&p&函数一致连续与函数连续有什么区别，到底一致连续的“一致”是什么意思？&/p&&p&一切从什么是连续说起。&/p&&p&&strong&1 连续&/strong&&/p&&p&&strong&1.1 某点连续&/strong&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 点连续用极限表达式可以表示为： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bx%5Cto+c%7Df%28x%29%3Df%28c%29& alt=&\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)& eeimg=&1&& ，我们移一下项，变成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bx%5Cto+c%7D%28f%28x%29-f%28c%29%29%3D0& alt=&\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-f(c))=0& eeimg=&1&& ，容易看出其几何意义：&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-a129d8dbe24af3_b.jpg& data-rawwidth=&546& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&546& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-a129d8dbe24af3_r.jpg&&&/figure&&br&&/p&&p&可以拖动玩玩：&/p&&blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4fe9f3020345eca53ce462b11d5027a6_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4fe9f3020345eca53ce462b11d5027a6_r.jpg&&&/figure&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.matongxue.com/madocs/21.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&1.2 函数连续&/strong&&/p&&p&函数内每个点都连续，则此函数连续。&/p&&p&它的画风是这样的：&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-8d9329fcf1117ada06e9b_b.jpg& data-rawwidth=&669& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&669& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-8d9329fcf1117ada06e9b_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&&strong&2 一致连续&/strong&&/p&&blockquote&&b&设函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 在区间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 上有定义， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Cepsilon+%3E0& alt=&\forall \epsilon &0& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexists+%5Cdelta+%3E0& alt=&\exists \delta &0& eeimg=&1&& ,使得对于区间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 上的任意两点&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Cx_2& alt=&x_1,x_2& eeimg=&1&& ,当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3C%5Cdelta+& alt=&|x_1-x_2|&\delta & eeimg=&1&& 时,有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf%28x_1%29-f%28x_2%29%7C%3C%5Cepsilon+& alt=&|f(x_1)-f(x_2)|&\epsilon & eeimg=&1&& 。那么称函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 在区间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 上一致连续&/b&&p&高等数学同济第七版&/p&&/blockquote&&p&&strong&2.1 几何意义&/strong&&/p&&p&这个复杂一点。我们一步步来构建：&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c017d2ed835_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c017d2ed835_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7f7eee14bf98d1bd0a10a_b.jpg& data-rawwidth=&569& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&569& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7f7eee14bf98d1bd0a10a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-214ff6cbde26fd11aba7bb_b.jpg& data-rawwidth=&575& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&575& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-214ff6cbde26fd11aba7bb_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&好，上面都相对好理解，其实&b&这就是连续&/b&，此处解释了，为什么一致连续一定也是连续的，为什么一致连续里面有“连续”这个词。&/p&&p&好了，下面就是一致连续的关键了，一致连续对比连续实际上多了一个条件：&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-e01e95c643_b.jpg& data-rawwidth=&639& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&639& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-e01e95c643_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&这个是什么意思呢：&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ecd4ca5dceb1da_b.jpg& data-rawwidth=&639& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&639& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ecd4ca5dceb1da_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&我们找一个比较好的展现方式来帮助你想象：&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ba23e04bcced90e8a9d1_b.jpg& data-rawwidth=&631& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&631& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ba23e04bcced90e8a9d1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7850dccdef718_b.jpg& data-rawwidth=&631& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&631& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7850dccdef718_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-85ef553b1a89bcf10dc12ebc7d798cb7_b.jpg& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-85ef553b1a89bcf10dc12ebc7d798cb7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-138bf6cb3de91_b.jpg& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-138bf6cb3de91_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&怎么办？我把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&& 这条船缩小一点，再试试：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4cec5dd85a73db05f20b6cc4a808419d_b.jpg& data-rawwidth=&727& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&727& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4cec5dd85a73db05f20b6cc4a808419d_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&你可以划着这条船自己试试，不合适就调整下船的大小：&/p&&blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0d189a0fed77d7c68ff3bf0fae4acc0a_b.jpg& data-rawwidth=&1019& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1019& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0d189a0fed77d7c68ff3bf0fae4acc0a_r.jpg&&&/figure&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.matongxue.com/madocs/21.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&/a&&/p&&/blockquote&&p&那么一致连续到底是什么呢？就是如果你能够找到一条 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&& 小船（真的会很小），划过整个区间，对应的函数曲线都不会刺破你的矩形，那么就一致连续了。这条小船也就是所谓的&b&“一致”&/b&！&/p&&p&马同学就是这么苦口婆心，我还要继续啰嗦一下，注意 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Cepsilon+%3E0& alt=&\forall \epsilon &0& eeimg=&1&& 。这个意思是对于确定的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon+& alt=&\epsilon & eeimg=&1&& ，我们要找到那艘船，并且对于每一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon+& alt=&\epsilon & eeimg=&1&& 我们都要找到那艘船，不过每艘船是可以不一样的：&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa8b40a9985da36dddfc_b.jpg& data-rawwidth=&727& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&727& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fa8b40a9985da36dddfc_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&&strong&2.2 代数意义&/strong&&/p&&p&几何只能帮助理解，要入微还得靠代数。&/p&&p&首先，我要把一致连续变成极限形式，这样方便和连续进行比较。&/p&&p&一致连续的极限形式是： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bx_1%5Cto+x_2%7D%28f%28x_1%29-f%28x_2%29%29%3D0& alt=&\displaystyle \lim _{x_1\to x_2}(f(x_1)-f(x_2))=0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&和连续来比较一下：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-dd51baef0c_b.jpg& data-rawwidth=&857& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&857& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-dd51baef0c_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&&strong&2.3 为什么会不一致连续&/strong&&/p&&p&就是说为什么某些连续函数会找不到一条合适的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&& 小船，“安全”的（指矩形不会被刺穿）划过整个开区间（在闭区间，一致连续和连续是等价的）呢？比如 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{x}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{x}& eeimg=&1&& ，从代数上来看：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4a97a59cca5dfd36dd2becfc94aa6824_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4a97a59cca5dfd36dd2becfc94aa6824_r.jpg&&&/figure&&p&上面这种形式我不知道你是否好理解，要真正理解可能需要读下我之前写过的两篇文章：&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&无穷小量是否为0&/a& ，以及 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&请用通俗的语言解释下海涅定理&/a& 。看不明白也没有关系，帮助思考嘛。