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二倍角的正弦、余弦和正切公式学习目标1、以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2、二倍角的理解及其灵活运用.重点：二倍角正弦、余弦和正切公式；难点：二倍角正弦、余弦和正切公式的灵活运用.预习案（预习教材P132—P134）复习引入：请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：sin(???)?
cos(???)?tan(???)?探索新知问题：由两角和的正弦、余弦和正切公式能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？ 探究1：推导sin2?,cos2?sin2?= cos2?= 思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？； cos2?= cos2?= 探究2：推导tan2?；（注意：2???2?k?,???2?k?
?k?z?）tan2?= 1制作人：岳书霞
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使用日期：课中案例1、已知sin2??513,?4????2,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 变式：已知tan2??13,求tan?的值． 例２、求下列各式的值（1）sin15?cos15?（2）cos2?2?8?sin8 2制作人：岳书霞
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使用日期： 例3、在△ABC中，cosA?45，tanB?2,求tan(2A?2B)的值。 当堂检测1、已知cos?8??45，(8????12?)，求sin?4,cos?4,tan?4的值。 2、已知sin(???)?35,求cos2?的值。 3制作人：岳书霞
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使用日期：3、sin2???sin?，??（?2，?），求tan?的值. 4、已知sin??513,??(?2,?)，求sin2?，cos2?，tan2?的值。 5、已知tan??17,tan??13,求tan(??2?)的值 、求值(1)2tan22.5061?tan222.50（2）8sin???48cos48cos24cos?12 课堂总结：熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 4百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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§二倍角的正弦余弦正切
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科目 数学 课题 §4.7二倍角的正弦、余弦、正切
析 重点 二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式C2α两种变形
难点 公式的综合应用
关键点 讲清倍角公式与和角公式的关系，以及公式C2α的三种等价形式
标 知识目标 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导；
式的应用（三个层次）：（1）利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式进行求值、化简与恒等式证明；（2）解决本章引言和章头图中提出的问题；（3）通过例题介绍正弦、余弦、正切的半角公式以及一部分积化和差、和差化积公式，通过练习介绍另一部分积化和差、和差化积公式
能力目标 使学生掌握二倍角公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明；
通过倍角公式的推导，了解它们之间，以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力
情感目标 使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化地观点来分析问题，提高学生化归能力
课时安排 3课时 教法 启发式教学 教学设备
计 具体见下
教与学过程设计
第一课时 二倍角的正弦、余弦、正切（一）
（一）复习引入
复习两角和的正弦、余弦、正切公式（黑板写下），引导学生得出两角差的正弦、余弦、正切公式。这一过程充分体现了化归的数学思想：将未知化归为已知。利用这种数学思想，请同学们推导cos2α，sin2α，tan2α，引导学生只需将两角和公式中的α用β代就行了。
（二）新课
1．倍角公式的推导
请同学们将自己推导的结果填在课本P42的框中；利用sin2α+cos2α=1，我们还可以把公式C2α变形为：
cos2α=2cos2α-1或cos2α=1-2sin2α
