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高中数学概率统计练习题
&&高中数学概率统计综合练习题
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统计学习题 第六章
概率与概率分布
第六章第一节 概率论概率与概率分布随机现象与随机事件?事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相 等、互斥事件、对立事件、互相独立事件） ?先验概率与古典法?经验概率与频 率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则） ?排列与样本点的计数?运 用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义? 离散型随机变量及其概率分布? 连续型随机变量及其概率 分布?分布函数?数学期望与变异数一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它 假设（ 机会均等 ） 。 2．分布函数 F ( x ) 和 P ( x ) 或 ? ( x ) 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所 不同的是， F ( x ) 累计的是（ 概率 ） 。 3．如果 A 和 B（ 互斥 ） ，总合有 P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。 4． 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 （ 5． 抽样推断中， 判断一个样本估计量是否优良的标准是 （ 无偏性 ） 、 一致性 ） （ 、 （ 有效性 ） 。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ） 。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ） ，与样本容量的平方根成（ 反 比 ） 。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的 1/4，则样本容量应（ 增大到 16 倍 ） 。 9．若事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 A 和 B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ） ；在一副 扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ） 。二、单项选择1．古典概率的特点应为（A） A、基本事件是有限个，并且是等可能的； B、基本事件是无限个，并且是等可能的； C、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；1D、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D） A、基本事件； B、样本； C、全部事件； D、样本空间。 3、以等可能性为基础的概率是（A） A、古典概率； B、经验概率； C、试验概率； D、主观概率。 4、任一随机事件出现的概率为（D） A、在C1 与 1 之间； B、小于 0； C、不小于 1； D、在 0 与 1 之间。 5、若 P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则 P ( A ? B ) ＝（D） A、0.8 B、0.08 C、0.12 D、0.24。 6、若 A 与 B 是任意的两个事件，且 P（AB）＝P（A） ?P（B） ，则可称事件 A 与 B（C） A、等价 B、互不相容 C、相互独立 D、相互对立。 7、若两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的标准差分别为 6 与 8，则（X＋Y）的标准差 为（B） A、7 B、10 C、14 D、无法计算。 8、抽样调查中，无法消除的误差是（C） A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差 9． 对于变异数 D(X)，下面数学表达错误的是（ ） 。 2 2 2 A．D(X)＝E(X )Dμ B．D(X)＝E[(XDμ ) ] 2 2 C．D(X)＝E(X )D[E (X) ] D．D(X)＝σ 10． 如果在事件 A 和事件 B 存在包含关系 A ? B 的同时， 又存在两事件的反向包含关系 A ? B，则称事件 A 与事件 B（ ） A．相等 B．互斥 C．对立 D．互相独立三、多项选择1．数学期望的基本性质有( ACD ) A．E(c)＝c B．E(cX)＝c2E(X) C．E (X ? Y)＝E(X) ? E(Y) D．E(XY)＝E(X)?E(Y) 2、概率密度曲线（AD） A、位于 X 轴的上方 B、位于 X 轴的下方 C、与 X 轴之间的面积为 0 D、与 X 轴之间的面积为 1 E、与 X 轴之间的面积不定。 3、重复抽样的特点是（ACE） A 每次抽选时，总体单位数始终不变；2B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。 4、对于抽样误差，下面正确的说法是（ABE） A 抽样误差是随机变量； B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差； C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差； D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差； E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。 5．关于频率和概率，下面正确的说法是（ ） 。 A．频率的大小在 0 与 1 之间； B．概率的大小在 0 与 1 之间； C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的； D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 6．随机试验必须符合以下几个条件（ ） 。 A．它可以在相同条件下重复进行； B．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C．预先要能断定出现哪个结果； D．试验的所有结果事先已知； E．预先要能知道哪个结果出现的概率。四、名词解释1、 数学期望： 是反映随机变量 X 取值的集中趋势的理论均值（算术平均） 。 2、 对立事件： 若事件 A 和事件 B 是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发 生，则称 A 和 B 是对立事件，或称逆事件。 。 3、 随机事件： 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事 件。 4、 事件和： 事件 A 和事件 B 至少有一个发生所构成的事件 C，称为 A 和 B 的事件 和。 5、 事件积： 事件 A 和事件 B 同时发生所构成的事件 C，称为 A 和 B 的事件积。 6、 互斥事件： 若事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 A 和 B 是互斥事件，或称互不 相容事件。 7、 互相独立事件： 若 A 事件发生的概率等于在 B 事件发生后 A 事件发生的概率，或者 B 事件发生的概率等于在 A 事件发生后 B 事件发生的概率，则称 A 和 B 是互3相独立事件。 8、 先验概率： 古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得 概率，古典法求出的概率被称为先验概率。 9、 经验概率： 将试验次数 n 充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概 率。五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ √ ） 2． 把随机现象的全部结果及其概率， 或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来， 就可以称作概率分布。 （ × ） 3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社 会现象的随机性质。 （ √ ） 4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率 论应用的可能性。 （ √ ） 5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ × ） 6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 （ √ ） 7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 （ × ） 8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。 （ √ ） 9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。 （ √ ） 10． 抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 （ × ） 11． 当样本容量 n 无限增大时， 样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋 于零。 （ × ） 12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。（ √ ）六、计算题1．某系共有学生 100 名，其中来自广东省的有 25 名；来自广西省的有 10 名。问任意 抽取一名学生，来自两广的概率是多少？ 【0.35】 2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大 学文化程度的占 30％，母亲具有大学文化程度的占 20％，而父母双方都具有大学文化程度 的占 10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 【0.40】 3．根据统计结果， 男婴出生的概率为22 43； 女婴出生的概率为21 43。 某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？ 【0.2601】 4． 根据统计，由出生活到 60 岁的概率为 0.8，活到 70 岁的概率为 0.4。问现年 60 岁 的人活到 70 岁的概率是多少？ 【0.5】 5．根据统计结果， 男婴出生的概率为22 43； 女婴出生的概率为21 43。 某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。 【0.8，0.2401】 6． 一家人寿保险公司在投保 50 万元的保单中，每千名每年由 15 个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为 200 年，试求每一保单的保费。 【7700 元】47． 某单位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有 45％，订《扬子 晚报》的有 60％，两种报纸都订的有 30％。试求以下概率： 1）只订《人民日报》的； 2）至少订以上一种报纸的； 3）只订以上一种报纸的； 4）以上两种报纸都不订的。 【0.15，0.95，0.65，0.05】 8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为 0.07，静 止不流动的概率为 0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？ 【0.08】 9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占 0.509；而两种动机兼而有之的占 0.102。问旅游动机为游览 名胜或为异族文化吸引的概率是多少？ 【0.626】 10．根据生命表，年龄为 60 岁的人，可望活到下年的概率为 P＝0.95；设某单位年龄 为 60 岁的人共有 10 人，问： （1）其中有 9 人活到下年的概率为多少？（2）至少有 9 人活 到下年的概率是多少？ 