二重积分_百度百科
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二重积分是在空间上的，同类似，是某种特定形式的和的。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
二重积分定义
设z=f（x，y）定义在有界D上，将区域D任意分成n个子域
个子域的面积。在
上任取一点
。如果当各个子域的直径中的最大值
趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及
的取法无关，则称此极限为函数
上的二重积分，记为
上可积，其中
称被积函数，
称为被积表达式，
称为面积元素，
称为积分区域，
称为二重积分号。
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
二重积分性质
积分的线性性质
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
(k为常数）
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
二重积分意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
二重积分几何意义
在中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分
，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
二重积分数值意义
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
，其积分区域D是由
所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
二重积分直角坐标系中
当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为
由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。
二重积分X型区域
设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a&b），两条曲线
围成。可以表示
的区域称为X型区域，如图。
特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
如左图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间
为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，这一截面的面积为
，其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到
二重积分Y型区域
称为Y型区域。
特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分
二重积分在极坐标中
有许多二重积分仅仅依靠下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等，或被积函数为
等形式时，采用会更方便。
在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为
，可得到二重积分在极坐标下的表达式：
龚德恩 范培华．经济应用数学基础（1）微积分（第二版）：高等教育出版社，2012
同济大学数学系 编 ．高等数学同济七版： 高等教育出版社 ，2014
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清除历史记录关闭定积分计算中的若干技巧(参考)_百度文库
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有关积分因子的求法
第 １ ５卷 第 ３期　 ２１ ０ ２年 ５ 月 　
高 等 数 学 研 究　 Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０Ｌ Ｅ 　 Ｎ　 ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ 　 　 ＣＳ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ３ １１ ， ．　 Ｍａ ｙ．２０ 　 １２
有 关 积 分 因 子 的 求 法　 岳 宗敏 　 （ 西 科 技 大 学 理 学 院 ，陕 西 西 安 ７ ０ ２ ） 陕 １ ０ １　