&/p&&p&另外再给一个书上的标准答案：&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-1c3c18da885b3aefdc27c8_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-1c3c18da885b3aefdc27c8_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&两个解答的关键都是，当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x_1%29& alt=&f(x_1)& eeimg=&1&& 与 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x_2%29& alt=&f(x_2)& eeimg=&1&& 皆为变量时。&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 被约掉了。&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{x}& eeimg=&1&& ，从几何上来说（我之前举的例子其实就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{1}{x}& eeimg=&1&& ）：&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851bdf428223cdd4ff6e2_b.jpg& data-rawwidth=&727& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&727& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851bdf428223cdd4ff6e2_r.jpg&&&/figure&&/p&&br&&br&&p&&strong&3 总结&/strong&&/p&&p&我欲乘舟归去，奈何不一致连续，卒。&/p&
函数一致连续与函数连续有什么区别，到底一致连续的“一致”是什么意思？一切从什么是连续说起。1 连续1.1 某点连续c 点连续用极限表达式可以表示为： \displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c) ，我们移一下项，变成\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-f(c))…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f535a6d256fe4ffcac75138b66acc108_b.jpg& data-rawwidth=&3968& data-rawheight=&2229& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3968& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f535a6d256fe4ffcac75138b66acc108_r.jpg&&&/figure&&p&拖了很久的一篇姗姗来迟, 抽象, 有点难度, 写的不好的话请大家多多提出意见. 这一节可以说应该是&站在泛函分析的角度上&回顾函数序列与函数项级数的味道. 本节主要探讨函数序列与函数项级数的&b&一致收敛&/b&的概念与性质, 以及连续与可微函数构成的 Banach 空间.&/p&&p&本节关键词:&/p&&ul&&li&逐点收敛与一致收敛&/li&&li&函数序列&/li&&li&巴拿赫(Banach)空间&/li&&li&Arzela-Ascoli 定理&/li&&/ul&&hr&&h2&&b&逐点收敛与一致收敛&/b&&/h2&&p&在此先给出逐点收敛的概念&/p&&blockquote&&b&[Defn:逐点收敛]&/b&&br&
设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&f_n(n\in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上的一族实值(或复值)函数. 函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%5C%7D& alt=&\{f_n\}& eeimg=&1&& 称&b&逐点收敛&/b&于函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& , 当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+x+%5Cin+K%2C%5Cexists+N%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%2C%5Cforall+n%3EN& alt=&\forall x \in K,\exists N\in \mathbb{N},\forall n&N& eeimg=&1&& , 有&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf_%7Bn%7D-f%28x%29%7C%3C%5Cvarepsilon.& alt=&|f_{n}-f(x)|&\varepsilon.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&一致收敛与逐点收敛看起来有些相似:&/p&&blockquote&&b&[Defn:一致收敛]&/b&&br&
设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&f_n(n\in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上的一族实值(或复值)函数. 函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%5C%7D& alt=&\{f_n\}& eeimg=&1&& 称&b&一致收敛&/b&于函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&, 若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Cvarepsilon%3E0%2C%5Cexists+N%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%2C%5Cforall+n%3EN%2C+x%5Cin+K& alt=&\forall \varepsilon&0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n&N, x\in K& eeimg=&1&& 有&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf_%7Bn%7D-f%28x%29%7C%3C%5Cvarepsilon.& alt=&|f_{n}-f(x)|&\varepsilon.& eeimg=&1&&&br&
用符号 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%5Crightrightarrows+f& alt=&f_n\rightrightarrows f& eeimg=&1&& 表示.&/blockquote&&p&这里要注意到逐点收敛与一致收敛之间很重要的一个不同之处: 一般来说,&b&逐点收敛定义中的&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&&b&不仅与&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&&&b&有关, 还与&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&&b&的取值有关;而一致收敛中的&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&&b&,则只与&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&&&b&有关&/b&,
也就是对所有的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ,均有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf_%7Bn%7D-f%28x%29%7C%3C%5Cvarepsilon.& alt=&|f_{n}-f(x)|&\varepsilon.& eeimg=&1&& 成立.&/p&&p&这里举个例子来进一步感受这两者之间的区别.&/p&&p&&b&例:&/b&