【0.315】 【0.914】 11．假定从 50 个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系 的数据如下表）（1）用不回置抽样得到了一个 4 个社区的样本，试问其中恰好有一个大社 ， 区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的 3 个社区的样 本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？ 【0.178】 【0.046】 属性 高犯罪率 低犯罪率 大 2 16 中 8 4 小 5 1512、已知随机变量 x 的概率分布如下： XP (x)0 0.11 0.222 0.43 0.24 0.12试求：1） E ( X ) 【2】 ；2） E ( X ) 【5.2】 ；3）令 Y＝ ( X ? 1) ，求 E (Y ) 【2.2】 ；4） D ( X ) 【1.10】 ；5） D ( X ) 【4.62】 。 13、A、B、C 为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C 都发生； 2）A、B、C 都不发生； 3）A、B、C 至少有一个发生； 4）A、B、C 最多有一个发生； 5）A、B、C 至少有两个发生； 6）A、B、C 最多有两个发生 【2、3 为对立事件 4、5 为对立事件 1、6 为对立事件】 14、从户籍卡中任抽 1 名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” 求： （1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”【 A B C 】 ；52（2）用文字表达 ABC； 【抽到是受过高等教育的未婚妇女】 （3）什么条件下 ABC＝A。 【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】 12．已知随机变量 x 的概率分布如下： XP (x)0 0.11 0.222 0.43 0.224 0.12试求：1）E ( X ) ；2）E ( X ) ；3）令 Y＝ ( X ? 1) ，求 E (Y ) ；4）D ( X ) ；5）D ( X ) 。 【2】 【5.2】 【2.2】 【1.10】 【4.62】 13．A、B、C 为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C 都发生； 2）A、B、C 都不发生； 3）A、B、C 至少有一个发生； 4）A、B、C 最多有一个发生； 5）A、B、C 至少有两个发生； 6）A、B、C 最多有两个发生 【2 和 3 是对立事件】 和 5 是对立事件】 和 6 是对立事件】 【4 【1 14．从户籍卡中任抽 1 名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” （1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子” ； （2）用文字表达 ABC； （3）什么条件下 ABC＝A。 【 AB C 】【抽到是受过高等教育的未婚女子】 【总体中妇女都是受过高等教育的未婚女子】15．1－1000 号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率： （1）抽中 701 号； 【0.001】 （2）抽中 532 号； 【0.001】 （3）抽中小于 225 号； 【0.224】 （4）抽中大于 600 号； 【0.4】 （5）抽中 1020 号； 【0】 （6）抽中大于或者等于 700 号； 【0.301】 （7）抽中小于 125 号或者大于 725 号； 【0.399】 （8）抽中小于 50 号或者大于 700 号。 【0.349】 16．一个口袋中装有 10 只球，分别编上号码 1，??10，随机地从这个口袋去 3 只球， 试求： （1）最小号码是 5 的概率； （2）最大号码是 5 的概率。 【0.083，0.05】 17．共有 5000 个同龄人参加人寿保险，设死亡率为 0.1％。参加保险的人在年初应交纳 保险费 10 元，死亡时家属可领 2000 元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于 30000 元的概率。 【98.75%】 18、在一批 10 个产品中有 4 个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随 机事件的概率是多少？ （1）抽中一个是次品，一个是合格品； 【0.53】6（2）抽取的两个都是次品； （3）至少有一个次品被选取； （4）抽取两个合格品。【0.13】 【0.67】 【0.33】七、问答题1．什么是概率？ 2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。 3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？ 4．频率分布和概率分布有何区别和联系？八、计算举例[例] 从一副洗得很好的扑克牌中做了 3 次抽取，假定使用回置法，求至少得到 1 张 A 和 1 张 K 的概率是多少? [解] 按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到 1 张 A 和 1 张 K，另 l 张非 A 非 K， 用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)； 抽到 1 张 A 和 2 张 K， 用符号(AKK)表示； 抽到 2 张 A 和 1 张 K， 用符号 （AAK)表示。 因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同， 必须对它们加以区别。 次序为 AKO 的样本点实现的概率是1?1?1113 13 13? 1 ? 次序为 AKK 的样本点实现的概率是 ?? ? 13 ? 13 ?122次序为 AAK 的样本点实现的概率是 ?1 ? 1 ? ? ? ? 13 ? 13再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有 3!／2!＝3 种排列方式 (AAK)含有 3!／2!＝3 种排列方式 （AKO)含有 3!