工业制硝酸的主要反应为:4NH3(g)+5O2+6H2O(g)△H已知:氢气的燃烧热为285.8kJ/mol．N2(g)+3H2(g)=2NH3(g)△H=-92.4kJ/mol,H2O(1)=H2O(g)△H=+44.0kJ/mol,N2(g)+O2△H=+180.6kJ/mol．则上述工业制硝酸的主要反应的△H=-904.8kJ/mol． 题目和参考答案——精英家教网——
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18．工业制硝酸的主要反应为：4NH3（g）+5O2（g）=4NO（g）+6H2O（g）△H已知：氢气的燃烧热为285.8kJ/mol．N2（g）+3H2（g）=2NH3（g）△H=-92.4kJ/mol；H2O（1）=H2O（g）△H=+44.0kJ/mol；N2（g）+O2（g）=2NO（g）△H=+180.6kJ/mol．则上述工业制硝酸的主要反应的△H=-904.8kJ/mol．
分析 已知氢气的燃烧热为285.8 kJ/mol，则①2H2（g）+O2（g）=2H2O（l）△H=-285.8×2 kJ/mol=-571.6kJ/mol，又知②H2O（1）=H2O（g）△H=+44.0 kJ/mol，③N2（g）+3H2（g）=2NH3（g）△H=-92.4 kJ/mol；④N2（g）+O2（g）=2NO（g）△H=+180.6 kJ/mol，利用盖斯定律，将①×3+②×6-③×2+④×2可得4NH3（g）+5O2（g）?4NO（g）+6 H2O（g），进而可计算反应热，以此解答．解答 解：已知氢气的燃烧热为285.8 kJ/mol，则①2H2（g）+O2（g）=2H2O（l）△H=-285.8×2 kJ/mol=-571.6kJ/mol，又知②H2O（1）=H2O（g）△H=+44.0 kJ/mol，③N2（g）+3H2（g）=2NH3（g）△H=-92.4 kJ/mol；④N2（g）+O2（g）=2NO（g）△H=+180.6 kJ/mol，利用盖斯定律，将①×3+②×6-③×2+④×2，可得4NH3（g）+5O2（g）?4NO（g）+6 H2O（g）△H=（-571.6kJ/mol）×3+6×（+44.0 kJ/mol）-（-92.4 kJ/mol）×2+（+180.6 kJ/mol）×2=-904.8kJ/mol，故答案为：-904.8kJ/mol．点评 本题考查盖斯定律的应用，为高频考点，侧重于学生的分析能力和计算能力的考查，注意把握解答题目的思路，答题时注意体会和运用，难度中等．
练习册系列答案
科目：高中化学
题型：解答题
13．如图为实验室某浓盐酸试剂瓶标签上的有关数据，试根据标签上的有关数据回答下列问题：（1）该浓盐酸中HCl的物质的量浓度为11.9mol•L-1．（2）取用任意体积的该盐酸溶液时，下列物理量中不随所取体积的多少而变化的是BD．A．溶液中HCl的物质的量&& B．溶液的浓度C．溶液中Cl-的数目&&&&&&&D．溶液的密度（3）某学生欲用上述浓盐酸和蒸馏水配制500mL物质的量浓度为0.400mol•L-1的稀盐酸．①该学生需要量取16.8mL上述浓盐酸进行配制．②在配制过程中，下列实验操作对所配制的稀盐酸的物质的量浓度有何影响？（填A表示“偏大”、填B表示“偏小”、填C表示“无影响”）．a．用量筒量取浓盐酸时俯视观察凹液面．Bb．定容后经振荡、摇匀、静置，发现液面下降，再加适量的蒸馏水．B（4）①假设该同学成功配制了0.400mol•L-1的盐酸，他又用该盐酸中和含0.4g&NaOH的NaOH溶液，则该同学需取25mL盐酸．②假设该同学用新配制的盐酸中和含0.4g&NaOH的氢氧化钠溶液，发现比①中所求体积偏小，则可能的原因是c．A．浓盐酸挥发，浓度不足&&&&&&&&&&&&&&&&&&B．配制溶液时，未洗涤烧杯C．配制溶液时，俯视容量瓶刻度线&&&&&&&&&&&D．加水时超过刻度线，用胶头滴管吸出．
科目：高中化学
题型：选择题
3．能正确表示下列化学反应的离子方程式的是（　　）A．胆矾溶液和氢氧化钡溶液混合：2OH-+Cu2+═Cu（OH）2↓B．澄清石灰水与稀盐酸反应：Ca（OH）2+2H+═Ca2++2H2OC．氯气通入氢氧化钠溶液中制84消毒液：Cl2+2OH&-═Cl-+ClO-+H2OD．用醋酸除去热水瓶中的水垢（碳酸钙）：CaCO3+2H+═Ca2++H2O+CO2↑
科目：高中化学
题型：填空题
10．硫酸是一重要化学试剂．（1）实验时用18.4mol•L-1的浓硫酸，配制100mL&1mol•L-1&H2SO4溶液，所需浓硫酸的体积为5.4mL．（计算结果精确到小数点后一位）．量取浓硫酸时应选用①（选填①10mL&②50mL&③100mL）规格的量筒．可供选用的仪器有：①胶头滴管&②烧瓶&③烧杯&④药匙&⑤量筒&⑥托盘天平请回答下列问题：（2）配制稀硫酸时，上述仪器中不需要使用的有②④⑤&（选填序号），还缺少的仪器有100mL容量瓶&（写仪器名称）．（3）下列操作中，容量瓶所具备的功能有A（填序号）．A．配制一定体积准确浓度的标准溶液B．长期贮存溶液C．用来溶解固体溶质（4）下列说法正确的AC．A．洗涤烧杯2～3次，并将洗涤液移入容量瓶以减少误差B．将浓硫酸稀释后未冷却至室温便将溶液转移至容量瓶，所配溶液浓度会偏低C．定容时仰视观察，所配溶液浓度会偏低D．容量瓶使用前先要检查是否漏液，具体操作是向容量瓶中加蒸馏水，倒置不漏液即可．
科目：高中化学
题型：解答题
7．按下列要求写出反应的热化学方程式：（1）常温下，1mol&NO2气体溶于水中，生成硝酸和NO气体，放热46kJ：3NO2（g）+H2O（L）=2HNO3（ag）+NO（g）△H=-138KJ/mol．（2）已知：P4（白磷，s）+5O2（g）=P4O10（s）△H=-2983.2kJ•mol-1P（红磷，s）+$\frac{5}{4}$O2（g）=$\frac{1}{4}$P4O10（s）△H=-738.5kJ•mol-1则白磷转化为红磷的热化学方程式为P4（白磷，S）=4P（红磷，S）△H=-29.2KJ/mol．
科目：高中化学
题型：选择题
8．据报道，某国一集团拟在太空建造巨大的激光装置，把太阳光变成激光用于分解海水制氢：2H2O$\frac{\underline{\;激光\;}}{\;}$2H2↑+O2↑，下列说法正确的是（　　）①水的分解反应是放热反应&&②氢气是一级能源&&③使用氢气作燃料有助于控制温室效应④若用生成的氢气与空气中多余的二氧化碳反应生成甲醇储存起来，可以改善生存环境．A．①②B．②③C．①③D．③④
科目：高中化学
题型：解答题
8．在一定条件下，可逆反应：mA+nB?pC达到平衡状态．（1）若A、B、C都是气体，减小压强，平衡向正反应方向移动，则m+n和p的关系是m+n＜p．（2）若A、C是气体，增加B的量，平衡不移动，则B的状态为固态或纯液态．（3）若A、C是气体，而且&m+n=p，增大压强可使平衡发生移动，则平衡向逆（填“正”或“逆”）反应方向移动．（4）若加热后，可使C的质量增加，则正反应是吸热（填“放热”或“吸热”）反应．
科目：高中化学
题型：多选题
9．下列各组物质按照单质、氧化物、酸、碱、盐分类顺序排列，其中正确的是（　　）A．水银、干冰、硫酸、烧碱、纯碱B．碘酒、冰、硝酸、苛性钠、胆矾C．氢气、二氧化硫、盐酸、纯碱、硫酸铜D．铜、氧化铜、醋酸、熟石灰、石灰石
科目：高中化学
题型：选择题
6．0.4mol/L&Na2SO3溶液30mL与0.2mol/L&K2R2O7溶液Y&mL恰好反应，生成SO42-和R3+．Y值为（　　）A．40B．30C．20D．10
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请输入姓名
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H2（g）+12O2（g）=H2O（1）△H=-285.8_百度知道
已知热化学方程式：H2O（g）=H2（g）+12O2（g）△H=+241.8kJ/mol
H2（g）+12O2（g）=H2O（1）△H=-285.8
已知热化学方程式：H2O（g）=H2（g）+12O2（g）△H=+241.8kJ/mol
H2（g）+12O2（g）=H2O（1）△H=-285.8kJ/mol，当1g液态水变为水蒸气时，其热量变化是（　　）A．放热44kJB．吸热22KJC．放热22kJD．吸热2.44KJ
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①H2O（g）=H2（g）+O2（g）△H=+241.8kJ/mol②H2（g）+O2（g）=H2O（1）△H=-285.8kJ/mol依据盖斯定律②+①得到H2O（g）=H2O（1）△H=-44KJ/mol当1mol液态水变为水蒸气时H2O（l）=H2O（g）△H=+44KJ/mol，当1mol液态水变为水蒸气时，其热量变化是吸热44KJ，1g水的物质的量的物质的量为n===mol，所以当1g液态水变为水蒸气时，吸热×44KJ≈2.44KJ；故选D．
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如图，抛物线y=（x+m）2+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y=-x相交于点D．（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；（2）求证：⊙H与直线y=1相切；（3）若DE=2EC，求⊙H的半径．
【考点】二次函数综合题．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，抛物线y=（x+m）2+m，与直线y=-x相交于E，C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y=-x相交于点D．（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；（2）求证：⊙H与直线y=1相切；（3）若DE=2EC，求⊙H的半径．”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【考点】二次函数综合题．
查看答案和解析
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如图，抛物线2-2x与x轴的负半轴交于点A，对称轴经过顶点B与x轴交于点M．（1）求抛物线的顶点B的坐标&（用含m的代数式表示）；（2）连结BO，若BO的中点C的坐标为（，），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，D在抛物线上，E在直线BM上，若以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
如图，抛物线y=-x2+x-2与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点，且△PBC的内外圆的圆心在x轴上，求点P的坐标．
如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC．
（2015o重庆校级模拟）如图，抛物线2+103x的图象与x轴交于A点，过A作BA⊥OA，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，使点A落在点C处，且tan∠COA=．（1）求点A的坐标，并判断点C是否在该抛物线上？（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，求点M到OC的最大距离；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOA？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=x2-x-2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且抛物线的顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若M为抛物线上的一动点，且在第四象限，顺次连接点A，C，M，B，求四边形ACMB面积的最大值．
知识点讲解
经过分析，习题“如图，抛物线y=（x+m）2+m，与直线y=-x相交于E，C”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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(2012年中考备考)年全国各地中考数学试卷分类汇编：圆的有关性质
第 32 章 一、选择题圆的有关性质?1. （2011 广东湛江 16,4 分）如图， A, B, C 是 ? O 上的三点， ?BAC ? 30 ，则 ?BOC ? 度．【答案】60 2. （2011 安徽，7，4 分）如图，⊙O 的半径是 1，A、B、C 是圆周上的三点，∠BAC=36° ， ⌒ 则劣弧 BC 的长是（ π A． 5 ） 2 B． π 5 3 C． π 5 4 D． π 5【答案】B 3. （2011 福建福州，9，4 分）如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 切小圆于 点 C ,若 ?AOB ? 120? ,则大圆半径 R 与小圆半径 r 之间满足（ A． R ? 3rAC O图2） D． R ? 2 2rB． R ? 3rC． R ? 2rB【答案】C 4. （2011 山东泰安，10 ，3 分）如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ ）A. 2 【答案】AB.2 2C.2 2D.6 25. （2011 四川南充市，9，3 分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽 AB 为 6 分米，如果再注入一些油 后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 MN 为（ ）M A BN（A）6 分米（B）8 分米（C）10 分米（D）12 分米【答案】C 6. （2011 浙江衢州， 分） 1,3 一个圆形人工湖如图所示， AB 是湖上的一座桥， 弦 已知桥 AB 长 100m，测得圆周角 ?ACB ? 45? ，则这个人工湖的直径 AD 为（ ） A. 50 2mC DB. 100 2mC. 150 2mD. 200 2mOAB(第 8 题) 【答案】B 7. （2011 浙江绍兴，4，4 分）如图， AB为 ? O 的直径，点 C 在 ? O 上，若 ?C ? 16? , 则 ?BOC 的度数是（ A. 74? ） B. 48?C. 32?D. 16?A OBC(第 5 题图) 【答案】C 8.（2011 浙江绍兴， 4 分） 6， 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径 OB ? 10 ，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ A.16 B.10 C.8） D.6O C A(第 6 题图) 【答案】A 9. （2011 浙江省，5，3 分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻 度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（ ） A. 12 个单位 B. 10 个单位 C.4 个单位 D. 15 个单位B【答案】B 10．