考察定义在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B0%2C1%5D& alt=&[0,1]& eeimg=&1&& 上的一族函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%28x%29%3Dx%5En& alt=&f_n(x)=x^n& eeimg=&1&& 构成的函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf%28n%29%5C%7D_%7Bn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%7D& alt=&\{f(n)\}_{n\in \mathbb{N}}& eeimg=&1&& . 显然该函数逐点收敛于函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3A%3D%5Cbegin%7Bcases%7D+0%2C%5Cquad+0%5Cleqslant+x%3C1+%5C%5C+1%2C%5Cquad+x%3D1.+%5Cend%7Bcases%7D& alt=&f(x):=\begin{cases} 0,\quad 0\leqslant x&1 \\ 1,\quad x=1. \end{cases}& eeimg=&1&&&br&
对于任意给定的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& , 使得定义当中不等式成立的最小的自然数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& , 应当大于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Clog%5Cvarepsilon%7D%7B%5Clog+x%7D& alt=&\frac{\log\varepsilon}{\log x}& eeimg=&1&& .注意到,该函数序列中的函数均在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B0%2C1%5D& alt=&[0,1]& eeimg=&1&& 上连续, 但是极限函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 却是不连续的.&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-577c9d77379ee2daeeb5cf9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-577c9d77379ee2daeeb5cf9_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&函数序列与函数项级数&/b&&/h2&&p&由上面的例子,可以感受到逐点收敛这一概念, 是不足以保证极限函数继承函数序列中函数的连续性的.而对于一致收敛, 我们有以下定理做出了保证:&/p&&blockquote&[Thm]&br&
设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&f_n(n\in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K%5Csubset%5Cmathbb%7BR%7D%28or%7E%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&K\subset\mathbb{R}(or~\mathbb{C})& eeimg=&1&& 上的一族实值(或复值)&b&连续&/b&函数. &b&若函数序列&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%5C%7D& alt=&\{f_n\}& eeimg=&1&&&b&一致收敛于极限函数&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b&,则&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b&也是连续的&/b&. 用极限的表达方式写出来, 就是:&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow+x_0%7Df_n%28x%29%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow+x_0%7D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Df_n%28x%29.& alt=&\lim_{n\rightarrow \infty}\lim_{x\rightarrow x_0}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x).& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&上一节我们提到了范数的定义, 可以验证, 下面定义的映射给出了函数的一个范数:&/p&&blockquote&&b&[Defn:确界范数]&/b&&br&
令函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上的一个函数, 则按以下方式定义&b&确界范数&/b&:&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5ClVert+f%5CrVert_%5Cinfty%3D%5ClVert+f%5CrVert_%7B%5Cinfty%2CK%7D%3A%3D%5Csup_%7Bx%5Cin+K%7D%5C%7B%7Cf%28x%29%7C%5C%7D.& alt=&\lVert f\rVert_\infty=\lVert f\rVert_{\infty,K}:=\sup_{x\in K}\{|f(x)|\}.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&利用这个范数, 容易得到函数序列一致收敛的充分必要条件.&/p&&blockquote&[Thm]&br&
函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%3AK%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%28or%7E%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&f_n:K\rightarrow \mathbb{R}(or~\mathbb{C})& eeimg=&1&& 一致收敛于函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%3AK%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%28or%7E%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&f:K\rightarrow \mathbb{R}(or~\mathbb{C})& eeimg=&1&& , 当且仅当&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5ClVert+f_n-f%5CrVert_%5Cinfty%3D0.& alt=&\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f_n-f\rVert_\infty=0.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&这里指出,赋予了以上范数的线性空间 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%5E0%28K%29%3A%3D%7Bf%5Cin+C%5E0%28K%29%3A%5ClVert+f+%5CrVert_%5Cinfty%3C%5Cinfty%7D& alt=&C^0(K):={f\in C^0(K):\lVert f \rVert_\infty&\infty}& eeimg=&1&& 为一个巴拿赫空间( &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%5E0%28K%2C%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&C^0(K,\mathbb{C})& eeimg=&1&& 也是).