＝6 种排列方式 所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到 1 张 A 和 1 张 K 的概率是76? ?? 1 ? 11 ? ? ? 13 ? 132+ 3? ?? 1 ? ? ? 13 ?3+ 3? ?? 1 ? ? ＝0.033 ? 13 ?3[例] 假如对 1000 个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有 500 个学生喜欢民族歌曲， 400 个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有 100 人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的， 剩下来的学生两歌曲都不喜欢。 如果我们随机地从该总体中抽取一个学生， 并设事件 A 为该 学生喜欢民族歌曲，事件 B 为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：6 ①用数字证明 P(A 且 B)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)。 ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少? ③随机地选取一个由 3 个学生组成的样本， 要求这三个学生全都有相同的欣赏方式， 得 到这种样本的概率是多少? ④做一个一枚硬币独立 [解] 因为 1000 名大学生中有 500 名喜欢民族歌曲， 400 名喜欢流行歌曲， 有 所以 P(A) ＝500 1000＝1 2，P(B)＝400 1000＝2 5；因为 500 名喜欢民族歌曲的学生之中，有 100 名还同时喜欢流行歌曲。所以， P(B／A)＝ ①100 500＝1 5，同理，P(A／B)＝1 2100 400＝1 4。P(A) P(B／A) ＝ P(B) P(A／B)＝2 5?1 41 5＝1 10 1?＝10又因为在 1000 名学生中只有 100 名学生两种风格的音乐都喜欢 P(A 且 B)＝ 所以100 1000＝1 10P (A 且 B)＝P(A) P(B／A) ＝ P(B) P(A／B)②又设事件 A 表示该学生不喜欢民族歌曲，事件 B 表示该学生不喜欢流行歌曲，按题 意，一个学生可能有 4 种欣赏方式： 仅喜欢民族歌曲，即 A B ，共 400 名， P ( A B ) )＝400 1000＝4 10；8仅喜欢流行歌曲，即 A B ，共 300 名， P ( A B ) ＝ 两种歌曲都喜欢，即 AB ，共 100 名， P ( AB ) ＝300 0＝ ＝3 10 1；；两种歌曲都不喜欢，即 A B ，，共 200 名， P ( A B ) ＝10 2001000＝2 10。下表列出抽到 3 名学生都有相同欣赏方式的 4 种可能性可能方式概率3 人都仅喜欢民族歌曲ABABAB64 ? 4 ? ? ? ＝ 1000 ? 10 ? 27 ? 3 ? ? ? ＝ 1000 ? 10 ? 1 ? 1 ? ? ? ＝ 1000 ? 10 ? 8 ? 2 ? ? ? ＝ 1000 ? 10 ?3 3 333 人都仅喜欢流行歌曲ABABAB3 人两种歌曲都喜欢ABABAB3 人两种歌曲都不喜欢ABABAB把上面这些互斥事件的概率加起来，我们便得到抽到 3 人都有相同欣赏方式的概率1 1000(64+27+1+8)＝100 1000＝0．19
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&&& 考研数学《概率统计》同步辅导200题（数学三），适用于考研数学三的考生在进行了第一轮基础复习后进行习题练习时使用。&&& 本课程中王老师结合历年考研真题，根据真题的题型及考点，精心为考生准备了200道习题，并对习题进行了分类讲解，各个击破，帮助考生灵活地掌握各知识点及考点的在习题中的应用，使考生解题时得心应手。&&& 通过本课程的学习，考生对基础知识在习题中的应用有了实践练习，提高了考生解决基础题目的能力，为其进行下一阶段的复习打好了理论与实践基础！
针对参加全国硕士研究生入学考试经济或管理门类《数学三》统考科目的考生复习备考使用；也可供部分理学专业科目三考试科目为《概率论与数理统计》的考生复习备考使用。
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博士，考研数学新一代领军人物，对考研数学试卷的命题规律和特点颇有研究。讲课有自己独特的风格，幽默风趣，新颖生动。尤其对考研数学的应试技巧有一套独到的方法，史称“王氏解法”，善于把生活引入数学的世界，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，往往让考生耳目一新，轻松取得高分。
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【考研数学】《概率统计》同步辅导200题（数学三）无聊做做数学题系列2 - 概率统计与数学期望 - 机灵小笨蛋 - 博客园
题目如下：
有一个六个面均匀的骰子，不停地抛，直到连续两次抛出6就停止。求停止时抛的次数的数学期望。
OK，非常经典的一道题目，而且特别容易进行扩展。
以下给出两种解法：
解法一：分析法（找不到更好的描述了。。。）
首先，如果在第n次失败了，那么第n+1次之后的抛骰子行为是与前n次的具体情况毫无关系的
因此，我们可以定义一个“节”，即上一次失败到这一次失败/成功之间经历的次数。
显然，节与节之间是没有任何关联性的。
而每个节的长度的数学期望为：
1 * 5/6 + 2 * 1/6 * 1/6 + 2 * 1/6 * 5/6 = 7/6
而对于每个节，成功的概率为1/6 * 1/6 = 1/36
因此，连续出两次6的数学期望为(7/6) / (1/36) = 42
这个方法有些抽象，不太好理解
解法二：构造概率模型套数学期望公式计算
这条路特别费劲还不太通用，但是本人第一次做这个题目的时候居然是这么做出来的|||- -只能说我脑回路有点古怪
首先，假设停止时恰好抛了x次，则恰好在第x次停止的概率为p(x)
那么题目求的数学期望就可以表示为：
E(x) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ... + x * p(x) + (x+1) * p(x+1) + ...