摘　 要　 介 绍 积 分 因子 的几 种 主 要 求 解 方 法 ， 观 察 法 、 式 法 和 分 组 法 ， 通 过 实 例 说 明其 应 用 ． 如 公 并 　 关 键 词　 积 分 因子 ；全 微 分 方 程 ；求解 方 法　 中图 分 类 号 ０１ ６ ５ ８ ．　 文 献 标 识 码　 Ａ　 文 章 编 号　 １ ０ ― ３ ９ ２ １ ） ３０ ４ ― ３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ ―０ ９０ 　
利用积 分因子求解 微分方 程 ， 是常微 分方 程初 等　 ２
（ 　）一　 ｚ，
解 法 中一 个重要 的 内容． 方法把 方程 的求解 难度 转　 此 嫁 到积分 因子 的确 定上 ， 也就 是说积 分 因子 的确定 是　 若遇 见 形如　 ｙｄ ― ｘ ―ｘｄ ＝ ０ ｙ ＝ 　
求 解 方 程 的关 键 ． 于积 分 因子 的求 解 研 究 已有不　 关 少　 ， 本文期 望能够将 比较好 的结 果加 以总结 ， 使之　 更 适合 于课堂教学 ， 给学生 以启示 和指导． 　
的微 分 方程 ， 常用 到 的积 分 因子有　 １ 　 １ 　
。一 － ’ Ｚ 　 １ 　
一 　 ’ 　 １ 　
１ 观 察 法　 　 一
一 ’ 　 　 类 似 地加 以推 广 ， 若遇 形如　
般 而 言 ， 积 分 因 子 的难 度 与 求 解非 恰 当方　 求
程 的难 度 几乎 是一 样 的 ， 察 法 能够 很 快 的找 到 积　 观
ｍｙｄ ― ａ ｄ ＝ ０ ｘ ―ｒ ＝ ｙ ＝ 　
分 因子并 加 以求 解 的 题 目相 对 而 言 也 是 比较 简 单　 的． 是要 求 记忆 一些 常见 的微 分 形式 ． 但 以下列 出一　 些 常 见 的微分 形式 ． 　 ｄ（ 　 　）一 ． 一 Ｙ 一 （ ｘ Ｙ ｚ 　 　 　 ｍｙｄ 　 ｘ＋ 船 ｄ ， ｙ） 　 ｘ ｄ （ｎ （ ｍ ＂ ）一 ― ｘ ￣ ｍｙｄ １ ｘｙ） ｎ ｘｄ ―
的微 分方 程 ， 常用 的 积分 因子有　 １　 一 ｌ ｚ　 ｖ　 ― 　 山 　
ｚ　 　ｙ． 　 一 － ／ｓ 一 ― 　 １ ‘ 　 ｖ　
例 １ 对 于 微 分 方 程　 　 ｙ ｘ ― ｘ ｙ＋ ｙｄ 一 ０ 　 ｄ ｄ ｙ ，
求其 通解 ． 　
ｄ 　 ）： ＿ ｙ － ｙｄ （ ： ｄ ＝ｘ ｘ ， 　 ，
解　 仅 对 ｙ ｘ― ｘ ｙ来 说 ， 以 ｓ ，ｓ或　 ｄ ｄ 乘 　 ， 　 　
都 可使 其变 为全 微分 ， 考虑 到还 有一 项 ｙ ｙ只　 但 ｄ
ｄ 三 ）一 Ｔｄ － ｘｄ （ ｙ ｘ ｙ ， 　
与 ｙ有关 ， 故取　 为 积分 因子 ， 而有　 从 ＋　 ｄ ― ｏ， 　 　
ｄ１Ｊ 』一 （ 　 ）　 ｎ 　 Ｉｚ　１ 　 　
通 解 为　 兰 ＋ ｌ　 ｙ Ｉ Ｃ， ｎ ｌ 　＝ 　 　
ｄ　ｘｙ一 ｃｎ ￣１　 丢　 　 ｌ ） 　 ｄ
二、特殊形式的积分因子的求法情况 1 当 ? ( x, y) 具有形式 ? ( x) ...类似地, 我们有 定理 2.6 , (C 为 微分方程( 1.1 )具有形如 ? ( x...2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的...( y) 有关的积分因子 ?M ?N ? ?y ?x ? ? ( y) ?M 充要条件是 ...重的地位,一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量 分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解...积分因子存在的充要条件, 主要讨论 了求解积分因子的几种基本方法,包括观察法、...构造方法,目前的研究在关于 求积分因子的系统性方面还有待进一步探讨,以求更加...?x ? x 有关的积分因子 ? ?x ? ,则 ?1? 存在只与 ?u ? 0 ,这时...总结出几类特定方程积分因子的固 定求法,以便加深对微分方程积分因子的认识和了解...同时, 也对寻找更多积分因子的求法提供了新的方法. 关键词:微分方程;积分因子;通解 1 预备知识和现有结论定义 1[1] 对于不是恰当微分方程 M ( x, y )dx...分组求积分因子法及课后习题_理学_高等教育_教育专区。一、分组求积分因子法 设...2 ( y) ? y ?1 .这样,可知原方程有积分因子 1 x2 y ,且 1 y 2 ...拟采取的研究方法: 借助已有的有关理论和方法 , 对常微分方程的积分因子求法归纳整理并做相应的推 广。 主要参考文献: [1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常...常微分方程积分因子法的求解 、毕业论文题目: 2、毕业论文任务及要求: 、毕业...(4)由于在日常生产生活中,很多有关数学知识的问题都是有条件的,从而深 入探讨...因子的研究,对积分因子有更深层次的了解和认识,对以后 的常微分方程求解有所...关于一阶方程的积分因子法[J]. 茂名学院学报, 2000, (01) [17] 李振东, ...
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