1402.　(全国1987年，试卷三；全国1988年，试卷一；全国1989年，试卷一、试卷四；全国1990年，试卷一，试卷三；全国1991年，试卷三；全国1992年，试卷一，试卷三；全国1993年，试卷三；全国1994年，试卷一、试卷三、试卷四)求下列微分方程的通解或特解:(1) y″+2y′+y=xex；(2) y″-3y′+2y=2ex且满足y(0)=1，y′(0)=-1；(3) f(x)=sin?x-∫x0(x-t)f(t)dt，f为连续函数；(4) y″+5y′+6y=2e-x；(5) y″+4y′+4y=e-2x；(6) y″+4y′+4y=eax(a为实数)；(7) y″+y=x+cos?x；(8) y″+2y′-3y=e-3x；(9) y″-3y′+2y=xex；(10) y″+αy′+βy=γex且已知其一个特解为y=e2x+(1+x)ex；(11) [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，且f(0)=0，f″(0)=1，f(x)有二阶连续导数；(12) y″+a2y=sin?x(a〉0)；(13) y″+4y′+4y=0，y(0)=2，y′(0)=-4，求∫∞0y(x)dx.
相关工具书解释
解　(1) 对应齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0.特征根为r1＝r2＝1.通解为Y=(C1+C2x)e-x.设原方程的特解为y*＝(ax+b)ex代入原方程并整理得(4ax+4a+4b)ex＝xex.解得原方程通解为(2) 对应齐次方程的通解为　Y=C1ex+C2e2x.设原方程的特解为y*＝Axex,代入原方程得A=-2.故原方程通解是y(x)=C1ex+C2e2x-2xex.由y(0)=1,y′(0)=-1,得解得C1＝1,C2＝0,所以y=(1-2x)ex.(3) f(x)=sin?x-x∫x0f(t)dt+∫x0tf(t)dt,f′(x)=cos?x-∫x0f(t)dt,f″(x...
(本文共1448字)
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求y″+4y′+5y=0的通解．
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∵特征方程为r2+4r+5=0，∴特征根r1，2=-2±i因而得齐次方程的通解为y（x）=e-2x（c1cosx+c2sinx）．
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首先，将特征方程写出来，求出特征根；然后，根据特征根的情况，直接写出其通解就行．
本题考点：
二阶常系数齐次线性微分方程求解．
考点点评：
此题考查二阶常系数齐次线性微分方程，很基础．
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可分离变量方程
y’=e^(2x-y), y(0)=0
&& x^3+y^3=3xy^2y’
&输入微分方程： &y’-2y/(1+x)=(x+1)^(5/2)
&y’-ytan(x)=sec(x), y(0)=0
高阶微分方程
&输入微分方程： &y’’’=e^(2x)-cos(x)
& (1+x^2)y’’=2xy’, y(0)=1, y’(0)=3
高阶线性微分方程
y’’-5y’+6y=xe^(2x)
& y’’+y+sin(2x)=0, y(pi)=1, y’(pi)=1
&输入微分方程： x^3y’’’+x^2y’’-4xy’=3x^2
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历史上的今天
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blogTitle:'用WolframAlpha解微分方程',
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解微分方程示例：
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