（2011 四川重庆，6，4 分）如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，∠OCB＝40° 则∠A 的度数 等于( ) A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°【答案】B 11. （2011 浙江省嘉兴，6，4 分）如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦 的弦心距为（ （A）6 ） （B）8 （C）10 （D）12OA（第 6 题）B【答案】A12. （2011 台湾台北，16）如图(六)， BD 为圆 O 的直径，直线 ED 为圆 O 的切线，A、C两点在圆上， AC 平分∠BAD 且交 BD 于 F 点。若∠ADE＝ 19? ，则∠AFB 的度 数为何？A．97B．104C．116D．142【答案】C 13. （2011 台湾全区，24）如图(六)，△ABC 的外接圆上，AB、BC、CA 三弧的度数比为 12：13：11． 自 BC 上取一点 D， D 分别作直线 AC、 过 直线 AB 的并行线， 且交 BC 于 E、 两点， F 则∠EDF 的度数 为何？A． 55B． 60C． 65D． 70【答案】Ｃ 14. （2011 甘肃兰州，12，4 分）如图，⊙O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部， ∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O 的半径为 A．6 B．13 C． 13 D． 2 13A O B C【答案】C 15. （2011 四川成都，7,3 分）如图，若 AB 是⊙0 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ B ） (A)116° (B)32° (C)58° （D)64°DAOBC【答案】B 16. （2011 四川内江，9，3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半 径 OC 为 2，则弦 BC 的长为 A．1 B． 3 C．2 D．2 3A B【答案】DO C17. (2011 江苏南京，6，2 分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a）(a＞2)，半 径为 2，函数 y=x 的图象被⊙P 的弦 AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是 A． 2 3 y y=x P B B． 2 ? 2 2 C． 2 3 D． 2 ? 3A O (第 6 题) x【答案】B 1. 18. （2011 江苏南通，8，3 分）如图，⊙O 的弦 AB＝8，M 是 AB 的中点，且 OM＝3， 则⊙O 的半径等于 A. 8 B. 2 C. 10 D. 5【答案】D19. （2011 山东临沂，6，3 分）如图，⊙O 的直径 CD＝5cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD， 垂足为 M，OM：OD＝3：5，则 AB 的长是（ ） A．2cm B．3cmC．4cm D．2 21 cm【答案】C 20．（2011 上海，6，4 分）矩形 ABCD 中，AB＝8， BC ? 3 5 ，点 P 在边 AB 上，且 BP ＝3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． (A) 点 B、C 均在圆 P 外； (B) 点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内； (C) 点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外； (D) 点 B、C 均在圆 P 内． 【答案】C 21. （2011 四川乐山 6，3 分）如图（3），CD 是⊙O 的弦，直径 AB 过 CD 的中点 M，若 ∠BOC=40° ，则∠ABD=A．40° 【答案】 CB．60° C．70°D．80°22. （2011 四川凉山州，9，4 分）如图， ?AOB ? 100? ，点 C 在 ? O 上，且点 C 不与 A、 B 重合，则 ?ACB 的度数为（ A． 50? ?）?B． 80 或 50C． 130?D． 50 或 130??【答案】D[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 23. （2011 广东肇庆，7，3 分）如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一 点，若∠BAD ＝105°， 则∠DCE 的大小是 DAB A． 115°CE C． 100° D． 95°B． 105°【答案】B 24. （2011 内蒙古乌兰察布， 3 分） 9， 如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 70 0 ，那么∠A 的度数为（ A . 70? B . 35? C . 30? ） D . 20?AO C B D第9题图【答案】B 25. （2011 重庆市潼南,3,4 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上,∠A=30° ,则∠B 的度数为A．15°CB. 30°C. 45°D. 60°AOB3题图【答案】D 26. （2011 浙江省舟山，6，3 分）如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦 的弦心距为（ （A）6 ） （B）8 （C）10 （D）12OA（第 6 题）B【答案】A 二、填空题 1. （2011 浙江省舟山，15，4 分）如图，AB 是半圆直径，半径 OC⊥AB 于点 O，AD 平分 ∠CAB 交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；② CE ? OE ； ③△ ODE∽△ ADO；④ 2CD 2 ? CE ? AB ．其中正确结论的序号是 ．CDE AO（第 16 题）B【答案】①④ 2. （2011 安徽，13，5 分）如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD， 已知 CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是 ．【答案】 53. （2011 江苏扬州， 15,3 分） 如图， 的弦 CD 与直径 AB 相交， ⊙O 若∠BAD=50°， 则∠ACD=【答案】40° 4. （2011 山东日照，14，4 分）如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正 方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ．【答案】如：x2- 5 x+1=0； 5. （2011 山东泰安，23 ，3 分）如图，PA 与⊙O 相切，切点为 A，PO 交⊙O 于点 C，点 B 是优弧 CBA 上一点，若∠ABC==320，则∠P 的度数为 。【答案】260 6. （2011 山东威海，15，3 分）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，若 AE=5,BE=1, CD ? 4 2 ,则∠AED= .【答案】 30° 7. （2011 山东烟台，16,4 分）如图，△ABC 的外心坐标是__________.yA B OxC【答案】（－2，－1） 8. （2011 浙江杭州，14，4）如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上， 是∠OCD 的平分线，则∠ABD 十∠CAO= ° ． 的度数等于 84° ，CA【答案】53° 9. （2011 浙江温州，14，5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 都在⊙O 上，连结 CA， CB，DC，DB．已知∠D=30° ，BC＝3，则 AB 的长是 ．【答案】6 10．（2011 浙江省嘉兴，16，5 分）如图，AB 是半圆直径，半径 OC⊥AB 于点 O，AD 平 分∠CAB 分别交 OC 于点 E，交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论： ①S△ AEC=2S△ DEO ； ②AC=2CD ； ③ 线 段 OD 是 DE 与 DA 的 比 例 中 项 ； ④ 2CD 2 ? CE ? AB ．其中正确结论的序号是 ．CDE AO（第 16 题）B【答案】①④ 11. （2011 福建泉州，16，4 分）已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数所有可能的情况是 可） 【答案】 2（符合答案即可） 12. （2011 甘肃兰州， 16， 分） 4 如图， 是⊙O 的半径， C、 在⊙O 上， OB 点 D ∠DCB=27°， 则∠OBD= 度。 D .（写出符合的一种情况即OBC 【答案】63° 13. （2011 湖南常德， 3 分） 7， 如图 2， 已知⊙O 是△ABC 的外接圆， 且∠C =70° 则∠OAB ， =__________.CO A B图2【答案】20° 14. （2011 江苏连云港， 3 分） 15， 如图， D 为边 AC 上一点， O 为边 AB 上一点， 点 点 AD=DO. 以 O 为圆心， 长为半径作半圆， AC 于另一点 E， AB 于点 F， 连接 EF.若∠BAC=22? OD 交 交 G， ， 则∠EFG=_____.【答案】1 215. （2011 四川广安，19，3 分）如图 3 所示，若⊙O 的半径为 13cm，点 p 是弦 AB 上一 动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为________cmOA图3PB【答案】24 16. （ 2011 重庆江津， 16，4 分）已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30?,则∠D=____________.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] A D C B 第 16 题图 【答案】150° 17. (2011 重庆綦 江， 4 分) 如图,已知 AB 为⊙O 的直径， 13， ∠CAB＝30° ,则∠D＝ .【答案】：60° 18. （ 2011 江西 南昌 ， 13 ， 3 分） 如 图， 在△ABC 中， 点 P 是△ABC 的 内 心， 则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB = 度.第 13 题图 【答案】90 19. (2011 江苏南京，13，2 分)如图，海边有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的 弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80° ，为了避免触礁，轮船 P 与 A、 B 的张角∠APB 的最大值为______° ．PO A B(第 13 题)【答案】40 20．（2011 上海，17，4 分）如图，AB、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分 别为 M、N，如果 MN＝3，那么 BC＝_________．C N O A M B【答案】6 21. （2011 江苏无锡，18，2 分）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________． yC D A O Bx（第 18 题）【答案】65 22. （2011 湖北黄石，14，3 分）如图（5），△ ABC 内接于圆 O，若∠B＝300.AC＝ 3 ， 则⊙O 的直径为 【答案】2 3 23. （2 011 湖南衡阳，16，3 分）如图，⊙ O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°， 则∠FCD 的度数为 ． 。【答案】 20 24. （2011 湖南永州，8，3 分）如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，连接 OB,CB， 已知⊙O 的半径为 2，AB= 2 3 ,则∠BCD=________度．CO A E B D（第 8 题）【答案】30 25. (20011 江苏镇江,15,2 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥DE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则 OC=_____,CD=_____.答案：4，9? 26. （2011 内蒙古乌兰察布， 14， 分） 4 如图，BE 是半径为 6 的⊙D 的1 ? 圆周， 点是 BE C 4上的任意一点， △ ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是E CBDA第14题图【答案】 18 ? p ? 18 ? 6 2 27. （2011 河北，16，3 分）如图 7，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．C O A B图7D【答案】27 28. （2011 湖北荆州，12，4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B＝40°， 则∠ACD 的度数是 .C O B DA第 12 题图 【答案】50° 29. 30. 三、解答题 1. （2011 浙江金华，21，8 分）如图，射线 PG 平分∠EPF，O 为射线 PG 上一点，以 O 为 圆心，10 为半径作⊙O，分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥PE. （1）求证：AP＝AO； （2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB 的值； （3）若以图中已标明的点（即 P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点 为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .ED C P A B OGF证明：（1）∵PG 平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO ， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA ， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA； ??2 分 解：（2）过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 AH=HB= ∵ tan∠OPB=1 AB，??1 分 2OH 1 ? ，∴PH=2OH， ??1 分 PH 2 设 OH= x ，则 PH=2 x ， 由（1）可知 PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2 x －10， 2 2 2 2 2 2 ∵ AH ? OH ? OA ， ∴ (2 x ? 