巧算（*表示乘号）1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+10*11*12 巧算3-6+9-12+…【数学吧】_百度贴吧
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1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12 =(1*2*3*4-0*1*2*3)/4+(2*3*4*5-1*2*3*4)/4+...+(10*11*12*13-9*10*11*12)/4=10*11*12*13/4=4290(3-6)+(9-12)+....+()+()
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sigma n*(n+1)*(n*2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
登录百度帐号四年级剑桥奥数暑假班速算与巧算速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一 种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与 同补速算法。 例 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这 10 名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现， 这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这 10 个数与 80 的 差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3-11）＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为 9，再加上 80×10，就可口算出结果为 809。 例 1 所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基 准”的数（如例 1 的 80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例 1 得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加 数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为 450，则 累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50， 平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为 455 千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如 7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方， 大多数同学只是背熟了 10～20 的平方，而 21～99 的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方 呢？这里向同学们介绍一种方法――凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补 少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例 3 求 292 和 822 的值。解：292=29×29＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。 822＝82×82＝（82－2）×（82＋2）＋22＝80×84＋4＝24。 由上例看出，因为 29 比 30 少 1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80 多 2，所以从 82 中“移走”2，这 叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给1一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1；给一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加上“移多补少”的数的 平方。 由凑整补零法计算 352，得 35×35＝40×30＋52=1225。这与三年级学的个位数是 5 的数的平方的速算方法结 果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例 4 求 9932 和 20042 的值。 解：3＝（993＋7）×（993-7）+72＝＋49＝＝986049。 ×2004＝（2004-4）×（2004+4）＋42＝＋16＝＝4016016。 下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：66×46，73×88，19×44。 这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与 个位数之和为 10。这类算式有非常简便的速算方法。 例 5 88×64＝？ 分析与解：由乘法分配律和结合律，得到 88×64 ＝（80＋8）×（60＋4） ＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4 ＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4 ＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4 ＝80×（60＋6＋4）＋8×4 ＝80×（60＋10）＋8×4 ＝8×（6＋1）×100+8×4。 于是，我们得到下面的速算式： 由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为 8×4；积中从百位 起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为 10 的因数”的 十位数加 1 的乘积，本例为 8×（6＋1）。 例 6 77×91＝？ 解：由例 3 的解法得到 由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个 0，本例为 7×1＝07。用这种速算法只 需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习 1 1.求下面 10 个数的总和： 165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。 2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）： 26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。 3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为： 68，91，84，75，78，81，83，72，79。 他们共加工了多少个零件？ 4.计算： 13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。-2-四年级剑桥奥数暑假班速算与巧算5.计算下列各题： （1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。 6.计算下列各题： （1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。 练习 1 答案 1.1596。 2.26 厘米。 3.711 个。 4.147。 5.（1）1369； （2）2809； （3）8281； （4）4624； （5）11664； （6）157609。 6.（1）2156； （2）3630； （3）627； （4）3608； （5）1221； （6）4554。 速算与巧算（二） 上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。 两个数之和等于 10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像 72×78，26×86 等被乘数与乘数的 十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数 字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子 我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算 法。 例 1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？ 分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 76×74 ＝（7＋6）×（70+4） ＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4 ＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 ＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式： （2）与（1）类似可得到下面的速算式： 由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时 前面补 0，如 1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加 1 的乘积。“同补”速算法 简单地说就是： 积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。 