?1?Wk [ x1 (s), x2 (s), , xn (s)] ? ? f (s) ds, W [ x1 (s), x2 (s), , xn (s)] ? t0 ?tW [ x1 (s), x2 (s),这 里, xn (s)] 是 x1 (s), x2 (s),, xn (s) 的 朗 斯 基 行 列 式 ，T , 0,1)Wk [ x1 (s), x2 (s),, xn (s)] 是在 W [ x1 (s), x2 (s),, xn (s)] 中的第 k 列代以 (0, 0,后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解 u (t) 都具有形式u(t) ? c1 x1 (t) ? c2 x2 (t) ?这里 c1 , c2 , 特别地，当t? cn xn (t) ? ? (t),, cn 是适当选取的常数.n ? 2 时 x'' ? a1 (t) x' ?? an (t) x ? 0 的特解为? (t) ? x1 (t) ? ?t ?W1[ x1 (s), x2 (s)] ? ?W2 [ x1 (s), x2 (s)] ? f (s) ds ? x (t) ? ? ? f (s) ds. 2 ? W [ x (s), x (s)] W [ x (s), x (s)] ? 1 2 ? ? 1 2 ? t0 t0W1[ x1 (s), x2 (s)] ?其中0x2 ( s)1 x2' ( s)? ? x2 ( s),W2 [ x1 (s), x2 (s)] ?x1 ( s) 0 x1' ( s) 1? x1 ( s),当 因此，n ? 2 时，常数变易公式变为? (t) ? ?t0tx2 (t) x1 ( s) ? x1 (t) x2 (s) f (s) ds. W [ x1 ( s), x2 (s)]而通解就是x ? c1 x1 (t) ? c2 x2 (t) ? ? (t).法二 设 x1 (t), x2 (t), 下n, xn (t) 是方程 x? n? ? a1 (t) x?n?1? ?时 ，? an (t) x ? 0 的基本解组，当满足以? cn (t) xn (t)是 方 程条件n?1?x ? c1 (t) x1 (t) ? c2 (t) x2 (t) ?x? ? ? a1 ( x?t? )? anx ? f (的通解 t )(t)? x1 (t) c1' (t) ? x2 (t) c2 ' (t) ? ? xn (t) c n ' (t) ? 0 ? x1' (t) c1' (t) ? x2 ' (t) c 2 ' (t) ? ? xn ' (t) c n ' (t) ? 0 ? ? (n ? 2) (t) c1' (t) ? x2 (n ? 2) (t) c 2 ' (t) ? ? xn (n ? 2) (t) c n ' (t) ? 0 ? x1 ? ? (n ?1) ' (n ?1) ' (n ?1) ' ? ? x1 (t) c1 (t) ? x2 (t) c 2 (t) ? ? xn (t) c n (t) ? f (t)? x1 (t) c1' (t) ? x2 (t) c2 ' (t) ? 0 特别地，当n ? 2 ，满足条件 ? ' ' ' ' ? x1 (t) c1 (t) ? x2 (t) c2 (t) ? f (t)?t ) c 1( t )x 1 ( 2 的 c1 (t),c2 (t) ， 则 x ? c (x ) 二 ( t阶 ) 非齐次线性微分方程 2t 为x'' ? a1 (t) x' ? a2 (t) x ? f (t) 的通解例 试求方程 解x '' ? x ? tan t 的一个解'' 易 知 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 x ?x?0 的 基 本 解 组 为x1 (t) ? cos t, x2 (t) ? sin t. 我们直 接利 用公 式 ? (t) ? ?t0tx2 (t) x1 ( s) ? x1 (t) x2 (s) f (s) ds. W [ x1 ( s), x2 (s)]来求方程的一个的一个解。这时W [x1 (t), x 2 (t)] ?t0 ? 0取cos t sin t ?1 ? sin t cos t? (t) ? ? (sin t? cos s ? cos t ? sin s) tan s ds0t=sin t ? sin s ds ? cos t ? sin s tans ds0 0tt=sin t(1-cos t)+cos t(sin t-ln sec t ? tan t ) =sin t-cos t ln sec t ? tan t注意，因为sin t 是 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 解 ， 所 以 函 数? ? ? cos t ln sec t ? tan t也是原方程的一个解。218 页 13 题 165 页 6 题 参考文献 1 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社 常微分方程第三版 2 丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社 3 都长清 焦宝聪 焦炳照编著 北京师范大学出版社 4 孙清华 李金兰 孙昊 华中科技大学出版社 常微分方程内容、方法与技巧 5.孙肖丽 杨艳平著，山东大学出版社 116-119 页常微分方程的思想与方法 6. 李青、徐崇志、胡汉涛，用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解，塔 里木农垦大学学报，Vol.15,No.1,
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法摘要:二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位,本文提出了 三种解法。一种是课本介绍的常数...[7]是针对二阶的常系数非齐 次线性微分方程的算子特解解法, 但是理论不是很完善, 而微分级数法以及复常系数非齐次 线性微分方程在一般教科书很少出现,针对性不...二阶非齐次线性微分方程的解法研究_理学_高等教育_教育专区。微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外...摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。 关键...式称为刘 我们手上有了这个定理,以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特...摘要:利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程,这种方法被 许多作者研究...[7]宋燕.高阶常系数非齐次线性微分方程的解法[J].高等数学研究,-...一阶线性非齐次微分方程求解方法归类 - 一阶线性非齐次微分方程 一、线性方程 方程 dy ? P ( x ) y ? Q( x ) dx 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知...一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法_数学_自然科学_专业资料。一类常系数...方程 解出第一个高阶方程得, 代入原方程组中第一个方程求得;或解出第二个...常系数非齐次线性微分方程的算子解法摘要: 本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程...二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法[J].桂林电子科技大学学 报,2008,(4...常系数非齐次线性微分方程的几种解法_理学_高等教育_教育专区。常系数非齐次线性...pt (∫ f (t )e pt dt + c) ,我们联想到对于二阶以至高阶常系数非齐 ...n 1 推论 2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式 F (x) dy dx ? F (x) y ? 0 ' (10) 则它的通解为 定理 3 若一阶微分方程具有如下形式 dy dx...
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