10) ? x ? 10 ， ??1 分 解得 x1 ? 0 （不合题意，舍去）， x2 ? 8 ，∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ??1 分 （3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B.??2 分(写对 1 个、2 个、3 个得 1 分，写对 4 个得 2 分) D C P A O H B F G E2.（2011 浙江金华，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直 径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB 至点 D， 使 DB＝AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结 CF.（1）当∠AOB＝30° 时，求弧 AB 的长； （2）当 DE＝8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在， 请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.y DB FOCEAx解： （1）连结 BC, ∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30° ,[来源:学科网] ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧 AB 的长= y D B F60 ? ? ? 5 5? ; ? 180 3??4 分OC EAx（2）连结 OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA=90° , 又∵AB=BD, ∴OB 是 AD 的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在 Rt△ODE 中， OE= OD ? DE2 2? 10 2 ? 8 2 ? 6 ,∴AE=AO－OE=10-6=4, 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA, ∴AE EF 4 EF ,即 ? ，∴EF=3；??4 分 ? DE OE 8 6（3）设 OE=x，①当交点 E 在 O， 之间时， C 由以点 E、 F 为顶点的三角形与△AOB 相似， C、 有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点 E 为 OC 中点，即 OE=5 ， 2∴E1（5 ，0） ； 2 1 AB , 2当∠ECF=∠OAB 时，有 CE=5-x, AE=10-x， ∴CF∥AB,有 CF= ∵△ECF∽△EAD,CE CF 5? x 1 10 ,即 ? ? ,解得： x ? , AE AD 10 ? x 4 3 10 ∴E2（ ，0）; 3∴ y D B F O E C A x O F E C A x y D B②当交点 E 在点 C 的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结 BE， ∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线， ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴CF OC , ? BE OE CF CE , ? AD AE OC CE ∴ , ? 2OE AE∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED, ∴ 而 AD=2BE,即5 ? 5 17 5 ? 5 17 5 x ?5 , 解得 x1 ? , x2 ? ＜0（舍去） ， ? 4 4 2 x 10 ? x 5 ? 5 17 ，0）; 4∴E3（y D B FOCEA x③当交点 E 在点 O 的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF . ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结 BE，得 BE= ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴1 AD =AB，∠BEA=∠BAO 2CF OC , ? BE OE CE CF ， ? AE AD OC CE ∴ , ? 2OE AE解得 x1 ?又∵∠ECF=∠BAO, ∠FE C=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED, ∴ 而 AD=2BE,∴5 x +5 , ? 2 x 10+x? 5 ? 5 17 ? 5 ? 5 17 , x2 ? ＜0（舍去）, 4 4∵点 E 在 x 轴负半轴上, ∴E4（5 ? 5 17 ，0）, 4综上所述：存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为：E1 （5 ? 5 17 5 ? 5 17 5 10 ，0） E 2 （ 、 ，0） E 3 （ 、 ，0） E 4 （ 、 ，0） ．??4 分 4 4 2 3y D BE FOCAx3. （2011 山东德州 22,10 分）●观察计算a?b 与 ab 的大小关系是_________________． 2 a?b 当 a ? 4 ， b ? 4 时， 与 ab 的大小关系是_________________． 2当 a ? 5 ， b ? 3 时， ●探究证明 如图所示，?ABC 为圆 O 的内接三角形，AB 为直径， C 作 CD ? AB 于 D， A ? ， 过 设 D a BD=b． （1）分别用 a, b 表示线段 OC，CD； （2）探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系 CAODB（用含 a，b 的式子表示）． ●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a?b 与 2ab 的 大 小 关 系 是 ：_________________________． ●实践应用 要制作面积为 1 平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 【答案】●观察计算:a?b a?b & ab ， = ab . ???????2 分 2 2C●探究证明： （1）? AB ? AD ? BD ? 2OC ， ∴ OC ?a?b ???????3 分 2?AB 为⊙O 直径, ∴ ?ACB ? 90? . ??A ? ?ACD ? 90? ， ?ACD ? ?BCD ? 90? ，∴∠A=∠BCD. ∴△ ACD ∽△ CBD . ∴ ???????4 分AODBAD CD . ? CD BD2即 CD ? AD ? BD ? ab , ∴ CD ?ab .???????5 分（2）当 a ? b 时, OC ? CD ,a ? b 时, OC ? CD ,●结论归纳: ●实践应用a?b ? 2a?b & ab ．???????6 分 2ab ．??????7 分a?b = ab ； 2设长方形一边长为 x 米,则另一边长为1 米,设镜框周长为 l 米，则 x?????9 分1 1 l ? 2( x ? ) ≥ 4 x ? ? 4 ． x x当x?1 ,即 x ? 1 （米）时,镜框周长最小． x此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. ??????10 分 4. （2011 山东济宁，19，6 分）如图， AD 为 ?ABC 外接圆的直径， AD ? BC ，垂足为点 F ， ?ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ， CD .[来源:学+科+网][来源:学科网 ZXXK] (1) 求证： BD ? CD ； (2) 请判断 B ，E ， 三点是否在以 D 为圆心， DB 为半径的圆上？并说明理由.[来 以 C 源:Z。xx。k.Com]AEBFCD(第 19 题)【答案】（1）证明：∵ AD 为直径， AD ? BC ，? ? ∴ BD ? CD .∴ BD ? CD . ???????????????????????? 3 分 ??????????? ?????????? ??? ?????????? ??????????? ???（2）答： B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ??????????? 分 ?????????? 4 ??????????? ? 理由：由（1）知： BD ? CD ，∴ ?BAD ? ?CBD .∵ ?DBE ? ?CBD ? ?CBE ， ?DEB ? ?BAD ? ?ABE ， ?CBE ? ?ABE ， ∴ ?DBE ? ?DEB .∴ DB ? DE . ????????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ??? 6 ?????????? ??????????? ??? 由（1）知： BD ? CD .∴ DB ? DE ? DC . ∴ B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ???????7 分 5. （2011 山东烟台，25,12 分）已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，E 是直 线 AB 上一动点（不与点 A、B、G 重合），直线 DE 交⊙O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.设⊙O 的半径为 r. （1）如图 1，当点 E 在直径 AB 上时，试证明：OE? OP＝r2 （2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合 题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.C CAGO.F E B P AG O D.BE.D（图 1）（图 2）【答案】（1）证明：连接 FO 并延长交⊙O 于 Q，连接 DQ. ∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ＝90° . ∴∠QFD＋∠Q＝90° . ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90° . ∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P. ∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF. ∴OE OF .∴OE? OP＝OF2＝r2. ? OF OP（2）解：（1）中的结论成立. 理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO 并延长交⊙O M，连接 CM. ∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM＝90° ，∴∠M＋∠CFM＝ ∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90° . ∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. ∴OP OF ，∴OE? OP＝OF2＝r2. ? OF OE于90° .6. （2011 宁波市，25，10 分）阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三 角形”是真命题还是假命题？ （2）在 Rt ? ABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a，若 Rt ? AB C 是 奇异三角形，求 a：b：c； ⌒ （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是上一点（不与点 A、B 重合），D 是半圆ABD的中点， CD 在直径 AB 的两侧，若在⊙O 内存在点 E 使得 AE＝AD，CB＝CE． 1 ○求证： ? ACE 是奇异三角形； 2 ○当 ? ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．【答案】解：（1）真命题 2 （2）在 Rt ? ABC 中 a ＋b2＝ c2， ∵c＞b＞a＞0 2 2 ∴2c2＞a ＋b2，2a ＜c2＋b2 2 ∴若 Rt ? ABC 是奇异三角形，一定有 2b2＝c2＋ a ∴2b2＝a ＋（a ＋b2） ∴b2＝2a 得：b＝ 2a ∵c2＝b2＋ a ＝3a ∴c＝ 3a ∴a：b ：c＝1： 2： 3 1 (3)○∵AB 是⊙O 的直径 ACBADB＝90° 在 Rt ? ABC 中，AC2＋BC2＝AB2 在 Rt ? ADB 中，AD2＋BD2＝AB2 ⌒ ∵点 D 是半圆ABD的中点 ⌒ ⌒ ∴AD＝BD2 2 2 2 2∴AD＝BD ∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2 ∴AC2＋CB2＝2AD2 又∵CB＝CE，AE＝AD[来源:Z+xx+k.Com] ∴AC2＝CE2＝2AE2 ∴ ? ACE 是奇异三角形 2 1 ○由○可得 ? ACE 是奇异三角形 ∴AC2＝CE2＝2AE2 当 ? ACE 是直角三角形时 由（2）可得 AC：AE：CE＝1： 2： 3或 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）当 AC：AE：CE＝1： 2： 3时 AC：CE＝1： 3即 AC：CB＝1： 3 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝30° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝60° (Ⅱ)当 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1 时 AC：CE＝ 3： 1 即 AC：CB＝ 3： 1 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝60° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC 的度数为 60°或 120° 7. （2011 浙江丽水，21，8 分）如图，射线 PG 平分∠EPF，O 为射线 PG 上一点，以 O 为 圆心，10 为半径作⊙O，分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥ PE. （1）求证：AP＝AO； （2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB 的值； （3）若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .D C P A B O G EF【解】（1）∵PG 平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA， ∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA； （2）过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 AH=HB， ∵AB=12， ∴AH=6， 由（1）可知 PA=OA=10， ∴PH=PA+AH=16， OH= 102－62=8， OH 1 ∴tan∠OPB= = ； PH 2（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B. 8. （2011 广东广州市，25，14 分） 如图 7，⊙O 中 AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45° ，等腰直角三角形 DCE 中 ∠DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上． （1）证明：B、C、E 三点共线； （2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN= 2OM； （3）将△ DCE 绕点 C 逆时针旋转 α（0° ＜α＜90° ）后，记为△ D1CE1（图 8），若 M1 是 线段 BE1 的中点，N1 是线段 AD1 的中点，M1N1= 2OM1 是否成立？