我们在三年级时学到的 15×15，25×25，?，95×95 的速算，实际上就是“同补”速算法。 例 2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？3分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 78×38 ＝（70＋8）×（30＋8） ＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式： （2）与（1）类似可得到下面的速算式： 由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时 前面补 0，如 3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同” 速算法简单地说就是： 积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。 例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会 发生什么变化呢？ 我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是 10，100，1000，?时，这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。 在一个乘法算式中， 当被乘数与乘数前面的几位数相同， 后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即 “头 相同，尾互补”型。例如 所以是“同补”型。又如 等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。 例如， 等都是“补同”型。 在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1 的方法仍然适用。 例 3 （1）702×708=？ （2）＝？ 解： （1） ， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是 70，后两位数互补，77＋23＝100， ，（2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。 注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补” 与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例 2 的方法仍然适用（见例 4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那 么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。 例 4 ＝？ 解：-4-四年级剑桥奥数暑假班速算与巧算练习 2 计算下列各题： 1. 68×62； 2. 93×97； 3. 27×87； 4. 79×39；5. 42×62；6.603×607；7.693×607；8.。速算与巧算（二）【经典例题一】325÷25 【思路导航】在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） = =13 【练一练 1】 （1）450÷25 （2）525÷25 （3）（4）1（5）4（6）【经典例题二】计算 25×125×4×8 【思路导航】如果先把 25 与 4 相乘，可以得到 100，同时把 125 与 8 相乘，可以得到 1000；再把 100 和 1000 相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100× 【练一练 2】 （1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16（4）75×16（5）125×25×32（6）25×5×64×125【经典例题三】计算： （1）125×34+125×66 （2）43×11+43×36+43×52+43 【思路导航】利用乘法分配律来计算这两题 （1）125×34+125×66 （2）43×11+43×36+43×52+43 =125×（34+66） =43×（11+36+52+1） =125×100 =43×100 =15【练一练 3】计算下面各题： （1）125×64+125×36 （3）21×73+26×21+21（2）64×45+64×71-64×16【经典例题四】计算（1） （360+108）÷36 （2）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2 【思路导航】两个数的和、差除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（差） 。 利用这一性质，可以使计算简便。 （1） （360+108）÷36 （2）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2 =360÷36+108÷36 =（1+3+5+7）÷2 =10+3 =16÷2 =13 =8 【练一练 4】 （1） （720+96）÷24 （2） （4500-90）÷45 （3）6342÷21 （4）8811÷89 （5）73÷36+105÷36+146÷36 （6） （-100-10）÷10 【经典例题五】158×61÷79×3 【思路导航】在乘除混合运算中，如果算式中没有括号，计算式可以根据运算定律和性质调换乘数或者除 数的位置，只要计算：数字跟着前面的符号一起移动。 158×61÷79×3 =158÷79×61×3 =2×61×3 =366 【练一练 5】计算下面各题： （1）238×36÷119×5 （2）138×27÷69×50 （3）624×48÷312÷8 （4）406×312÷104÷203【经典例题六】计算下面各题： （1）103×96÷16 （2）200÷（25÷4） 【思路导航】 这两道题都是乘除法混合运算， 我们可以根据这两道题的特点， 采用加括号和去括号的方法， 使计算简便。可以概括为：括号前是乘号，加、去括号不改号，括号前是除号，田、去括号要改号。 （1）103×96÷16 （2）200÷（25÷4） =103×（96÷16） =200÷25×4 =103×6 =8×4 =618 =3 【练一练 6】计算下面各题： （1）612×366÷183 （2）1000÷（125÷4） （3） （13×8×5×6）÷（4×5×6）【经典例题七】计算： （1）68×62 （2）85×85 【思路导航】这两题的形式叫做“头同尾合十”它们的计算方法是：先用两个因数的个位数相乘，并把积 直接写在末尾，如果积不满 10，十位上要补写 0，然后再将两个因数的十位数乘它本身加 1 的和，积写在 两个个位数积的前面。 （1）68×62 第一步 8×2=16，第二步 6×（6+1）=42，合起来是 4216 （2）85×85 第一步 5×5=25，第二步是 8×（8+1）=72，合起来是 7225 【练一练 7】 （1）23×27 （2）46×44 （3）55×55 （4）91×99-6-四年级剑桥奥数暑假班速算与巧算【经典例题八】计算：26×11 【思路导航】一个两位数乘 11 的方法是：用两位数的头作积的头，用两位数的尾作积的尾，用这个两位 数的两个数字之和作积的中间数（如果相加满十，则把和的十位数“1”加到头上。26×11 第一步 2 作积的头，第二步 6 作积的尾，第三步 2+6=8 作中间，合起来是 286。 【练一练 8】计算（1）53×11 （2）39×11 （3）65×11 （4）98×11【经典例题九】计算：358×11 【思路导航】三位数乘 11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的 数加厚两位数字组成的数的和作积的中间数。 358×11，第一步用 3 作积的头，第二步用 8 作积的尾，在用 35+58=93，合起来是 3938。 【练一练 9】计算（1）353×11 （2）654×11 （3）896×11【练一练 1】 （1）450÷25（2）525÷25（3）（4）1（5）4（6）【练一练 2】 （1）125×15×8×4（2）25×24（3）125×16（4）75×16（5）125×25×32（6）25×5×64×125【练一练 3】计算下面各题： （1）125×64+125×36（2）64×45+64×71-64×16 （3）21×73+26×21+21【练一练 4】 （720+96）÷24 （1）（2） （4500-90）÷45（3）6342÷21（4）8811÷89（5）73÷36+105÷36+146÷367（6） （-100-10）÷10【练一练 5】计算下面各题： （1）238×36÷119×5（2）138×27÷69×50（3）624×48÷312÷8（4）406×312÷104÷203【练一练 6】计算下面各题： （1）612×366÷183（2）1000÷（125÷4）（3） （13×8×5×6）÷（4×5×6）（4）241×345÷678÷345×（678÷241）【练一练 7】 （1）23×27（2）46×44（3）55×55（4）91×99【练一练 8】计算（1）53×11（2）39×11（3）65×11（4）98×11【练一练 9】计算（1）353×11（2）654×11（3）896×11-8-
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分类：数学
1,3/5 从后面开始算,3/14(1+3/11）=3/11然后往前推.2,3/13 3/4+(3/4-3/7)*1/3+(3/7-3/10)*1/3+(3/10-3/13)*1/3=3/4+(3/4-3/7+3/7-3/10+3/10-3/13)/1/3=(1/4+3/4-3/13)/(1/3)3,5/11 1/3+(1/3-1/5)*1/2+(1/5-1/7)*1/2+...
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