初等函数有极限 完美作业网 www.wanmeila.com
高数求解。 初等函数求极限值可以直接代入？那什么样的才算初等函数？ 由基本初等函数(幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数)经过有限次的四则运算得到的函数.
基本初等函数的极限 基本初等函数的极限
高等数学，不是说基本初等函数都连续吗，连续必有极限，那y=tanx无界没有极限为什么它连续 它是在实数域内不连续 但是在定义域内连续书上说的也是 初等函数在定义域内都连续 并没有说在整个实轴上连续
大一初等函数极限 刚开始会有些不习惯，因为刚高考完，想想高三一年就一直在学学过的东西，学的都很浅，很熟。所以一上大学，对于陌生的概念就不太顺，而且不是继续题海了，关键要理解就行，看老师讲的例题思路，只要思路对了就行，刚开始学的只需要理解概念，融汇贯通。没那么难的，考试都很简单，只要跟着老师走，自己多看看书，心态要换了，大学学会独立思考
求初等函数极限 lim e^（1/x），当x→∞=e^0=1
初等函数的极限怎么求看下图帮忙做一下
初等函数极限求详细步骤 例7 不明白怎么直接就得到ln a
如何根据初等函数连续性 求极限 函数f(x)在x0处连续,一个是该处有极限,一个是该极限等于该点的函数值.
请问，这是一个初等函数，应该也就是一个连续函数。那么为什么求在x=0的极限时，为什么不能直接带入x 因为f（x）在x=0处没有定义。所以需要定义。幂函数是初等函数。
考研数学中的函数都是初等函数嘛 考研数学（数一、数二）中的函数考试要求：数一大纲高等数学函数、极限、连续考试要求1.理解函数的概念2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.数二大纲：高等数学函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6. 掌握极限的性质及四则运算法则7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.极限连续区间问题_百度知道
极限连续区间问题
我有更好的答案
由y=arcsinU，
--1≤U≤1∴0≤ln（x²-1）≤1x≤-2或者x≥2x²-1≤e²，x²≤e²+1-√（e²+1）≤x≤√（e²+1）取-√（e²+1）≤x≤-2∪2≤x≤√（e²+1）
x&-2或者x&2怎么来的啊
对不起，是-√2或者√2.
e的平方也不对啊
对不起，是-√2或者√2.-√（e²+1）≤x≤-√2∪√2≤x≤√（e²+1）。
x²-1&e
不过还是看懂了
对不起，是-√2或者√2.由0≤ln（x²-1）≤1要使得0≤ln（x²-1），x≤-√2∪x≥√2要使得ln（x²-1）≤1，√（x²-1）≤e，x²≤e²+1，x≥-√（e²+1）或者x≤√（e²+1），-√（e²+1）≤x≤-√2∪√2≤x≤√（e²+1）。
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很简单的题目…………我还是不会…………求证明方法……最好有过程………………题目是问它的连续性……
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下面的极限和上面代入1的值相等
分别求导代入相等不就完了→_→
都代进去，都等于1，连续
对任意x0∈【0，1】有limt
f（x0）=（x0）∧2同理对任意x0∈【1，2】可得f（x）在定义域内连续此乃文字表述题，直接利用函数闭区间的连续性质可得
这种问题下面有人给你答案。
画图取极限
这种题目一般证明一个函数最大值小于另一个的最小值，或者最小值大于最大值，这题目画图就明白了
看到这个好蛋疼啊！
画个JB就OK了我会乱说？图像法完爆楼上。
证明x趋于1－，趋于1＋，相等
上面的最大值就是下面的最小值
先搞清楚函数极限的定义，书上有
到底有没有解，哥没看清，都还老师了！
真忘了，一点不记得！全还给老师了
哈哈，我们老是把很简单事情复杂化。这是干嘛呢
左右极限都等于在这点的极限···
上x平方0到1
解0～1包括0和1下2－x
解1～0不包括1和0再下来忘了，，，
我是数学专业的
但是什么都不会
记得连续的要求是该点曲线平滑...画个图再求x=1处的导数，绝对满分。
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高数部分强化训练(1)函数极限连续
