书上不管是对增广矩阵还是系数矩阵变换时都有强调是初等行变换难道是为了追求结果的一致性？

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对称矩陣一般都是要考察用正交变换的,
所以需要特征向量两两正交.

一个大于 一个小于 所以就等于n了

A有n个线性无关的特征向量等价于A可以对角化

把一个矩阵當做系数阵，另一个矩阵相按列分块线性无关的列向量即是系数阵的齐次方程的基础解系，也即是特征值为0时的线性无关特征向量

A(A-E)=0把A看做系数，A-E看做未知数A的秩为r（A),若对应的线性无关解向量的个数是n-r（A）个，则可对角化而已知r(A)+r（E-A）=n，也就是E-A的个数即r（E-A）=n-r（A）个所以r（A）对应的线性無关解向量的个数始终都是n-r（A）个，所以可以对角化

A(A-E)=0，把A看做系数A-E看做未知数，A的秩为r（A),若对应的线性無关解向量的个数是n-r（A）个则可对角化。而该未知数的秩就等于A的对应的线性无关解向量的个数即r(A－E)=。个数，又因为r(A－E)=n－r(A),所以。

7楼答案最严谨其他都有问题

我觉得可以用一个特征向量至少对应一重特征值來证

1求出一个矩阵的全部互异2113的5261特征值a1,a2……

2，对每个特征值求4102特征矩阵a1I-A的秩，判断每个特征值的几何1653重数q=n-r(a1I-A),是否等于它的代数重数p只要有一个不相等，A就不可 以相似对角囮否则， 就可以相似对角化

3当可以相似对角化时，对每个特征值求方程组，（aiI-A）X=0的一个基础解系

判断方阵是否可相似矩阵对角化的步骤条件：　　

(1)充要条件：An可相似矩阵对角化的步骤充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;　　

(2)充要条件的另一种形式：An可相似矩阵对角囮的步骤充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）=k　　

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同那么An一定可以相似对角化;　　

(4)充分条件：如果An是實对称矩阵，那么An一定可以相似对角化　　

【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数而求特征向量の前，必须先求出特征值

掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质　　

(1)不同特征值的特征向量一定正交　　

(2)k重特征值一定满足满足n-r（λE-A）=k　　

【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知实对称矩阵一定可以正交相似对角化。　

会求把对称矩阵正交相姒化的正交矩阵　　

【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化不同特征值對应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不正交)。　

3、实对称矩阵的特殊考点：　　

实对称矩阵一定可以相似对角化利用這个性质可以得到很多结论，比如：　　

(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数　　

这个结论只对实对称矩阵成立不要错误地使用。　　

(2)两个实对称矩阵如果特征值相同，一定相似同样地，对于一般矩阵这个结论也是不成立的。

实对称矩阵在二次型中的应用　　

使鼡正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化