若是，请证明；若不是， 说明理由． A N N1 D O E M B 图7 【答案】（1）∵AB 为⊙O 直径 ∴∠ACB=90° ∵△DCE 为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C、E 三点共线． （2）连接 BD，AE，ON． ∵∠ACB=90°，∠ABC=45° C O M1 B D1 C E1 A图8∴AB=AC ∵DC=DE ∠ACB=∠ACE=90° ∴△ BCD≌△ACE ∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD⊥AE ∵O，N 为中点 1 ∴ON∥BD，ON= BD 2 1 同理 OM∥AE，OM= AE 2 ∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN= 2OM （3）成立 证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1 所以仍有△ BCD1≌△ACE1， 所以△ ACE1 是由△ BCD1 绕点 C 顺时针旋转 90°而得到的，故 BD1⊥AE1 其余证明过程与（2）完全相同． 9. （2011 浙江丽水，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(10，0)，以 OA 为直径 在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB 至点 D， 使 DB＝AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结 CF. （1）当∠AOB＝30° 时，求弧 AB 的长； （2）当 DE＝8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在， 请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.y DB FOCEAx【解】(1)连结 BC，y DB FOCEAx∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30°， ∴∠ACB=2∠AOB=60°， 60×π ×5 5π ⌒ ∴AB的长= = ； 180 3 （2）连结 OD，y DB FOCEAx∵OA 是⊙C 的直径，∴∠OBA=90°， 又∵AB= BD， ∴OB 是 AD 的垂直平分线， ∴OD= OA=10， 在 Rt△ODE 中， OE= OD2－DE2= 102－82=6， ∴AE= AO－OE =10－6=4， 由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB， ∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， AE EF 4 EF ∴ = ，即 = ，∴EF=3； DE OE 8 6y DB FOCEAx(3)设 OE=x， ①当交点 E 在 O，C 之间时，由以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似， 有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA 时， 此时△OCF 为等腰三 角形， 5 点 E 为 OC 的中点，即 OE= ， 25 ∴E1( ，0)； 2 当∠ECF=∠OAB 时，有 CE=5－x，AE=10－x，1 ∴CF//AB，有 CF= AB， 2 ∵△ECF∽△EAD， 5－x 1 CE CF 10 ∴ = ，即 = ，解得 x= ， AE AD 3 10－x 4 10 ∴E2( ，0)； 3 ②当交点 E 在 C 的右侧时， ∵∠ECF&∠BOA ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结 BE，∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， CF OC ∵CF//BE，∴ = ， BE OE ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， CF CE ∴△CEF∽△AED，∴ = ， AD AE 而 AD=2BE，∴ 5 x－5 即 = ， 2x 10－x 5－5 17 5+5 17 解得 x1= ，x2= &0（舍去） ， 4 4 5+5 17 ∴E3( ，0)； 4 ③当交点 E 在 O 的左侧时， OC CE = ， 2OE AE∵∠BOA=∠EOF&∠ECF ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO， 1 连结 BE，得 BE= AD=AB， 2 ∠BEA=∠BAO， ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF//BE，CF OC ∴ = ， BE OE 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， CE CF ∴△CEF∽△AED，∴ = ， AE AD 而 AD=2BE，∴ OC CE = ， 2OE AE－5+5 17 －5－5 17 5 x+5 ∴ = ，解得 x1= ，x2= &0（舍去） ， 2x 10+x 4 4 5－5 17 ∵点 E 在 x 轴负半轴上，∴E4( ，0)， 4 综上所述：存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点 E 坐标为： 5－5 17 5 10 5+5 17 ∴E1( ，0)、E2( ，0)、E3( ，0)、E4( ，0). 2 3 4 4 10．（2011 江西，21，8 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）。 ⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ ABC 面积的最大值. （参考数据：sin60° =3 3 3 ，cos30° = ，tan30° = .） 2 2 3【答案】（1）过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA. 1 因为 BC= 2 3 ，所以 CD= BC = 3 . 2 又 OC=2，所以 sin∠DOC =3 CD ，即 sin∠DOC = ， 2 OC所以∠DOC=60° . 又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60° . （2）因为△ ABC 中的边 BC 的长不变，所以底边上的高最大时，△ ABC 面积的最大值,即点? A 是 BAC 的中点时，△ ABC 面积的最大值.因为∠BAC=60° ，所以△ ABC 是等边三角形， 在 Rt△ ADC 中，AC= 2 3 ，DC= 3 , 所以 AD= AC 2 - DC 2 = (2 3) 2 3 =3.21 所以△ ABC 面积的最大值为 2 3 × 3× =3 3 . 211. （2011 湖南常德，25，10 分）已知 △ABC，分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 O1 、O2 , P 是 AB 的中点.AC BC （1）如图 8，若△ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ? , ? 上分别取点 E、F，使?AO1E ? ?BO2 F , 则有结论① ? PO1 E ?? FO2 P, ②四边形 PO1CO2 是菱形.请给出结论②的证明； （2）如图 9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成 立吗？若成立，请给出证明； （3）如图 10，若 PC 是 ? O1 的切线，求证： AB ? BC ? 3 AC2 2 2APDB FEO1 O2C图8D【答案】 （1） 证明：∵BC 是⊙O2 直径，则 O2 是 BC 的中点 又 P 是 AB 的中点. ∴P O2 是△ABC 的中位线 ∴P O2 =1 AC 2又 AC 是⊙O1 直径1 AC 2 1 同理 P O1= O2C = BC 2∴P O2= O1C= ∵AC =BC ∴P O2= O1C=P O1= O2C ∴四边形 PO1CO2 是菱形 （2） 结论① ? PO1 E ?? FO2 P, 成立，结论②不成立 证明：在（1）中已证 PO2=1 1 AC，又 O1E= AC 2 2∴PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵PO2 是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O1A=∠ACB ∴∠PO2B=∠P O1A ∵∠AO1E =∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E =∠F O2 P ∴ （3） 证明：延长 AC 交⊙O2 于点 D，连接 BD. ∵BC 是⊙O2 的直径，则∠D=90°， 又 PC 是 ? O1 的切线，则∠ACP=90°， ∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD， ∴△APC∽△BAD 又 P 是 AB 的中点 ∴AC AP 1 ? ? AD AB 2∴AC=CD ∴在 Rt△BCD 中， BC ? CD ? BD ? AC ? BD ?2 2 2 2在 Rt△ABD 中， AB ? AD ? BD2 22 2 22∴ AB ? 4 AC ? BD ? AC ? BD2?2? ? 3 AC2∴ AB ? BC ? 3 AC2 2212. （2011 江苏苏州，26,8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上 任意一点（不与点 A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，连接 AD. （1）弦长 AB=________（结果保留根号）； （2）当∠D=20°时，求∠BOD 的度数； （3）当 AC 的长度为多少时，以点 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【答案】解：（1）2 3 . （2）解法一：∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角， ∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BOD=∠B+∠A+∠D. 又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°， ∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°， ∴∠BOD=2∠A=100°. 解法二：如图，连接 OA. ∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D， ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°， ∴∠BOD=2∠DAB=100°.（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D. ∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°. ∴△DAC∽△BOC. ∵∠BCO=90°，即 OC⊥AB，∴AC=1 AB= 3 . 213. （2011 江苏苏州，27,8 分）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正 方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A、B 重合），连接 PA、PB、PC、PD. （1）如图①，当 PA 的长度等于______时，∠PAB=60°； 当 PA 的长度等于______时，△PAD 是等腰三角形； （2）如图②，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AD 边所在的直线为 y 轴，建立如图所示的直角 坐标系（点 A 即为原点 O），把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐 2 标为（a，b），试求 2S1S3-S2 的最大值，并求出此时 a、b 的值.【答案】解：（1）2；2 2 或8 5 . 5（2）如图，过点 P 分别作 PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为 E、F，延长 FP 交 BC 于点 G，则 PG ⊥BC.[来源:学科网 ZXXK] ∵P 点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a. 在△PAD、△PAB 及△PBC 中， S1=2a，S2=2b，S3=8-2a， ∵AB 是直径，∴∠APB=90°. 2 ∴PE2=AE?BE，即 b =a（4-a）. 2 2 2 2 ∴2S1S3-S2 =4a（8-2a）-4b =-4a +16a=-4（a-2） +16. 2 ∴当 a=2 时，b=2，2S1S3-S2 有 最大值 16.14. （2011 江苏泰州，26，10 分）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD 的边 BC 为大圆的弦，边 AD 与小圆相切于点 M，OM 的延长线与 BC 相交于点 N． （1）点 N 是线段 BC 的中点吗？为什么？ （2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．O A M N B C D【答案】解：(1)N 是 BC 的中点。