强化训练（1）函数、极限与连续18．解： f ( x ) ? limx(e nx ? 1) x x ，注意 lim e ? ??, lim e ? 0 2 nx x ??? x ??? n?? 1 ? x e x(e nx ? 1) x(e nx ? 1) 1 ? lim ? ； 1 ? x 2e nx nx ??? 1 ? x 2e nx x所以当 x ? 0 时， f ( x ) ? limn??当 x ? 0 时， f ( x ) ? limx(e nx ? 1) x(0 ? 1) ? ? x ， f ( 0) ? 0 ． 2 nx nx ??? 1 ? x e 1? x2 ? 02f ( x ) ? lim 因为 lim ? ?x ?0 x ?01 ? ?? ，所以 x ? 0 为 f ( x ) 无穷间断点． x9．解： f ( x ) ?x ? x 3 x(1 ? x )(1 ? x ) ? ，令 sin ? x ? 0 ，得函数的间断点 x ? 0, ?1, ?2, sin ? x sin ? xlimx ?0x(1 ? x )(1 ? x ) x(1 ? x )(1 ? x ) 1 ? lim ? ， x ? 0 为函数的可去间断点； x ?0 sin ? x ?x ?limx ?1x(1 ? x )(1 ? x ) x(1 ? x )(1 ? x ) x(1 ? x )(1 ? x ) 2 ? lim ? lim ? ， x ? 1 为函数的可去间断点； x ? 1 x ? 1 sin ? x sin(? ? ? x ) (? ? ? x ) ?x(1 ? x )(1 ? x ) x(1 ? x )(1 ? x ) 2 ? lim ? ， x ? ?1 为函数的可去间断点； x ??1 x ??1 ? sin(? ? ? x ) sin ? x ? limlim x (1 ? x )(1 ? x ) ? ? ，所以 x ? ?2, ?3, sin ? x函数的无穷间断点．x ?? k k?210． 解：lim f ( x ) ? limx ?1 x ?1x 4 ? ax ? b 4 x3 ? a ? lim ? 4 ? a ? f (1) ? 2 ， 同时必须满足 1 ? a ? b ? 0 ， x ?1 x ?1 1否则极限就不存在，所以 a ? ?2, b ? 1.11．解： f (sinx x ) ? cos x ? 1 ? 2 ? 2 sin 2 ? f ( x ) ? 2 ? 2 x 2 . 2 2x? x? x x ? ? f ? sin ? ? f ? cos ? ? 2 ? 2 sin2 ? 2 ? 2 cos 2 ? 2. 2? 2? 2 2 ? ?12．解：当 x ? 0 时，f ( x ) ? 1 ? tan x ? 1 ? sin x ?tan x ? sin x1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 1 1 1 ? ( x ? x 3 ? ( x ? x 3 ) ? o( x 3 )) ? x 3 ? o( x 3 ). 2 3 6 41 , k ? 3. 4~1 (tan x ? sin x ) 2所以 c ?3x x lim (cos ? sin ?1)?n x x? x x ? ? ? n?? n n 13．解： lim ? cos ? sin ? ? lim ? 1 ? cos ? sin ? 1? ? e ? ex . n?? n n ? n?? ? n n ? ?nn14．解： lim( n ? 3 n ? n ? n ) ? limn ?? n ??4 n n?3 n ? n? n? 2.1 (? x3 ) 1 ? x3 ? 1 1 2 ? lim ?? . 15．解： lim 2 2 x ? 0 sin x ln(1 ? 2 x ) x?0 x ? 2 x 4 x ? (x ? 1 3 x ? o( x 3 )) 1 3 ?? . 3 x 31? x ? tan x x ? tan x ? 1 ? ? ? lim ? lim ? lim 16． lim cot x ? 2 x ?0 x ?0 x3 ? tan x x ? x ? 0 x tan x x ? 0a lim ? a x ? bx ? x ? a x ? bx ? 2 ? x x?0 17． lim ? ? lim 1 ? ? e ? ? ? x ?0 x ?0 2 ? 2 ? ? ? 1 1x?bx ?2 2x? e ln a ? ln b ? ab.? ( a ? 9) x ? b ?1 x ?1 18． lim (3 x ? ax 2 ? bx ? 1) ? lim ? lim x ??? x ??? 2 b 1 ?3 x ? ax 2 ? bx ? 1 x ??? 3? a ? ? 2 x x ax 2 ? bx ? 1 ? 9 x 2?a ? 9 ? 0 ?a ? 9 ? 所以 ? b . 1?? ? b ? 3 ? ?3? a 2 ?ae ? a ? f (0). 19． f (0 ? 0) ? lim ?x x ?0f (0 ? 0) ? lim ?x ?02 ? 2 cos x ? lim x ? 0? x12 sin xx 2? ?1 ，所以 a ? ?1.11 x ? t ? x?t ? x ? 1 ? x?t ? x ?1 ? lim 1 ? ? e 20 ． 解 ： f ( x ) ? lim ? ， 则 f ( x) 的 连 续 区 间 为 ? ? t?x t?x t ?1 ? ? t ?1 ? ? ?(??,1) (1, ??).421．求下列极限5622．解： limx ?0?2x0( x ? t )sin t 2dt3 2( x ? x )(1 ? 1 ? x )x? limx ?0?x0( x ? t )sin t 2dt 1 ( x 2 )( x 2 ) 2? 2 limx ?0x ? sin t 2dt ? ? t sin t 2dt0 0xxx4? ? limx ?00sin t 2 dt 2 x3?? limsin x 2 1 ? . x ?0 6 x 2 623．解：这是一个已知 1 型未定型的极限，求另外一个1 x2 cos x ?1? f ( x) x0 型未定型极限的问题． 0因为 lim ? cos x ? 所以可知 limx ?0? x ?0 ?f ( x) ? x ? ?? e x?0limx2?e1 f ( x) ? ? lim 3 2 x?0 x?ef ( x) ? 1? 3 ? 1? ? ? ? ? 3 x ? 2? 2?24．解：这是一个求数列极限的问题，是个 1 不定型．lim ? f ( x0 ? x ) ? x ? f ( x0 ? x ) ? f ( x0 ) ? x lim ? ? lim 1 ? ? e x?0 ? ? ? x ?0 x ?0 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? ? ? 1 1 f ( x0 ? x ) ? f ( x0 ) xf ( x0 )?ef '( x0 ) f ( x0 )1 ? ? f '( x0 ) ? f ( x0 ? n ) ? f ( x0 ) . 所以 lim ? ? ?e n ?? f ( x ) 0 ? ? ? ?25．分析：利用单调有界准则证明数列极限的存在．7n证明：可求得 x1 ? 1, x2 ?3 , x ? 1.6 ， 2 3显然 x1 ? x2 ， x2 ? x3 ，假设 xk ? xk ?1 是成立的，以下证 xk ?1 ? xk ? 2 因为? ? ? x x ? 1 1 xk ? 2 ? xk ?1 ? ? 1 ? k ?1 ? ? ? 1 ? k ? ? ? ?0 ? 1 ? xk ?1 ? ? 1 ? xk ? 1 ? xk 1 ? xk ?1所以由数学归纳法可知数列 xn 增加． 又 0 ? xn ? 2 ?? ?1 ? 2 ，也就是数列 ? xn ? 有上界． 1 ? xn?1n ?? n ??根据单调有界准则，可知 lim x n 存在，且 lim xn ? a ? 2 ．在递推式两边， 令 n ??， 得 a ? 1?a 1? 5 1? 5 ， 求得 a ? 或a ? （由极限保号性舍去） ． ?0 1? a 2 226．解：设 xn ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) n1 1 1 2 ( n ? n)? n ，则 ln xn ? (ln( 1? ) ?ln( 1? ) ? n n nn ? ln( 1 ? )) n由定积分的概念，当 f ( x) ? C 0,1 时，? ??10f ( x )dx ? lim1 n ? n?? n k ?1?k? f? ? ? n?对于此题 lim ln xn ? limn??1 1 n k ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? x )dx ? 2 ln? 1. ? 0 x ?? n n k ?1所以 lim xn ? en ??2 ln 2 ?1.3 k27．解：当 x ? 0 时， g ( x ) ? 1 ? ax ? 1 ~ ?a k x ； 3由泰勒公式，知 1 ? x ? 1 ?21 2 3 3 x ? o( x 2 ) ，所以 1 ? x 2 ? 1 ? x 2 ? x 2 ? o( x 2 ) ~ x 2 2 2 2 3 2 x 2f ( x ) ? ln( x 2 ? 1 ? x 2 ) ? ln(1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x 2 ) ~ 1 ? x 2 ? 1 ? x 2 ~89 ? a 3 ? ?? ? ?a ? ? 所以， ? 3 2 ? ? 2. ? ?k ? 2 ? ?k ? 228．解： f ( x ) ? x ? (a ? b cos x )sin x ? x ? a sin x ?b sin 2 x ， 2当 x ? 