倍角公式的用处就在于用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。这三组公式中对于角α有无限制？
对于公式T2α要注意，tan2α要有意义，也就是2α≠，即α≠；tanα有意义，则α≠；1-tan2α≠0，即tanα≠±1，也就是α≠，可归结为α≠。综合起来就是α≠且α≠，但当α≠时，tanα虽然不存在，但tan2α是存在的。这是该如何求tan2α的值？（利用诱导公式）
2．倍角公式的简单运用
已知，求的值。
处理：（1）师生共解；
（2）将条件去掉，让学生再求。
化简或求值：
（1），，，；
（2），，，
处理：师生讨论，教师板演。
目的：熟悉二倍角公式的变形运用（逆用）。
学生练习1：P44练习1，2，3，4
3．倍角公式与诱导公式、两角和差公式综合运用
说明：1、倍角公式不仅可运用于将2α作为α的两倍的情况，还可运用于4θ作为2θ的2倍，θ作为θ/2的两倍，3θ作为3θ/2的两倍等；
2、先证明，再证上式；
3、简略将书上的证法带过；
4、强调分析法在恒等式证明过程中的探索作用。
利用三角公式化简
说明：1、化切为弦是解三角题的一种重要思想，必须牢固掌握；
2、公式逆用也要熟练掌握。
学生练习2：P44练习5
（三）小结
这节课我们运用化归的思想，由两角和的正弦、余弦、正切公式得到了正弦、余弦、正切的二倍角公式，从本质来将二倍角公式是两角和公式的特例，即β=α时的两角和公式；在三组二倍角公式中，特别要注意余弦二倍角公式的两种变形以及正切二倍角公式的存在条件；最后在运用这些公式的过程中要注意正用、逆用和变用，以及与其他公式的综合运用、灵活运用，还是那句话，要想做到灵活运用公式必须做大量的题目，直至找到解题的感觉。
（四）作业
P44练习全部做在书上，P47习题4.7第1，2，3的单数题
每课一练《二倍角的正弦、余弦、正切（一）》
第二课时 二倍角的正弦、余弦、正切（二）
（一）新课
1．引言问题
有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
说明：1、学生看书后，简单介绍利用二次函数求极值的方法；
2、着重介绍三角法，并指出此法比上述方法的优越性；
3、结论的延伸：“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形面积为最大”，这也是正方形的一个重要性质。
2．有关公式的证明
求证：（1）；（2）；（3）
说明：1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。
2、根据上述公式，求sin150,cos150；并说明如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；
3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。
说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号）
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两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1. 已知 tan 2α=,则 tan 2α的值为 .
【 答案 】 43
- 【 分析 】 222tan 224tan 21tan 123ααα?=
==---. 2.已知 P (-3, 4)为角 α终边上的一点,则 cos (π+α) .
【 考点 】任意角的三角函数的定义.
【 答案 】 35
【 分析 】∵ P (-3, 4) 为角 α终边上的一点, ∴ x =-3, y =4, r =|OP |=5,
∴ cos (π+α) =-cos α=x r -=35--=35,故答案为 35
3.已知 cos(α-β)=35, sin β=513-且 α∈(0, π2) , β∈(π2-, 0) ,则 sin α 【 考点 】两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系.
【 答案 】 3365
【 分析 】∵ α∈(0,
π2) , β∈(π2
-, 0) ,∴ α-β∈(0, π) ,
又 cos (α-β) =35, sin β=513
-,∴ sin (α-β)
, 则 sin α=sin[(α-β) +β]= sin(α-β) cos β+cos(α-β) sin β =×(513-) =3365.故答案为 3365
. 4. 若 0≤ x ≤ π2,则函数 y =cos(x -π2) sin (x +π6)的最大值是
【 考点 】两角和与差的正余弦公式的应用.
【 分析 】 y =sinx (sin
x 2?+12cos x )
+12sin x cos x
x -+14sin2x =12sin (2x -π3)
∵ 0≤ x ≤
π2,∴ -π3≤ 2x -π3≤ 2π3,∴ max y
. 5. 已知过点(0, 1)的直线 l :x tan α-y -3tan β=0的一个法向量为(2,-1) ,则 tan (α+β) =________.
【 考点 】平面的法向量.