原因：∵AD 与小圆相切于点 M， ∴OM⊥AD，又 AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆 O 中，由垂径定理可得 N 是 BC 的中点． (2)连接 OB，设小圆半径为 r，则有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在 Rt△OBN 中，由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得 r=7cm. ∴小圆的半径为 7cm. 15. （2011 四川成都，27,10 分）已知：如图，以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 为圆心， OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过 B、D 两点，过点 B 作 BK⊥AC，垂足为 K．过 D 作 DH∥KB， DH 分别与 AC、AB、⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E、F、G、H． (1)求证：AE=CK； A D (2)如果 AB= a ，AD= a ( a 为大于零的常数)，求 BK 的 长； (3)若 F 是 EG 的中点， DE=6， 且 求⊙O 的半径和 GH 的长． 【答案】 解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB， ∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK. （2） Rt△ABC 中， a ， 在 AB= AD=BC= a ， AC ? ∴G H F1 3E O K B C1 31 10a AB 2 ? BC 2 = a 2 ? ( a) 2 = ， 3 31 a? a 1 1 AB ? BC 3 = 10 a . ∵S△ABC= AB×BC= AC×BK，∴BK= = 2 2 AC 10 a 10 3（3）连线 OG，∵AC⊥DG，AC 是⊙O 的直接，DE=6，∴DE=EG=6， 又∵EF=FG， ∴EF=3； ∵Rt△ADE≌Rt△CBK， ∴DE=BK=6， AE=CK， 在△ABK 中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF 是△ABK 的中位线，∴ AF=BF ， AE=EK=KC ； 在 Rt △ OEG 中 ， 设 OG= r ， 则 HGA E F O K BDC1 1 1 OE= AC ? ? 2r ? r ， EG=6 ， OE 2 ? EG 2 ? OG 2 ， ∴ 6 6 39 2 1 . ( r ) 2 ? 6 2 ? r 2 ，∴ r ? 2 3在 Rt△ADF≌Rt△BHF 中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF， ∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6. 16. （2011 四川宜宾,23，10 分）已知：在△ ABC 中，以 AC 边为直径的⊙O 交 BC 于点 D， ⌒ 在劣弧 AD上到一点 E 使∠EBC=∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于 G，交⊙O 于 H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC=45° ，⊙O 的直径等于 10，BD=8，求 CE 的长．（23 题图）【答案】证明：⑴连接 AD ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ∴∠DAC=∠EBC 又∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ADC=90° ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=180° -(∠EBC+∠DCA)=180° =90° -90° ∴AC⊥BH ⑵∵∠BDA=180° -∠ADC=90° ∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴BD=AD ∵BD=8 ∴AD=8 又∵∠ADC=90° AC=10（第 23 题解答图）∴由勾股定理，得 DC ? AC 2 ? AD 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6 .∴BC=BD+DC=8+6=14 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∴△BCG∽△ACD CG BC ∴ ? DC AC ∴CG 14 ? 6 10∠BCG=∠ACD∴ CG ?42 5连接 AE，∵AC 是直径 ∴∠AEC=90° 又∵EG⊥AC CE CG 42 ∴△CEG∽△CAE ∴ ∴ CE 2 ? AC ? CG ? ? ? 10 ? 84 AC CE 5 ∴ CE ? 84 ? 2 21 . 17. （2011 江西南昌，21，8 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为 弦 BC 所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）。 ⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ ABC 面积的最大值. （参考数据：sin60° =3 3 3 ，cos30° = ，tan30° = .） 2 2 3【答案】（1）过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA. 1 因为 BC= 2 3 ，所以 CD= BC = 3 . 2 又 OC=2，所以 sin∠DOC =3 CD ，即 sin∠DOC = ， 2 OC所以∠DOC=60° . 又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60° . （2）因为△ ABC 中的边 BC 的长不变，所以底边上的高最大时，△ ABC 面积的最大值,即点? A 是 BAC 的中点时，△ ABC 面积的最大值.因为∠BAC=60° ，所以△ ABC 是等边三角形， 在 Rt△ ADC 中，AC= 2 3 ，DC= 3 , 所以 AD= AC 2 - DC 2 = (2 3) 2 3 =3.21 所以△ ABC 面积的最大值为 2 3 × 3× =3 3 . 218. （2011 上海，21，10 分）如图，点 C、D 分别在扇形 AOB 的半径 OA、OB 的延长 线上，且 OA＝3，AC＝2，CD 平行于 AB，并与弧 AB 相交于点 M、N．（1）求线段 OD 的长； （2）若 tan ?C ?1 ，求弦 MN 的长． 2O A C M N B D【答案】（1）∵CD∥AB， ∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D． ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA． ∴∠C=∠D． ∴OC=OD． ∵OA=3，AC=2， ∴OC=5． ∴OD=5． （2）过点 O 作 OE⊥CD，E 为垂足，连接 OM．O A C M E N B D在 Rt△OCE 中， OC=5， ?C ? tan1 ， OE=x， CE=2x． 设 则 由勾股定理得 x 2 ? (2 x) 2 ? 52 ， 2解得 x1= 5 ，x2= ? 5 （舍去）．∴OE= 5 ． 在 Rt△OME 中，OM=OA=3，ME= OM 2 ? OE 2 = 32 ? ( 5) 2 =2。∴MN=2ME=4． 19. （2011 湖北黄冈，22，8 分）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线， F 为弧 AD 上一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证 AC?AF=DF?FEMDCFB 第 22 题图AE【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠ DBA=∠DAB，故△ABD 为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知[来源:Z_xx_k.Com] ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△ FAE ∴AC：FE=CD：AF ∴AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴AC?AF=DF?FE 20．（2011 广东茂名，24，8 分）如图，⊙P 与 y 轴相切于坐标原点 O(0，0)，与 x 轴相交 于点 A(5，0)，过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B，与⊙P 交于点 C． (1)已知 AC＝3，求点Ｂ的坐标； (4 分)(2)若 AC＝ a , D 是 OＢ的中点．问：点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上？请说明理 由．如果这四点在同一圆上， 记这个圆的圆心为 O1 ， 函数 y ? 求 k 的值(用含 a 的代数式表示)． (4 分)k 的图象经过点 O1 ， xy yχχ备用图 【答案】解：(1)解法一：连接 OC，∵OA 是⊙P 的直径，∴OC⊥AB， 在 Rt△AOC 中， OC ?OA 2 ? AC 2 ? 25 ? 9 ? 4在 Rt△AOC 和 Rt△ABO 中，∵∠CAO＝∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，? ∴AC AO 3 5 ，即 ? ， ? CO OB 4 OB∴ OB ?20 ， 3∴ B(0,20 ) 3解法二：连接 OC，因为 OA 是⊙P 的直径， ∴∠ACO＝90° 在 Rt△AOC 中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4， 过 C 作 CE⊥OA 于点 E，则： 即：1 1 ? OA ? CE ? ? CA ? OC ， 2 21 1 12 ? 5 ? CE ? ? 3 ? 4 ，∴ CE ? ， 2 2 512 16 OC 2 ? CE 2 ? 4 2 ? ( ) 2 ? 5 5∴ C(∴ OE ?16 12 , )， 5 5设经过 A、C 两点的直线解析式为： y ? kx ? b ．把点 A(5，0)、 C (16 12 , ) 代入上式得： 5 54 ? ?k ? ? 3 ? 解得： ? ， 20 ?b ? ? 3 ?∴点 B(O,?5k ? b ? 0 ? ?16 12 ， k ?b ? ?5 5 ?∴y??4 20 ， x? 3 320 ) 3．(2)点 O、P、C、D 四点在同一个圆上，理由如下： 连接 CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D 为 OB 上的中点， ∴ CD ?1 OB ? OD ， 2∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， ∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO 和 Rt△PDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形， ∴PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等， ∴点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 由上可知，经过点 O、P、C、D 的圆心 O1 是 DP 的中点，圆心 O1 ( 由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴OP OD , )， 2 2AC OA 25 ，求得：AB＝ ，在 Rt△ABO 中， ? OA AB aOB ?AB 2 ? OA 2 ?5 25 ? a 2 1 5 25 ? a 2 OA 5 ，OD＝ OB ? ， OP ? ? a 2 2a 2 2∴ O1 ( ,5 5 25 ? a 2 k ) ，点 O1 在函数 y ? 的图象上， 4 4a x∴k ?∴5 25 ? a 2 4k ? ， 4a 525 25 ? a 2 16 a．21. （2011 广东肇庆，24，10 分）已知：如图，?ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CBA 的 平分线交 AC 于点 F，交 ⊙O 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA； （2）求证： P 是线段 AF 的中点； （3）若⊙O 的半径为 5，AF ＝15 ，求 tan∠ABF 的值． 2D F P A E ? O B C【答案】(1）∵BD 平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA ∵∠DAC 与∠CBD 都是弧 CD 所对的圆周角，∴ ∠DAC＝∠CBD ∴ ∠DAC ＝∠DBA (2）∵AB 为直径，∴∠ADB＝90° 又∵DE⊥AB 于点 E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90° ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP ∴PD＝PA 又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC ∴∠PDF＝∠PFD ∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即 P 是线段 AF 的中点 (3）∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB ∴AD AF ? DB AB15 3 AD AF 3 ∴在 Rt△ABD 中，tan∠ABD＝ ? ? 2 ? ，即 tan∠ABF＝ 4 DB AB 10 422. （2011 内蒙古乌兰察布，21，10 分） 如图，在 Rt△ ABC 中,∠ACB＝90° 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径的 ⊙0 与边 AC ，D 相切于点 E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．C EOBD第21题图AF【答案】⑴连结 OE，A DOEB第21题答案图CF则 OE⊥AC, 所以∠AEO=90° ，∠AED=∠CEF, ∠ACB＝90° ∠CEF+∠F＝90° ∠AED +∠OED＝90° ∠OED=∠F又因为 OD=OE 所以∠OED=∠ODE∠ODE=∠FBD=BF ⑵Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中，∠A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽Rt△ AOEOE AO r 8? r ，设⊙0 的半径是 r，则有 ? ? BC AB 12 8 ? 