另外，由全概率公式可以得到，
p(1) + p(2) + ... + p(x) + ... = 1
接下来看一些比较特殊的情况
显然，只抛一次是不可能出现连续两个6的，所以有
而抛两次就停止的话，必须两次都是6，所以有
p(2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
抛三次才停止的话，必须第一次不是6，而第二、三次都是6，所以有
p(3) = 5/6 * 1/6 * 1/6 = 5/216
我们试着推广到x&3的情况。思路如下：
　　(1) 如果恰好在第x次停止，那么前x-3次必然是恰好都没有停止的；
　　(2) 最后三次需要满足：第x-2次不是6；第x-1次和第x次都是6；
于是得到x&3时有
p(x) = (1 - p(1) - p(2) - ... - p(x-3)) * 5/6 * 1/6 * 1/6
用全概率公式把1 - p(1) - p(2) - ... -p(x-3)代换一下，得到
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
所以，可以得到：
p(4) = (p(2) + p(3) + ...) * 5/216
p(5) = (p(3) + p(4) + ...) * 5/216
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
p(x+1) = (p(x-1) + p(x) + ...) * 5/216
我们把这些式子加起来，得到
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... =&
5/216 * ( p(2) + 2 * p(3) + 3 * p(4) + ... + (x-1) * p(x) + x * p(x+1) + ...) =&
5/216 * ( E(x) -1 )
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... = 1 - p(1) - p(2) - p(3) = 205/216
E(x）- 1 = 41
此解法用到的知识点为:
(1) 全概率公式
(2) 数学期望
(3) 通项公式的推导
=====================
另外附上一道用解法一求解的有关游戏里装备强化的数学题目，这题是某今年网易游戏来学校校招的笔试题，
当时印象中师弟们没有人能做对，后来花了不少时间研究也没能得到结果。题目如下：
一件装备，从1级升到2级的成功率是100%，2级到3级的成功率是80%，3级到4级的成功率是60%，4级到5级的成功率是40%。
如果升级失败，则无论当时装备为几级，都会掉回1级。
请问该装备从1级升到5级所需要的强化次数的数学期望是多少次？
一件装备，从1级开始强化，直到升至5级或者降回1级，可以作为一个“节”
同样，节与节之间是没有相互关联的
那么某个节成功的概率是：100%*80%*60%*40% = 24/125，失败的概率是101/125
而某个节内强化次数的数学期望计算步骤如下：
强化1次（1升2失败），概率为0%，因为1升2根据题设是不会失败的；
强化2次（2升3失败），概率为100%*20% = 1/5
强化3次（3升4失败），概率为100%*80%*40% = 8/25
强化4次（4升5失败或者成功），概率为100%*80%*60%=12/25
即完成这一强化过程（升至5级或者回到1级）需要强化次数的期望是(12/25)*4 + (8/25)*3 + (1/5)*2 + 0*1 = 82/25次
也就是说强化82/25次，就有24/125的几率强化至5级，同时有101/25的几率降回1级
因此，升级至5级的期望次数是（82/25）/（24/125）= 205/12次，大约为17次强一点概率统计测试题_百度文库
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