0 时， sin x ? x ?1 3 x5 4 4 x ? ? o( x 5 ),sin 2 x ? 2 x ? x 3 ? x 5 ? o( x 5 ) 6 120 3 15b 4b ? ? a 2b ? ? a f ( x ) ? x ? a sin x ? sin 2 x ? (1 ? a ? b) x ? ? ? ? x 3 ? ? ? ? x 5 ? o( x 5 ) 2 ?6 3 ? ? 120 15 ?? ?1 ? a ? b ? 0 ? ?a 2 所以当 ? ? b ? 0 时， f ( x ) ? x ? (a ? b cos x )sin x 当 x? 0 时，是关于 x 的 5 阶无穷小． ?6 3 4b ? a ? ?0 ? ?120 15也就是 a ?4 1 ,b ? ? . 3 3x ?029．解： （1）因为 x ? 0 是函数的间断点，所以（1） lim( x ? a )( x ? 1) ? 0 ? a ? 0 ．（2） x ? 1 为函数的可去间断点，所以 lim f ( x ) ? limx ?1 x ?1e2 x ? b e2 x ? b 2 存在，所以 b ? e ． ? lim x( x ? 1) x ?1 ( x ? 1)1 ? 0 ? x ? 1, x ? ?1 ． x30．解： f ( x ) ?1 arctan x21 x? 1 x的间断点为 x ? 0, x ?lim f ( x ) ? limx ?0 x ?02 x 2 x arctan 2 ? lim 2 ? 2 ??； 2 x x ? 1 x ?0 x x ? 1 , lim f ( x) ? ?x ?1lim f ( x) ? ? ?x ?1?2?2；9x ??1lim? f ( x ) ? ??2, lim? f ( x ) ?x ??1?2所以 x ? 0 为函数的无穷间断点（第二类间断点） ， x ? ?1 为函数的跳跃间断点．? ? ln ( 1 ? ax3 ) , x ? 0, ? ? x ? arcsinx 6, x ? 0, 问 a 为何值时， f ( x ) 在 x ? 0 处连续； a 为何值时， 31．设函数 f ( x ) ? ? ? e ax ? x 2 ? ax ? 1 x ? 0, , ? x ? x sin 4 ?x ? 0 是 f ( x ) 的可去间断点？解： f (0 ? 0) ? lim ?x ?0ln(1 ? ax 3 ) ? lim x ? arcsin x x ? 0?ax 3 ax 3 ? lim? ? ?6a 1 3 1 3 x ?0 3 3 x ? ( x ? x ? o( x ) ? x ? o( x ) 6 6f (0 ? 0) ? lim ?x ?0e ? x ? ax ? 1 ? lim x x ? 0? x sin 4ax 2(1 ? ax ?a2 2 x ? o( x 2 ) ? x 2 ? ax ? 1 2 ? 2a 2 ? 4 2 x 42 因为 f (0) ? 6 ，所以当 f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ，即 ?6a ? 2a ? 4 ? 6 时，也就是 a ? ?1 时，f ( x ) 在 x ? 0 处连续；2 而当 f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ，即 ?6a ? 2a ? 4 ? 6 时，也就是 a ? 1 时， x ? 0 是 f ( x ) 的可去间断点． 32．分析：存在性用零点定理证明，唯一性则用反证法证明． 证明：令 g( x ) ? f ( x ) ??x0f (t )dt ，则 g( x) ? C ?0,1? D(0,1) ，又 g(0) ? f (0) ? 0, g(1) ? f (1) ??10f (t )dt ? ? ( f (1) ? f (t ))dt ? 001由零点定理，存在 ? ? (0,1) ，使得 g(? ) ? 0, ? f (? ) ???0f ( t )dt .10以下证明唯一性．假设不成立，则存在 ?1 ? ?2 , 使得f ? ?1 ? ? ? f (t )dt , f ? ? 2 ? ? ?0?1?20f (t )dt也 就 是 g(?1 ) ? g ??2 ? ? 0 ， 由 罗 尔 定 理 ， 则 至 少 存 在 一 点? ? (?1 , ?2 ) ? (0,1) ， 使 得g '(? ) ? 0 ? f '(? ) ? f (? ) ，这与条件 f '( x ) ? f ( x ) 矛盾，因此 ? 是唯一的．11
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第二章极限习题及答案：函数的连续性
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