2r求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （2011 湖北鄂州，22，8 分）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线， F 为弧 AD 上一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证 AC?AF=DF?FE M DCFB 第 22 题图AE【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠ DBA=∠DAB，故△ABD 为等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形 外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② FAE ∴AC：FE=CD：AF ∴AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴AC?AF=DF?FE由①②得△DCA∽△24. （2010 湖北孝感，23，10 分）如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是 ? 上任一点（点 P AB 不与点 A、B 重合）.连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M. （1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2 分） （2）求证：△ACM∽△BCP；（4 分） （3）若 PA=1，PB=2，求梯形 PBCM 的面积. （4 分）【答案】解：（1）60,60； （2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180° ，∠PCM=∠BPC=60.[来源:Zxxk.Com] ∴∠M=180° －∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180° －120° =60° . ∴∠M=∠BPC=60° . （3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP. 又∠M=60° ，∴△PCM 为等边三角形. ∴CM=CP=PM=1+2=3. 作 PH⊥CM 于 H. 在 Rt△PMH 中，∠MPH=30° .3 3. 2 1 1 3 15 ∴S 梯形 PBCM= ( PB ? CM ) ? PH ? (2 ? 3) ? 3? 3. 2 2 2 4∴PH=25. （2011 湖北宜昌，21，8 分）如图 D 是△ABC 的边 BC 的中点，过 AD 延长线上的点 E作 AD 的垂线 EF， 为垂足， 与 AB 的延长线相交于点 F， 0 在 AD 上， = CO， E EF 点 AO BC//EF. (1)证明:AB=AC； (2)证明:点 0 是 AABC 的外接圆的圆心； (3)当 AB=5,BC=6 时，连接 BE 若∠ABE=90°，求 AE 的长.（第 21 题图） 【答案】解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1 分)在△ABD 和△ACD 中，∵ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE 是 BC 的中垂线．) (2 分)∴AB＝AC． (3 分) (2)连 BO，∵AD 是 BC 的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到 BO＝CO．) 又 AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4 分)∴点 O 是△ABC 外接圆的圆心． (5 分) （3） 解法 1： ∵∠ABE＝∠ADB=90°， ∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠ABD=AB AD （ 6 分 ）在 R t△ ABD ? AE AB 25 中 ， ∵ AB=5， BD=1， 2BC=3， ∴ AD=4． （ 7 分 ） ∴ AE= (8 分 )解 法 2： 4∠AEB． 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴ ∵ AO＝ BO， ∴ ∠ ABO＝ ∠ BAO． ∠ ABE＝ 90 ° ∴ ∠ ABO＋ ∠ OBE＝ ∠ BAO ∵ ， ＋ ∠ AEB＝ 90° ∴ ∠ OBE＝ ∠ OEB， ∴ OB＝ OE． (6 分 )在 Rt△ ABD 中 ， ∵ ． AB=5，BD=1，2BC=3，∴ AD=4． 设 OB＝ x， 则 OD＝ 4－ x，由 32 +（ 4-x) 2 =x 2 , 解 得 x=25 25 (7 分 )∴ AE＝ 2OB＝ 8 4一、选择题 1．（2010 安徽省中中考） 如图，⊙O 过点 B 、C。圆心 O 在等腰直角△ABC 的内部，∠ BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为??????（ ） A） 10 B） 2 3 C） 3 2 D） 13【答案】C 2．（2010 安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦 BC （非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后 与直径 AB 交于点 D ，若 长为 A． 4 5 B． 4 3 C．AD 2 ? ，且 AB ? 10 ，则 CB 的 DB 34 2D．4【答案】A 3．（2010 安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线 OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝ ∠B＝60°，则 BC 的长为（） A．19 B．16 C．18 D．20【答案】D 4．（2010 甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三 角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的 有 A．4 个 B．3 个 C． 2 个 D． 1 个 【答案】B 5． （2010 甘肃兰州） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上， 使点 C 在半圆上． 点 A、B 的读数分别为 86°、30°，则∠ACB 的大小为 A．15 ? B．28 ? C．29 ? D．34 ?【答案】B 6．（2010 江苏南通） 如图，⊙O 的直径 AB=4，点 C 在⊙O 上，∠ABC=30° ，则 AC 的长 是 A．1 C． 3 B． 2 D．2【答案】D 7．（2010 山东烟台）如图，△ ABC 内接于⊙O，D 为线段 AB 的中点，延长 OD 交⊙O 于点 E，连接 AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是 A、2 B、3 C、4 D、5【答案】B 8．（2010 台湾）如图(二)， AB 为圆 O 的直径，C、D 两点均在圆上，其中 OD 与 AC 交于 E 点，且 OD ? AC 。若 OE =4， ED =2，则 BC 长度为何？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。 BO A E CD 图(二) 【答案】C9．（2010 浙江嘉兴）如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知 ?O ? 60? ，则 ?C ? （ ▲ ）（A） 20?（B） 25?C OAB（第 4 题）（C） 30?（D） 45?【答案】C 10． （2010 浙江台州市）如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB 大小为 (▲) D O A C（第 5 题）BA．25° 【答案】AB．30°C．40°D．50°11．（2010 重庆）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，若 ?ABC ? 70? ， 则 ?AOC 的度数等于（ A ）O B C 6 题图 A． 140? 【答案】A 12．（2010 重庆市潼南县）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上,∠C=15° , 则∠BOC 的度数为（ A．15° ） B. 30° C. 45° D．60° B． 130? C． 120? D． 110?AOB4题图C【答案】B 13．（2010 福建德化）如图，点 B、C 在⊙ O 上，且 BO=BC，则圆周角 ?BAC 等于（ A． 60? B． 50? C． 40? D． 30?A）OB C【答案】D 14．（2010 福建晋江）如图， A 、 B 、 C 是⊙ O 上的三点，且 A 是优弧 BAC 上与点 B 、 点 C 不同的一点，若 ?BOC 是直角三角形，则 ?BAC 必是( A O C第 6 题图).B A.等腰三角形 B.锐角三角形C.有一个角是 30? 的三角形 D.有一个角是 45? 的三角形 【答案】D 15．（2010 浙江金华）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A=40° ，则∠BOC 的度数为（ ▲ ）B O A CA. 20°B. 40°C. 60°D. 80°【答案】D 16．（2010 四川宜宾）若⊙O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3cm，那么点 A 与⊙ O 的位置关系是( ) A．点 A 在圆内 B．点 A 在圆上 c．点 A 在圆外 D．不能确定 【答案】A 17．（2010 浙江绍兴）已知⊙O 的半径为 5,弦 AB 的弦心距为 3,则 AB 的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 18． （2010 湖南衡阳） 如图， 将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ∠1=30°， ∠2=50°， 则 ?3 的度数等于（ ） A．50° B．30° C．20° D．15°1 3 2【答案】C 19．（2010 湖南衡阳）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70 ，∠c=50 ， 那么 sin∠AEB 的值为( A. 1 2 B.3 3o o) C. 2 2 D.3 2【答案】D 20．（2010 河北）如图 3，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是A B C P Q M 图3 RA．点 PB．点 QC．点 RD．点 M【答案】B 21．（2010 山东省德州）已知三角形的三边长分别为 3,4,5，则它的边与半径为 1 的圆的 公共点个数所有可能的情况是 (A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 【答案】C 22．（2010 福建宁德）如图，在⊙O 中，∠ACB＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）．COA B 第 5 题图A.17°B.34°C.56°D.68°【答案】D 23． （2010 年贵州毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2, 则该半圆的半径为（ ） A BO A. (4 ? 5) cmDC B. 9 cm C. 4 5 cm D. 6 2 cm【答案】C. 24．（2010 湖北武汉）如图，的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为（ ） A、7 B、 7 2 C、 8 2 D、9【答案】B 25．（2010 浙江湖州）如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的 是（ ） A．AE＝OE 60° B．CE＝DE C．OE＝1 CE 2D．∠AOC＝． 【答案】B． 26．（2010 湖北荆门）如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，B 为 AN 弧的中点，点 P 是直径 MN 上一个动点，则 PA+PB 的最小值为 A．2 2 B． 2A B M NC．1D．2P O第10题图【答案】B 27．（2010 山东潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于 D 点，且 AB＝6cm， OD＝4cm，则 DC 的长为（ ）． A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm【答案】D 28．（2010 湖南郴州）如图， AB 是 ? O 的直径， CD 为弦， CD ⊥ AB 于 E ， 则下列结论中不成立的是 ．．．C B D第7题AOEＡ． ?A ? ?D Ｃ． ?ACB ? 90 【答案】 D?Ｂ． CE ? DE Ｄ． CE ? BD29． （2010 湖北荆州）△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC 的外接圆．如图，若 弧 A B 的长为 12cm，那么弧 AC 的长是 A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm【答案】C 30．（2010 湖北鄂州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结 AC，过点 C 作直线 CD⊥AB 交 AB 于点Ｄ，Ｅ是 OＢ上的一点，直线 CE 与⊙O 交于点 F，连结 AF 交直线 CD 于点 G，AC= 2 2 ,则 AG?AF 是 Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．16 Ｄ．8C A D G O E B F【答案】D 31（2010 云南红河哈尼族彝族自治州）如图 2，已知 BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD B 于点 E，若∠AOD=60° ，则∠DBC 的度数为 A.30° C.50° B.40° D.60°o A E CD 【答案】A 图2 32. （2010 四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐 标系，使点 A 的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）A BC【答案】C 33. （2010 黑龙江哈尔滨）如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA=2， ?AOB ? 120 ，则弦 AB?的长是 （A） 2 2（） （C） 5 （D）． 