&/p&&p&之前,我们在对函数做 Taylor 展开的时候, 出现了以函数为通项的无穷级数的形式. 现在就稍微说说一般函数项级数. 事实上, &b&函数项级数提供了一种构造非初等函数的方法&/b&.&/p&&blockquote&&b&[Defn:函数项级数]&/b&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%28n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&f_n(n\in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K%5Csubset%5Cmathbb%7BR%7D%28or%7E%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&K\subset\mathbb{R}(or~\mathbb{C})& eeimg=&1&& 上的一族函数, 称形式和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df_n%28x%29& alt=&\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)& eeimg=&1&& 为以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&& 为通项的函数项级数. &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_n%28x%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Df_i%28x%29& alt=&S_n(x)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x)& eeimg=&1&& 为其部分和. &b&对函数项级数的考察,可以视为对部分和函数序列&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7BS_%7Bn%7D%5C%7D& alt=&\{S_{n}\}& eeimg=&1&&&b&的考察&/b&. 若序列收敛则称该函数项级数收敛, 若序列一致收敛, 则称该函数项级数一致收敛.&/blockquote&&p&判定一个函数项级数是否收敛,有以下充分条件,可以由柯西收敛准则证明:&/p&&blockquote&&b&[Thm:Weierstrass]&/b&&br&
若函数项级数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5ClVert+f_n%28x%29%5CrVert_%5Cinfty%3C%5Cinfty%2C& alt=&\sum_{n=1}^{\infty}\lVert f_n(x)\rVert_\infty&\infty,& eeimg=&1&& 则函数项级数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df_n%28x%29& alt=&\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上一致收敛.&/blockquote&&p&这里叙述一个定义:&/p&&blockquote&&b&[Defn:一致有界]&/b&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&& 为定义在集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K%5Csubset%5Cmathbb%7BR%7D%28or%7E%5Cmathbb%7BC%7D%29& alt=&K\subset\mathbb{R}(or~\mathbb{C})& eeimg=&1&& 上的一族函数, 称函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%28x%29%5C%7D& alt=&\{f_n(x)\}& eeimg=&1&&&b&一致有界&/b&, 当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexists+M%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\exists M\in \mathbb{R}& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+n%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%2Cx%5Cin+K& alt=&\forall n\in \mathbb{N},x\in K& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5ClVert+f_n%5CrVert_%5Cinfty%5Cleqslant+M.& alt=&\lVert f_n\rVert_\infty\leqslant M.& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&从数项级数的收敛判定法,可以类似的给出函数项级数的Abel与Dirichlet判别法, 一致有界和一致收敛在其中扮演了重要角色.在此就不赘述了.现在主要来看看一致收敛的函数序列(函数项级数)的一些性质, 这也是我们很关心的一个问题.下面我们限制在实数域讨论.&/p&&blockquote&[Thm]&br&
对于两个函数族 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%2Cg_n%3A%5Ba%2Cb%5D%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f_n,g_n:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&& , 假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&& 是连续的,并且 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+n& alt=&\forall n& eeimg=&1&& 都存在$[a,b]=I$的一个可数子集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D_n& alt=&D_n& eeimg=&1&& ,满足 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+x+%5Cin+I%5Cbackslash+D_n& alt=&\forall x \in I\backslash D_n& eeimg=&1&& , 有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n%27%28x%29%3Dg_n%28x%29.& alt=&f_n'(x)=g_n(x).& eeimg=&1&& 再设&br&-i- &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexists+x_0%5Cin+I& alt=&\exists x_0\in I& eeimg=&1&& , 使得序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%28x_0%29%5C%7D& alt=&\{f_n(x_0)\}& eeimg=&1&& 收敛;&br&-ii- 序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bg_n%5C%7D& alt=&\{g_n\}& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 上一致收敛.&br&
那么可以断言, &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&&在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& 上一致收敛到一个连续函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& , 而 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+x+%5Cin+I%5Cbackslash+%5Ccup_%7Bn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%7DD_n& alt=&\forall x \in I\backslash \cup_{n\in \mathbb{N}}D_n& eeimg=&1&& , &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28x%29& alt=&f'(x)& eeimg=&1&& 存在,并且有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28x%29%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Dg_n%28x%29.& alt=&f'(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}g_n(x).& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&这个定理中的一些叙述其实讲述了一些很精妙的问题,学过实变函数的同学大概对这几个名词不会陌生:“测度”,“零测集”,“几乎处处”,“Egorov定理”.在这里先不展开,留待以后再提.&/p&&p&以上定理有一个常用的弱化的版本, 即设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&& 在整个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& 上可微(也就是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D_n& alt=&D_n& eeimg=&1&& 均为空集).这个弱化的版本,容易利用微分中值定理来证明. 放在函数项级数上面,这说的就是&b&求和与求导运算次序的交换性&/b&.&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&Arzela-Ascoli 定理&/b&&/h2&&p&在进入话题前,先介绍一个新的概念.&/p&&blockquote&&b&[Defn:等度连续]&/b&&br&
一个函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D& alt=&\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}& eeimg=&1&& 称为&b&等度连续&/b&, 当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Cvarepsilon%3E0%2C+%5Cexists+%5Cdelta%3E0%2C%5Cforall+n%5Cin+N%2Cx%2Cy%5Cin+K%2C%7Cx-y%7C%3C%5Cdelta& alt=&\forall \varepsilon&0, \exists \delta&0,\forall n\in N,x,y\in K,|x-y|&\delta& eeimg=&1&& , 则有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf_n%28x%29-f_n%28y%29%7C%3C%5Cvarepsilon& alt=&|f_n(x)-f_n(y)|&\varepsilon& eeimg=&1&& .&/blockquote&&p&回顾一致连续的概念, &b&一致连续讲到的是单个函数在全局上连续变化的情况&/b&. 而等度连续, 我们注意到以上定义中的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 是没有关系的, 也就是说, &b&等度连续刻画了一族函数的连续情况&/b&.&/p&&p&有了“等度连续”的概念, 现在我们就能将Bolzano-Weierstrass定理进行推广,其结果就是&b&Arzela-Ascoli定理&/b&. 这是泛函分析中的一个定理，给出了一个从紧度量空间映射到度量空间的函数集合,是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件. 实数域上的Arzela-Ascoli定理是其最简单的形式. 作为一个应用, 在常微分方程解的存在与唯一性的证明中, 这一定理发挥了重要作用.&/p&&blockquote&&b&[Thm][实数域上的Arzela-Ascoli 定理]&/b&&br&
考虑为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上的一个有界闭区间 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%3D%5Ba%2Cb%5D& alt=&I=[a,b]& eeimg=&1&& ,实值函数序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D& alt=&\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}& eeimg=&1&& . 若该序列一致有界且等度连续, 则该函数序列必包含一个一致收敛的子序列.&/blockquote&&p&&b&证明: &/b&简单的说一说这个定理的证明. 主要分成三步.&/p&&p&i) &b&逐点利用一致有界性&/b&. &b&我们考虑在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 上取一个稠密点集, 这样, 任意的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+I& alt=&x\in I& eeimg=&1&& 都可以通过这个点集的元素逼近得到&/b& (比如: 任意一个无理数都可以通过一个有理数序列取极限得到). 不妨取序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx_n%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3DI%5Ccap%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&A=\{x_n\}_{n=1}^{\infty}=I\cap\mathbb{Q}& eeimg=&1&& ( &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 与有理数集的交集). 由一致有界性, 根据 Bolzano-Weierstrass 定理:&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9d0b93aaa76a2468bce510e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&542& data-rawheight=&125& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&542& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9d0b93aaa76a2468bce510e_r.jpg&&&/figure&&p& 这里指出以上取出的这些序列有关系 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bk%2Cn%7D%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csubset%5C%7Bf_%7Bk-1%2Cn%7D%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csubset%5Ccdots%5Csubset%5C%7Bf_%7B2%2Cn%7D%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csubset%5C%7Bf_%7B1%2Cn%7D%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D& alt=&\{f_{k,n}\}_{n=1}^{\infty}\subset\{f_{k-1,n}\}_{n=1}^{\infty}\subset\cdots\subset\{f_{2,n}\}_{n=1}^{\infty}\subset\{f_{1,n}\}_{n=1}^{\infty}& eeimg=&1&&&i&.