【 答案 】 1
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【纯属娱乐】余弦二倍角公式的另类证明收藏
刚才洗澡的时候感到浑身一爽，突然想起这么一个事实：有一个直角三角形ABC,角C为直角，那么它的直角边AC在斜边方向上的投影正好等于AB*(cos角A)^2，而(cos角A)^2恰好能用cos(2角A)来表示。于是想到一种证明余弦二倍角公式的方法。但是令人感到失望的是：由于这种灵机一动实在是太耍小聪明了，这么多年中肯定早就有人想到过。
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刚才洗澡的时候感到浑身一爽你在干嘛- -
这沉的也太快了
回复：5楼别歪楼
看来除了歪楼也没别的能做了。这就是数学吧。我走就是了。
发上相对论吧微型科普~就是精品了~Orz…
3楼内涵[防水]各种三角公式均可用几何法证明
娱乐一下，呵呵
围观前面所有人。 [我没歪楼，别说我歪楼] 再补上非锐角的话可以更好
兄弟在给你指条路，用复数能证明n倍角公式
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教你【一】天玩转正弦、余弦、正切的二倍角转换收藏
二倍角公式一直是我的一个老大难的问题，基本上每次做这个类型的题，我要么就是公式记错了，要么就是现场推导半天，浪费自己十几乃至数十分钟的时间，最郁闷的是，经常想半天都想不出什么头绪（也就是做不来）。于是，我在一天的时间内将这些什么正弦啊，余弦啊，正切啊，彻彻底底地学了一遍。以便自己能够轻易地解决各种一、二倍角互化的问题。以下是我的方法：
首先，我这篇方法是特别为中等成绩，并且和我一样对二倍角的快速转化感到吃力的同学准备的。如果你的二倍角学得很好了，就没有必要看这篇文章了，如果你没有我在接下来的叙述中要求的一些基本能力的话，建议先把这些基本能力提升了，再来看本文。
好了，书归正传，我先来谈一些基本的能力要求：1.能熟练运用1=Sin^2&α+Cos^2&α（正弦平方加余弦平方）、Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ等基础公式
（注意是要“熟练运用”）。2.肯认真算，那种看一两眼就说：“哦，我会了”的，很多其实只看懂了一点表面。3.勤于思考，能有意识或下意识地总结方法。（这一点前半截必须具备，后半截可以从现在开始培养）
好了，下面讲具体的方法：第一步，明确一个概念，万变不离其宗，一切二倍角公式都是由最简单，最基本的几个公式演化出来的。因此，只要你会基本公式，这些难的公式就终将被你轻易搞定。第二，找出必记的所有二倍角公式，我干脆列出来（不过手机打字实在太痛苦了！）：Cos2α=Cos^2&α-Sin^2α=1-2Sin^2α=2Cos^2&α-1&&&&1+Cosα=2Cos^2&α/2&&&1-Cosα=2Sin^2&α/2&&&1+Sinα=(Sinα/2+Cos&α/2)^2&&&1-Sinα=(Sin&α/2-Cos&α/2)^2&&&&&tan&α/2=Sinα/(1+Cosα)=(1-Cosα)/Sinα&第三，开始推导。比如，给你Cos2α，让你推导出Sin^2&α和Cos^2&α&争取每个公式推导一百遍（不是对着自己第一次推导出来的东西抄，是全新的推导，尽量多练，一百次是理想状态，实际上最好不要少于二十遍）第四，做题（贵在精不在多，最好就是练习册上相应的例题）第五，总结方法。学习不要太死，要多想，找规律。
这是我总结的大致的规律，建议自己先推导公式和做题，再来印证：1.基本上都是一倍角变两倍角或两倍角变一倍角，倍数降下来，次方数就要升上去，倍数升上去，则次数降下来（俗称升次降半）
还有个老师教的万能公式（其实只用于弦与切的互化）：Sin^2&α+Cos^2&α＝(Sin^2&α+Cos^2&α)/1＝(Sin^2&α+Cos^2&α)/(Sin^2&α+Cos^2&α)，分子分母同除余弦的平方，将得到正切的表达式。再讲一点我自己在推导过程中的一点体会，二倍角推一倍角还好算，倒过来就能不好推了。后来我突然看明白了：不过就是两倍的余弦和1来相加相减，两倍角余弦加1（1要看成正弦平方加余弦平方）会得到一倍角余弦，两倍角余弦减1得到一倍角正弦。
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
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辛苦了，同志！人民会记住你的！
兰州的方法我看不单中等成绩，连我这差生看了也有点茅塞顿开！
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哥们儿，你救了很多人吖。。
救我于水火之中
楼主很厉害啊
老帖了 = =
(#真棒)(#大拇指)(#大拇指)(#大拇指)(#大拇指)(#大拇指)(#大拇指)
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