3 2（B） 2 3【答案】B 34. （2010 陕西西安）如图，点 A、B、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点 M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点 M 有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】D 35. （2010 福建三明）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴相切于 点 Q，与 y 轴交于 M（0，2）， N（0，8）两点，则点 P 的坐标是 （ ） A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）【答案】D 36. （2010 湖北襄樊）已知⊙O 的半径为 13cm，弦 AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则 AB、 CD 之间的距离为（ ）A．17cmB．7 cmC．12 cmD．17 cm 或 7 cmC AN M OD B AC ONDM图(2)B图(1) 【答案】D37. （2010 四川绵阳）如图，等腰梯形 ABCD 内接于半圆 D，且 AB = 1，BC = 2，则 OA =（ A． ）．1? 3 2CB． 2C．3? 2 3D．1? 5 2B AOD【答案】A 38．（2010 贵州贵阳）如图 1，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若 AC=8， AB=10，OD⊥BC 于点 D，则 BD 的长为 （A）1.5C D A O B（B）3（C）5（D）6(图 1) 【答案】B 39．（2010 湖北十堰）下列命题中，正确命题的序号是（ ） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线相等的四边形是矩形 ④对角互补的四边形内接于圆 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 40．（2010 重庆江津）已知：点A、B、P为⊙O上的点，若∠PBO=15?,且PA∥OB，则∠AOB=（ A． 15? B． 20?） C． 30? D． 45?【答案】C 41．（2010 青海西宁）如图，在半径为 5 的⊙O 中，若弦 AB=8，则△AOB 的面积为 A. 24 B. 16 C. 12 D.8【答案】C 42．如图，锐角△ABC 的顶点 A、B、C 均在⊙O 上，∠OAC=20°，则∠B 的度数为 A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C 43．（2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如右图，王大爷家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处，为了不让羊 吃到菜，拴羊的绳子可以选用（ ） A. 3m B.5m C.7m D. 9m【答案】A 44．（2010 新疆乌鲁木齐）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 （1，4），（5，4），（1，-2），则 ?ABC 外接圆的圆心坐标是 A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【答案】D 45．（2010 广西梧州）如图 6，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列结论一定正 确的个数有①CE=DE；②BE=OE；③⌒=⌒；④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD。（ CB BD A．4 个 A B．3 个 C．2 个 D．1 个 ）O? C E B 图6 D【答案】A 46．（2010 广东佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A．MP 与 RN 的大小关系不定 C.MP＜RN B.MP=RN D.MP＞RN【答案】B47．（2010 天门、潜江、仙桃）如图，半圆 O 的直径 AB=7，两弦 AB、CD 相交于点 E，弦 CD=7 ，且 BD=5，则 DE 等于( 2B. 4 2) C.A. 2 25 3D.5 2． 【答案】C. 48．（2010 贵州铜仁）如图，MN 为⊙O 的弦，∠M＝30° ，则∠MON 等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D 49．（2010 黑龙江绥化）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半 径为 6，sinB= A.31 ，则线段 AC 的长是（ 3B.4 C.5） D.6【答案】B 50．（2010 广东湛江）如图，已知圆心角∠BOC＝100° ，则圆周角∠BAC 的大小是（ ） A. 50° B. 100° C.130 ° D. 200°【答案】A 51．（2010 广东清远）下列各图中，∠1=∠2 的是（ ）【答案】D 52．（2010 内蒙呼和浩特）如图，⊙O 的直径 CD＝10cm，AB 是⊙O 的弦，AB ? CD，垂足为 M，OM：OC＝3：5，则 AB 的长为( )AM D O CBA．8cm 【答案】AB. 91 cmC.6cmD.2cm53． （2010四川攀枝花） 如图２， △ABC内接于⊙O， 若∠OAＢ＝２８ ， 则∠C的大小是 （ A．５６00）B．６２ C0C．２８0D．３２0O A 图2 B全品中考网【答案】B 二、填空题0 1．1．(2010 江苏苏州)如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 2 3， 、(0，2)，P 是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点 P 的坐标为 ▲ ．??【答案】 2．（2010 安徽省中中考） 如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝500， 点 D 是 BAC 上一点，则∠D＝_______________【答案】 3．（2010 安徽芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图 1，他 在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边三角形 BCE，并与正方形的对角线交于 F、G 点， 制 成 如 图 2 的 图 标 ． 则 图 标 中 阴 影 部 分 图 形 AFEGD 的 面 积 ＝__________． 【答案】 4．（10 湖南益阳）1 如图 5，分别以 A、B 为圆心，线段 AB 的长为半径的两个圆相交于 C、D 两点，则∠CAD 的度数为．【答案】120° 5． （2010 山东青岛）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24° ，则∠BOC = B ? O第 10 题图° ．CA【答案】486．（2010 山东威海）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若 ∠AOD＝30° ，则∠BCD 的度数是C D A O B．v第 14 题图w【答案】105° 7．（2010 四川眉山）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A=40° ，则∠OBC 的度数为_______．A O B C【答案】50° 8．（2010 重庆綦江县）如图所示，A、B、C、D 是圆上的点，∠1＝68° ，∠A＝40° ．则∠ D＝_______．AB1 CD【答案】28° 9．（2010 浙江绍兴）如图,⊙O 是正三角形 ABC 的外接圆,点 P 在劣弧 AB 上, ?ABP =22°,则 ?BCP 的度数为_____________.第 12 题图【答案】38°? 10．（2010 浙江衢州） 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 是 BC 的中点，已知∠AOB=98° ，∠COB=120° ．则∠ABD 的度数是．C A O DB (第 16 题)【答案】101° 11．（2010 江苏泰州）如图⊙O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为 2cm,1cm ，则 弦 AC、BD 所夹的锐角 ? ＝ ．【答案】75° 12． （2010 江苏无锡） 如图， 是 ? O 的直径， D 在 ? O 上∠AOD=130°， ∥OD 交 ? O AB 点 BC 于 C，则∠A=C O▲ ．AB D（第 15 题） 【答案】40° 13． （2010 湖南邵阳）如图（八）在等边△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 连结 AD，则∠DAC 的度数为 ．ABDC图（八） 【答案】）30°14．2010 江苏连云港） （ 如图， A、 C 在⊙O 上， 点 B、 AB∥CD， ∠B＝22°， 则∠A＝________°． B A D A D O ?C 第 16 题 F 【答案】44 E B ? 15． （2010 黄冈） 如图， ⊙O 中，MAN 的度数为 320°， 则圆周角∠MAN＝____________. A D第 4 题图 【答案】20° 16．（2010 福建宁德）如图，在直径 AB＝12 的⊙O 中，弦 CD⊥AB 于 M，且 M 是半径 OB 的中点， 则弦 CD 的长是_______（结果保留根号）.AO ? C M B D第 17 题图【答案】6 3 17．（2010 江西）如图，以点 P 为圆心的圆弧与 X 轴交于 A，B；两点，点 P 的坐标为（4， 2）点 A 的坐标为（2，0）则点 B 的坐标为 ．（15 题） 【答案】 (6,0)18．（2010 年贵州毕节）如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝l，则弦 AB 的长是 ．【答案】6． 19． （2010 四川巴中）如图 7 所示，⊙O 的两弦 AB、CD 交于点 P，连接 AC、BD，得 S△ACP：S△DBP=16:9，则 AC：BD【答案】4：3。 20．（2010 浙江湖州）请你在如图所示的 12× 的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆 12 最多能经过 169 个格点中的 个格点．【答案】12． 21． （2010 江苏常州）如图， 是⊙O 的直径， DC 与 AB 相交于点 E，若∠ACD=60°， AB 弦 ∠ADC=50°，则 ∠ABD= ，∠CEB= 。【答案】60°，100° 22． （2010 江苏淮安） 如图， 已知点 A， C 在⊙O 上， B， AC∥0B， ∠BOC=40°， 则∠ABO=．【答案】20° 23．（2010 湖北荆门）在⊙O 中直径为 4，弦 AB=2 3 ，点 C 是圆上不同于 A、B 的点， 那么∠ACB 的度数为________． 【答案】60° 120° 或 24．（2010 四川成都）如图，在 ?ABC 中， AB 为⊙O 的直径， ?B ? 60 , ?C ? 70 ，? ?则 ?BOD 的度数是_____________度．【答案】100 25．（2010 四川成都）如图， ?ABC 内接于⊙O， ?B ? 90 , AB ? BC ， D 是⊙O 上?与点 B 关于圆心 O 成中心对称的点， P 是 BC 边上一点，连结 AD、DC、AP ．已知AB ? 8 ， CP ? 2 ， Q 是线段 AP 上一动点，连结 BQ 并延长交四边形 ABCD 的一边于点R ，且满足 AP ? BR ，则BQ 的值为_______________． QR【答案】1 和12 1326．（2010 湖北鄂州）已知⊙O 的半径为 10，弦 AB 的长为 10 3 ，点 C 在⊙O 上，且 C 点到弦 AB 所在的直线的距离为 5， 则以 O、 B、 为顶点的四边形的面积是 A、 C 【答案】 50 3 ．27． （2010 江苏扬州） 如图， 为⊙O 直径， C、 在⊙O 上， AB 点 D 已知∠BOC＝70° AD∥OC， ， 则∠AOD＝__________． D A C BO第 15 题 【答案】40 28．（2010 北京）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为点 E，连结 OC，若 OC＝5，CD＝8，则 AE＝．【答案】2?29．2010 湖北随州） （ 如图， 中， ⊙O 则圆周角∠MAN＝____________. MAN 的度数为 320°，第 4 题图 【答案】20° 30．（2010 江苏徐州）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，若大圆的半径为 5 cm，小圆的半径为 3 cm，则弦 AB 的长为_______cm．【答案】8 31． （2010 云南昆明）半径为 r 的圆内接正三角形的边长为 根号） 【答案】 3.（结果可保留r32．（2010 陕西西安）如图是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽 为 1.6 米，则这条管道中此时最深为 米。【答案】0.4 33．（2010 江西省南昌）如图.⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ?ABO ? ? ，?ACO ? ? ，?BOC ? ? ，则下列关系中，正确的是A. ? ? ? ? ? C． ? ? ? ? ? ? 180 B. ? ? 2? ? 2??（ ）D. ? ? ? ? ? ? 360?【答案】 34．（2010 福建三明）如图，在⊙O 中，∠ACB=35°，则∠AOB= 度。【答案】10 35．（2010 山东东营）将一直径为 17cm 的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片， 再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为 cm3．①② （第 16 题图）③【答案】 17 17 36． （2010 江苏镇江） 如图， 是⊙O 的直径， CD⊥AB， AB 弦 垂足为 E， AB=10， 若 CD=8， 则线段 OE 的长为 .【答案】3 37．（2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为 1 的⊙O 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线 BF 交 ⊙ O 于 点 F ， 且 ∠ ABF ＝ ∠ AEC ， 则 直 线 BF 对 应 的 函 数 表 达 式 为y C E．AOBxD (第 17 题)【答案】 y ? x ? 1 ， y ? ? x ? 1 38．（2010 云南玉溪） 如图 6，在半径为 10 的⊙O 中，OC 垂直弦 AB 于点 D， AB＝16，则 CD 的长是．【答案】4 39．（2010 天津）如图，⊙O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， 若 ?A ? 30? ， ?APD ? 70? ， 则 ?B 等于 （A） 30? （B） 35? （C） 40? （D） 50?B C P A第（7）题O D【答案】C 40．（2010 广西钦州市）如图，点 C 在⊙O 上，∠ACB＝50° ，则∠AOB＝_▲_° ．C O?BA【答案】100° 41．（2010 吉林长春）如图，⊙P 与 x 轴切与点 O，点 P 的坐标为（0,1），点 A 在⊙P 上， 且在第一象限，∠APO=120°，⊙P 沿 x 轴正方向滚动，当点 A 第一次落在 x 轴上时，点 A 的横坐标为 （结果保留π ）。