&/i&&/p&&p&ii)&b& 取对角线构造子序列. &/b&现在取以上这些序列中的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bj%2Cj%7D& alt=&f_{j,j}& eeimg=&1&& , 构成对角线序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bk%2Ck%7D%5C%7D_%7Bk%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%7D& alt=&\{f_{k,k}\}_{k\in \mathbb{N}}& eeimg=&1&& 这一操作被称为&b&Cantor 对角线法&/b&. 于是, 对于任意固定的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&& , 当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3Ej& alt=&i&j& eeimg=&1&& , 都有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bi%2Ci%7D%5Cin%5C%7Bf_%7Bi%2Cn%7D%5C%7D%5Csubset%5C%7Bf_%7Bj%2Cn%7D%5C%7D& alt=&f_{i,i}\in\{f_{i,n}\}\subset\{f_{j,n}\}& eeimg=&1&& , 所以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%5Crightarrow%5Cinfty& alt=&i\rightarrow\infty& eeimg=&1&& 时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bi%2Ci%7D%28x_j%29& alt=&f_{i,i}(x_j)& eeimg=&1&& 收敛.&i&&br&&/i&iii) 证明所取子序列一致收敛. 我们总可以将区间 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 分割成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 份, 也就是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%3D%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7BM%7DI_i& alt=&I=\cup_{i=1}^{M}I_i& eeimg=&1&& , 使得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+x%5Cin+I& alt=&\forall x\in I& eeimg=&1&& , 总会落在某一区间 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I_k& alt=&I_k& eeimg=&1&& 上, 并且有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_k%5Cin+I_k& alt=&x_k\in I_k& eeimg=&1&& , 使 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx-x_k%7C%3C%5Cdelta& alt=&|x-x_k|&\delta& eeimg=&1&& 成立,于是&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5b2d5c34e309d45d005ef5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&705& data-rawheight=&125& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&705& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5b2d5c34e309d45d005ef5_r.jpg&&&/figure&&p&综合以上三个不等式,有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cf%7Bp%2Cp%7D%28x%29-f%7Bq%2Cq%7D%28x%29%7C%5Cleqslant%5C%5C%7Cf%7Bp%2Cp%7D%28x%29-f%7Bp%2Cp%7D%28x_j%29%7C%2B%7Cf%7Bp%2Cp%7D%28x_j%29-f%7Bq%2Cq%7D%28x_j%29%7C%2B%7Cf%7Bq%2Cq%7D%28x_j%29-f%7Bq%2Cq%7D%28x%29%7C%3C%5Cvarepsilon.& alt=&|f{p,p}(x)-f{q,q}(x)|\leqslant\\|f{p,p}(x)-f{p,p}(x_j)|+|f{p,p}(x_j)-f{q,q}(x_j)|+|f{q,q}(x_j)-f{q,q}(x)|&\varepsilon.& eeimg=&1&&&/p&&p&整理一下上面的结论,就是:&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+x%5Cin+I%2C+%5Cforall+%5Cvarepsilon%3E0%2C+%5Cexists+N+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%2C%5Cforall+p%2Cq%3EN%2C%7Cf%7Bp%2Cp%7D%28x%29-f%7Bq%2Cq%7D%28x%29%7C%3C%5Cvarepsilon.& alt=&\forall x\in I, \forall \varepsilon&0, \exists N \in \mathbb{N},\forall p,q&N,|f{p,p}(x)-f{q,q}(x)|&\varepsilon.& eeimg=&1&&&br&
(或者说 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Cvarepsilon%3E0%2C+%5Cexists+N+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%2C%5Cforall+p%2Cq%3EN%2C%5ClVert+f%7Bp%2Cp%7D%28x%29-f%7Bq%2Cq%7D%28x%29%5CrVert_%7B%5Cinfty%2CI%7D%3C%5Cvarepsilon& alt=&\forall \varepsilon&0, \exists N \in \mathbb{N},\forall p,q&N,\lVert f{p,p}(x)-f{q,q}(x)\rVert_{\infty,I}&\varepsilon& eeimg=&1&& .)这说明我们选取的序列 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_%7Bk%2Ck%7D%5C%7D_%7Bk%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%7D& alt=&\{f_{k,k}\}_{k\in \mathbb{N}}& eeimg=&1&& 是一个一致收敛的 Cauchy 序列. 至此证毕.&/p&&hr&&p&这一篇完结, 这周还会努力更新. 在更新完下一篇和, 我们就要进入一个新的阶段了. 准备顺着已经挖下的大大小小的坑来写, 直接切入一些简单的泛函分析, 之后再回头写实分析和复分析的内容. 希望读者给与建议. 谢谢.&/p&&p&下一篇关键词: R-S 积分; 常微分方程&/p&
拖了很久的一篇姗姗来迟, 抽象, 有点难度, 写的不好的话请大家多多提出意见. 这一节可以说应该是"站在泛函分析的角度上"回顾函数序列与函数项级数的味道. 本节主要探讨函数序列与函数项级数的一致收敛的概念与性质, 以及连续与可微函数构成的 Banach 空间.…
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