【答案】2 x 342．2010 新疆乌鲁木齐） （ 如图 4， 是⊙O 的直径， D 为⊙O 上的两点， ?CDB ? 35 °， AB C、 若 则 ?ABC 的度数为 。【答案】55° 43．（2010 广西南宁）如图 6, AB 为半圆 O 的直径， OC ? AB , OD 平分 ?BOC ，交半 圆于点 D , AD 交 OC 于点 E ，则 ?AEO 的度数是0【答案】67.5 44．（2010 云南昭通）如图 5，⊙O 的弦 AB=8， M 是 AB 的中点，且 OM 为 3，则⊙O 的 半径为________．O BAM 图5【答案】5 45．（2010 贵州遵义）如图，SABC 内接于⊙O，∠C=40 ，则∠ABO=度.【答案】50 46．（2010 广西柳州）如图 8，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，F 是弦 BC 的 中点，∠ABC=60°．若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点 出发沿着 A→B→A 方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)， 连结 EF，当 t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形． C F A E O B【答案】1 或 1.75 或 2.25 47．（2010 辽宁本溪）如图所示，△ABC 内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC 的度数 是 . BO A C【答案】50° 48．（2010 福建南平）如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，则∠BOC=_______° . A O?B 第 14 题 答案:120 49．（2010 年福建省泉州）如图，点 A 、 B 、 C 在⊙O 上， ?A ? 45? ，则 ?BOC ? . C【答案】90° 50．（2010 广东肇庆）如图 2，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠C＝35°，则∠AOB 的度数 是______度．全品中考网【答案】70° 51．（2010 四川广安）如右图，在⊙O 中，点 C 是弧 AB 的中点，∠A=50° ，则∠BOC 等 于 度．【答案】40° 0 52．（2010 吉林）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠ABC=50 ，动点 P 在弦 BC 上， 则∠PAB 可能为________度（写出一个符合条件的度数即可）。 ．．【答案】 53．（2010 四川达州）如图 6，一个宽为 2 cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻 度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的 读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的 直径是 cm.图6 【答案】10 54． （2010 湖南娄底） 如图 7 在半径为 R 的⊙O 中， AB 的长与半径 R 相等， 是优弧⌒ 弦 C AB 上一点，则∠ACB 的度数是_______.C?A 图7 【答案】30° 55．（2010 内蒙赤峰）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交 ⊙O 于一点 D，点 E 在⊙O 上，∠AED=25° ，则∠OBA 的度数是___________． BO【答案】40o 56．（2010 湖北黄石）如图，⊙O 中，OA⊥BC,∠AOB＝60° sin∠ADC＝ ,则.【答案】 三、解答题 1．（2010 甘肃兰州）（本题满分 6 分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）（本小题满分 4 分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹）． （2）（本小题满分 2 分））若△ABC 中 AB=8 米，AC=6 米，∠BAC= 90 ，试求小明家圆 形花坛的面积．?【答案】(1)（本小题满分 4 分） 用尺规作出两边的垂直平分线 作出圆 ⊙O 即为所求做的花园的位置.（图略） （2）（本小题满分 2 分） 解：∵∠BAC= 90 ,AB=8 米,AC=6 米, ∴BC=10 米 ∴ △ABC 外接圆的半径为 5 米 2．（2010 江苏南通）（本小题满分 8 分） 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点， CD＝6 cm，求直径 AB 的长． ∴小明家圆形花坛的面积为 2 5? 平方米 .?AO? D P B（第 20 题）C【答案】方法一：连结 OC，BC，则 OC=OB ∵PC 垂直平分 OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC 为等边三角形. ∴∠BOC=60° 在 Rt△BOC 中， 由垂径定理，CP=1 CD=3cm 2CP =tan∠COP= 3 OP∴OP= 3 cm.∴AB=2OB=4OP=4 3 cm. 方法二： 解：连 OC，设 OP 为 x ，则 OC 为 2 x ，直径 AB 为 4 x ， 在 Rt△COP 中， OC ? OP ? PC2 22 2 即 ?2 x ? ? x ? 3 ，解得 x ? 223所以直径 AB 为 4 3 cm. 3． （2010 山东济宁） 如图，AD 为 ?ABC 外接圆的直径，AD ? BC ， 垂足为点 F ， ABC ? 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ， CD . (1) 求证： BD ? CD ； (2) 请判断 B ， E ， C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由.AE BFCD(第 20 题)【答案】 （1）证明：∵ AD 为直径， AD ? BC ，? ? ∴ BD ? CD .∴ BD ? CD . ???????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ??? ?????????? ??????????? ?? 3（2）答： B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ??????????? 分 ?????????? 4 ??????????? ? 理由：由（1）知： BD ? CD ，∴ ?BAD ? ?CBD .∵ ?DBE ? ?CBD ? ?CBE ， ?DEB ? ?BAD ? ?ABE ， ?CBE ? ?ABE ， ∴ ?DBE ? ?DEB .∴ DB ? DE . ????????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ??? 6 ?????????? ??????????? ??? 由（1）知： BD ? CD .∴ DB ? DE ? DC . ∴ B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ???????????? 分 ??????????? 7 ?????????? ? 4．（2010 浙江嘉兴）如图，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形 沿 PQ 排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个 △A1 B1C1 的顶点 A1 与点 P 重合，第二个 △A2 B2 C 2 的顶点 A2 是 B1C1 与 PQ 的交点，?，最后一个 △An Bn C n 的顶 点 B n 、 C n 在圆上．P( A1 ) B1 B2 A2 C1 C2 An Bn Q Cn B1 C1 B1 A2 C1 P( A1 ) P( A1 )?Q（第 23 题 图 1）B2QC2（第 23 题）（第 23 题 图 2）（1）如图 1，当 n ? 1 时，求正三角形的边长 a1 ； （2）如图 2，当 n ? 2 时，求正三角形的边长 a 2 ； （3）如题图，求正三角形的边长 a n （用含 n 的代数式表示）． 【答案】 （1）设 PQ 与 B1C1 交于点 D，连结 OB1 ，P( A1 )OB1DQ（第 23 题 图 1）C1则 OD ? A1 D ? OA1 ?3 a1 ? 1 ， 2在 Rt△OB1 D 中， OB1 2 ? B1 D 2 ? OD 2 ，1 3 即 12 ? ( a1 ) 2 ? ( a1 ? 1) 2 ， 2 2解得 a1 ? 3 ．?4 分P( A1 )（2）设 PQ 与 B 2 C 2 交于点 E，连结 OB2 ， 则 OE ? 2 A1 A2 ? OA1 ? 3a 2 ? 1 ， 在 Rt△OB2 E 中 OB2 2 ? B2 E 2 ? OE 2 ，1 即 12 ? ( a 2 ) 2 ? ( 3a 2 ? 1) 2 ， 28 3 解得 a 2 ? ． 13B1A2 OC1EB2?4 分QC2（第 23 题 图 2）（3）设 PQ 与 Bn C n 交于点 F，连结 OBn ， 则 OF ?3 nan ? 1 ， 2P( A1 ) A2 B1 B2 C1 C O 2 An在 Rt△OBn F 中 OBn 2 ? Bn F 2 ? OF 2 ，1 3 即 12 ? ( a n ) 2 ? ( nan ? 1) 2 ， 2 2?解得 a n ?4 3n 3n 2 ? 1．?4 分F Bn Q C n（第 23 题）5．（2010 嵊州市）（10 分） （1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90°的一个点 P，并说明理由。 （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点 P，并说明理 由。（3）如图③，现在一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、 面积最大的△APB 和△CP ' D 钢板， 且∠APB＝∠CP ' D＝60°， 请你在图③中画出符合要 求的点 P 和 P ' 。图① 图② 【答案】(1)如图①，点 P 为所求 （2）如图②，圆上实线部分弧 EF 为所求②③ （3）如图③，点 p 、 p 为所求'图③6．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是 点F．的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于C D（1）求证：CFBF； （2）若 CD 6， AC 8，则⊙O 的半径为 ▲ ， CE 的长是 ▲ ．A O F 2 E 1 B【答案】解：(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB90° 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB90° ∴∠290°－∠A∠1 又∵C 是弧 BD 的中点，∴∠1∠A ∴∠1∠2, ∴ CFBFqC D 2 F O E 1AB(2) ⊙O 的半径为 5 ， CE 的长是24 57．（2010 四川南充）如图，△ABC 内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝1 BC． 2（1）求∠BAC 的度数． （2）将△ACD 沿 AC 折叠为△ACF，将△ABD 沿 AB 折叠为△ABG，延长 FC 和 GB 相交于 点 H．求证：四边形 AFHG 是正方形． （3）若 BD＝6，CD＝4，求 AD 的长． A AGO F B ED H CGO F B ED H C【答案】（1）解：连结 OB 和 OC． AGO F B ED H C∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE． ∵ OE＝1 BC，∴ ∠BOC＝90° ，∴ ∠BAC＝45° ． 2（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90° ． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90° ， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45° ．∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90° ． ∴ 四边形 AFHG 是正方形． （3）解：由（2）得，∠BHC＝90° ，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设 AD 的长为 x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． 在 Rt△BCH 中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴ AD＝12． 8．（2010 福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝ ∠C． （1）求证：CB∥PD； 3 （2）若 BC＝3，sinP＝ ，求⊙O 的直径． 5(第 19 题)? ? 【答案】解：（1）证明：∵ BD ? BD ，∴ ∠C＝∠P．又∵ ∠1＝∠C， ∴ CB∥PD． （2）连接 AC． ∵ AB 为 0D 的直径， 又∵ CD⊥AB， ∴ ∠A＝∠P， BC 在 Rt△ABC 中， sinA＝ ， AB 3 ∵ sinP＝ ， 5∴ ∠1＝∠P．∴ ∠ACB=90°．? ? ∴ BC ? BD∴ sinA＝sinP．∴BC 3 ＝ ． AB 5第 19 题图又∵ BC＝3， ∴ AB＝5． 即⊙O 的直径为 5． 9．（2010 邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的 对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。 如图（十三），已知正四边形 ABCD 的外接圆⊙O，⊙O 的面积为 S 1 ，正四边形 ABCD 的面积为 S 2 ，以圆心 O 为顶点作∠MON，使∠MON=90° ，将∠MON 绕点 O 旋转，OM、ON 分别与⊙O 相交于点 E、F，分别与正四边形 ABCD 的边相交于点 G、H。设? OE、OF、 EF 及正四边形 ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为 S（1）当 OM 经过点 A 时（如图①），则 S、S 1 、S 2 之间的关系为：S＝ 含 S 1 、S 2 的代数式表示）； （2）当 OM⊥AB 时（如图②），点 G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明 理由。 （3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明 理由． （用图（十三）S ? S2 【答案】解：（1） 1 4（2）成立。理由：连 OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴}