数学悖论与三次数学危机_百度百科
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数学悖论与三次数学危机
《数学悖论与三次数学危机》是2006年湖南科学技术出版社出版的图书，作者是韩雪涛。
本书通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论)的介绍，让读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识。
数学悖论与三次数学危机内容简介
《数学悖论与三次数学危机》还穿插数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。本书很值得一读，老少皆宜。
数学悖论与三次数学危机图书目录
第1编 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第一章 几何定理中的“黄金”：勾股定理
第一节 古老的定理
第二节 勾股定理的广泛应用及其地位
第二章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
第一节 智慧之神：毕达哥拉斯
第二节 毕达哥拉斯学派的数学发现
第三节 毕达哥拉斯学派的数学思想
第四节 勾股定理证法赏析
第三章 风波乍起：第一次数学危机的出现
第一节 毕达哥拉斯悖论
第二节 第一次数学危机
第三节 根号2是无理数的证明
第四章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决
第一节 欧多克索斯的解决方案
第二节 同途殊归：古代中国的无理数解决方案
第五章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响
第一节 第一次数学危机对数学思想的影响
第二节 欧几里得和《几何原本》
第三节 第一次数学危机的负面影响
第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机
第一章 风起清萍之末：微积分之萌芽
第一节 古希腊微积分思想
第二节 微积分在中国
第二章 积微成著：逼近微积分
第一节 蛰伏与过渡
第二节 半个世纪的酝酿
第三章 巨人登场：微积分的发现
第一节 牛顿与流数术
第二节 莱布尼兹与微积分
第三节 巨人相搏
第四章 风波再起：第二次数学危机的出现
第一节 贝克莱悖论与第二次数学危机
第二节 弥补漏洞的尝试
第五章 英雄时代：微积分的发展
第一节 数学英雄
第二节 分析时代
第六章 胜利凯旋：微积分的完善
第一节 分析注入严密性
第二节 分析的算术化
第3编 罗素悖论与第三次数学危机
第一章 走向无穷
第一节 康托尔与集合论
第二节 康托尔的难题
第二章 数学伊甸园
第一节 反对之声
第二节 赞誉与影响
第三章 一波三折：第三次数学危机的出现
第一节 罗素悖论与第三次数学危机
第二节 悖论分析与解决途径
第四章 兔、蛙、鼠之战
第一节 逻辑主义
第二节 直觉主义
第三节 形式主义
第五章 新的转折
第一节 哥德尔的发现
第二节 数理逻辑的兴起与发展
．豆瓣[引用日期]
清除历史记录关闭一个数学悖论：0.99999.=1
一个数学悖论：0.99999.=1已知1/3=0.33333.1/3乘以三等于1但0.33333.乘以 3 等于 0.99999.而0.99999.不等于1我的解题方式有误吗?有请指出,并给出正确的解决方案.没有,请论证0.99999.=1附：设0.333333.=x列出方程：10x-x=3.333.=3解得x=3/9=1/3
“0.99999.不等于1”错误,理由如下：设0.9999999……=s则10s=9.999999……故 10s=9+s故s=1∴0.9999999……=1 再问： 可是这应该是无限接近而不是等于，为什么？ 再答： 确实是相等的。就像你1/3=0.33333...，这里有无数个3，这个数是没有尾的，同样0.99999...，也是9无限循环，当你认为9的数量已经到达极限时，它后面总还是有无限个9，所以0.99999...等于1也没什么奇怪的。就好比1/3=0.33333...你没觉得奇怪一样。
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《一个数学悖论：0.99999.=1》相关的作业问题
0.9999...= 0.333...x 3= 1/3 x 3 = 1
楼主同志,其实龟兔赛跑不是原版的我现在把正版的说法给你,名字顺便也说了:-----------------------------------------------------------芝诺悖论芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌
a=0%5; printf("%d",a); 输出的是0；不是5刚做了的
首先悖论是逻辑问题其次这幅图是利用平面空间的欺骗性造成的
这不是悖论,上面得分数应该是1/9,2/9,8/9吧,0.9循环=1是对的,当你学完极限就知道了,高几学的我忘了.
引用“billgor”的答案：“1、理发师故事:有一个村子只有一个理发师,这个村子规定理发师只能给那些自己不理发的人理发,这个理发师的头发就理也不是不理也不是了(如果理,按照规定又不能理,如果理,按照规定又要自己理).2、s等于多少悖论设s=1+1-1+1-1+1-...则（1）s=(1-1)-(1-1)-(1-1).
我认为是对的
给你的是分数,所以你只需要看分数就可以了,不用管化成小数是多少.
x.楼主是说这样的吗?你可以新建一个word文档 桌面右键新建 然后最上面开始右边 有个插入 找数学符号就行还有一种偷懒的方法 x后面加个句号就行了~
假设全是语文书,共厚：92×1.2＝110.4（厘米）数学书有：（110.4－88）÷（1.2－0.8）＝56（本）语文书有：92－56＝36（本）
答案是对的,但是表达的不对.
8边形有20条n变形有n(n-3)/2条
再见吧妈妈 ：分母
是的 int为整型,范围就应该是6~8
右下角的数字表示某一行数的平均数,如要求三行数的平均数则写x一x二x三,（x上方有横杠,一二三是小写）上方的横杠称“拔”是平均数的意思.
因为1/3=0.333333…… 0.……/3=0.333333……所以1=0.……
30X20X2+0.5X30=1215平方厘米 ,先算出上下两个面,再算一个侧面,其他的不用算.
#includevoid main(){double x,y;scanf("%f",&x);if(x>-5&&x0&&x
是的,是自然数数学就悖论正论大全,一起来证明1=2（转） - 33IQ的日志,人人网,33IQ的公共主页
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共1338篇&&
数学就悖论正论大全,一起来证明1=2（转）
今天上数学课各种好玩的东西。于是就找到好多这个来分享一下。。。当然不是我写的。。。并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了。。。
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。
1=2？史上最经典的&证明&
设 a = b ，则 a&b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a&b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b&(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。这可能是有史以来最经典的谬证了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小说 Division by Zero 中写到：
There is a well-known &proof& that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: &Let a = 1; let b = 1.& It ends with the conclusion &a = 2a,& that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all&real or imaginary, rational or irrational&are equal.
这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。
无穷级数的力量 (1)
小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + &一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + &= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + &= 0 + 0 + 0 + &= 0另一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + &= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + &= 1 + 0 + 0 + 0 + &= 1这岂不是说明 0 = 1 吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + & ， 于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的&和&。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。
无穷级数的力量 (2)
同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + &则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + &于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + &) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + &) = -1也就是说：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + & = -1
平方根的阴谋 (1)
定理：所有数都相等。证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t = a + b 。于是，a + b = t(a + b)(a - b) = t(a - b)a^2 - b^2 = t&a - t&ba^2 - t&a = b^2 - t&ba^2 - t&a + (t^2)/4 = b^2 - t&b + (t^2)/4(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2a - t/2 = b - t/2a = b怎么回事儿？问题出在倒数第二行。永远记住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = &y 。
平方根的阴谋 (2)
1 = &1 = &(-1)(-1) = &-1&&-1 = -1嗯？&只有 x 、 y 都是正数时， &x&y = &x&&y 才是成立的。-1 的平方根有两个， i 和 -i 。 &(-1)(-1) 展开后应该写作 i&(-i) ，它正好等于 1 。
复数才是王道
考虑方程x^2 + x + 1 = 0移项有x^2 = - x - 1等式两边同时除以 x ，有x = - 1 - 1/x把上式代入原式中，有x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0即x^2 - 1/x = 0即x^3 = 1也就是说 x = 1。把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！
其实， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误
众所周知，1 + 2 + 3 + & + n = n(n+1) / 2让我们用 n - 1 去替换 n ，可得1 + 2 + 3 + & + (n-1) = (n-1)n / 2等式两边同时加 1 ，得：1 + 2 + 3 + & + n = (n-1)n / 2 + 1也就是n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1展开后有n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。也就是说?? 1 + 2 + 3 + & + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是1 + 2 + 3 + & + (n-2) + (n-1) + 1
1 块钱等于 1 分钱？
我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上， &100 分 = (10 分)^2& 是不成立的， &10 分& 的平方应该是 &100 平方分& ，正如 &10 米& 的平方是 &100 平方米& 一样。
数学归纳法的杯具 (1)
下面这个&证明&是由数学家 George P&lya 给出的：任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同。对 n 施归纳：首先，当 n = 1 时命题显然成立。若命题对 n = k 成立，则考虑 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, &, #k} 这 k 匹马的颜色相同， {#2, #3, &, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2 ，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具 (2)
下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a 、 b ，都有 a = b 。为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n ，如果 max(a, b) = n ，那么 a = b 。我们对 n 施归纳。当 n = 1 时，由于 a 、 b 都是正整数，因此 a 、 b 必须都等于 1 ，所以说 a = b 。若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b) = k + 1 。则 max(a - 1, b - 1) = k ，由归纳假设知 a - 1 = b - 1 ，即 a = b 。这个问题出在， a - 1 或者 b - 1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。
所有三角形都是等腰三角形
别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。下面就是一个经典的几何谬论。画一个任意三角形 ABC 。下面我将证明， AB = AC ，从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令 BC 的中垂线与 &A 的角平分线交于点 P 。过 P 作 AB 、 AC 的垂线，垂足分别是 E 、 F 。由于 AP 是角平分线，因此 P 到两边的距离相等，即 PE = PF 。于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF 。由于 DP 是中垂线，因此 P 到 B 、 C 的距离相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 。另外，由于 PE = PF ， PB = PC ，且 &BEP = &CFP = 90& ，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 。现在，由第一对全等三角形知 AE = AF ...
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本人有一条长期存在的求婚状态 ，求回复，只要在我最新的求婚状态下 发一个表情，或者飞一句祝福的短语， 我都会表示无限的感激，本人目标9999条留言回复， 现在3000 ，我答应她5号她回来给她6000 求帮忙，谢谢，有图有真相，不求来访，只求状态回复，9999后 退出沙发界
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前两天给各位模友推送的“葛立恒数”，不知道有多少人享受其中呢？如果还有人觉得意犹未尽的话，那么今天超模君再来分享一个颠覆常识的理论——巴拿赫-塔斯基悖论（又称“分球悖论”）。
这个理论的具体内容是：一个三维的球体，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个与圆球体同等大小的球体。用一个成语来概括这个理论就是：
无！中！生！有！
是不是已经有模友迫不及待地想知道到底是怎么回事呢？不要着急，在讲具体方法之前，超模君先讲两个例子，为后面更好地讲“分球悖论”做准备。
有一间世界闻名的旅馆，名字叫希尔伯特旅馆。旅馆里有无数个房间，每个房间里都住了一个客人。一天，有一名新的客人来到了旅馆，要求入住。但是所有房间都满了，该怎么办呢？
聪明的老板娘微微一笑，她让1号房间的客人住到2号房间，2号客人到3号房间……之后的客人都这么做。由于房间的数量是无限的，所以客人们都能够住到下一个房间中。就这样，1号房间空了出来，新客人也就心满意足地住进了1号房间当中。
怎么样？是不是有点理解不能了？没关系，这个示例就只想告诉各位模友一件事：任何有限的数与无限做加减运算，其结果依然是无限。
好了，离开希尔伯特旅馆，让我们再来看一本名叫超级韦氏字典的英语字典——这本字典包含了英语中所有的单词，只因为它的结构是这样的：
这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在无限多个A之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……一直到条目为无限多个Z的序列。列表的话大概是这个样子：
容易想象，这本字典是非常巨大的，但是出版商想节省原料，于是想出了这么一个办法：
将所有以A开头的序列分为第一卷，在这卷里面，所有序列开头的A将会不再印刷在字典里面，因为读者在使用时自觉地加上A这个字母。
但是出版商的这个做法，却产生了意想不到的效果：印在第一卷里面的序列，在省去A之后，这一卷依旧能够表示所有的单词！
也就是说，出版商仅仅用一卷，就分解了整部超级韦氏字典……
OK，请各位模友牢记这两个例子，接下来就是加速的时候了！（前方高能，不想烧脑的模友可以趁早撤退了）
“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，而我们选取的方法，就是让三维球体，变成一部超级韦氏字典。
那如何让球体变成一部超级韦氏字典呢？首先，必须给整个球体上的点，起一个独一无二的名字。取名的方法如下：
选择一个起点O，然后以适当的长度（arccos（1/3））作为单位长度，让O一步步地移动。
移动的方向只有四个：上（U）、下（D）、左（L）、右（R）。O每向一个方向移动一步，就记录一步，直到O不动为止，所列出来的序列就是O停下时所在点P的名字。（注意，由于选择了适当的单位长度，故除非原路返回，否则任意两个序列不会走到除极点外的同一个点上。）
例如，O向上移动了一步，那么点P1的名字就是U；O向上移动一步，再向右移动一步，那么点P2的名字就是RU。（注意，记录时书写顺序为从右到左，因为之后的步骤需要我们这么做。）
当然，这种命名方法还有个规则：就是不能够存在“原路返回”的序列——UD、DU、LR、RL，因为这样相当于点O根本没动。
然后我们将所有可能的序列都列出来，球面上的点就变成一部超级韦氏字典了：
看起来是不是很眼熟？
就像这个样子
按照上述方法，我们将这些序列标注在球面上，每个序列都会得到一个属于自己颜色的点：
这样的点有可数无限个，但是却并不能占满整个球面——因为球面上有不可数无限个点。（不懂可数和不可数无限的模友可以去了解下康托尔的集合论）那问题来了，该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢？
很简单，在没有涂色的点中，选一个新起点，然后将这些序列应用到新起点上，再给可数无限个点命名。重复这一过程，我们就可以将球面上所有点分成五类点：起点、U点、D点、L点、R点。
按照之前的做法，我们分配颜色给这五类点：起点为绿色、U点为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。
你以为这样就分类完了？不不不，还有一类点隐藏在这五类点其中，它们有很多个名字，我们必须将它们剔除出来，免得出错。
这类点的名字叫做极点。我们将这类点单独剔除出来，用黄色给它们来标上颜色。接下来，我们就可以来见证奇迹了！
所谓的极点，就是某个点运动到这个点时，无论在序列中添加左右或者上下，都不会变成第二个点的点。对于以左右（L\R）作结尾的序列而言，它们的极点是南北极点。当点运动到南北极点时，无论是向左旋转还是向右旋转（因为球面上点的移动的本质就是旋转），都不会产生新的点，但是在序列中却会产生新的序列，所以必须单独拿出来命名。上下（U\D）结尾的序列的极点则是东西极点。
现在球体上所有的点都被标上了6种颜色中的其中一种，按照颜色来分类，球体则可以被分成6部分：起点部分U点部分D点部分L点部分R点部分极点部分。因为每个点到球心的点列是独一无二的，所以只用点来代表就行。
当然，球心也需要单独拿出来，因为它是独一无二的。
拆分后的球体如下图：
OK，现在我们可以将L点部分拿出来看看。
L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列，如果将L点部分向右旋转一下，序列会发生怎样的变化呢？
答案是：L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。
有模友可能会说：这怎么可能？！超模君在骗人吧？！
不是超模君在骗你，用前面超级韦氏字典的例子就可以解释这个现象。
如图，向右旋转L点部分，相当于在L点部分所对应的序列之后再加上一个R：
前面说过，RL这样的序列是不允许出现的，所以所有序列的最后一个L都被抵消，但由于每个序列都是无限的，就好像超级韦氏字典第一卷那样，剩下的部分依旧可以构成代表U点、D点、L点部分的序列，而只有一个L的那些点，则因为被R抵消，还原回所有起点。
只是旋转一下，我们就得到了球体的四个部分，那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上，以及把球心放进去，就是一个完整的球体了——而且还剩下这些东西：
这三个东西依旧可以拼成一个完整的球体。
我们把U点部分向下转动，与前面向右旋转L点部分相类似，U点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列，还有起点的序列。
但是起点部分还没有用上呢？怎么办呢？
不要紧，把序列U所代表的点先行移到D点部分，然后再对整个U点部分进行旋转就行。可是我们会发现，先清除再旋转后的U点部分，序列UU会变成序列U，与D点部分中先行到达的序列U相重复，所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除，然后再旋转剩余部分，最后再组合，才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。
接下来的工作就很简单了，把剩余的部分全部组合在一起。诶？等等？你说剩余的极点部分和球心该怎么办？没关系，用希尔伯特旅馆的思想就可以解决。
因为极点在球面上，所以可以想象，每个极点都在一个圆上，而且不会有多个极点在同一个圆上。而希尔伯特旅馆的例子告诉我们，一个拥有不可数无限个点的圆，上面少一个点，总可以找出另一个点来补充它的位置，因为点是无限多的。球心也可以被这样补充出来。
那么，到目前为止，我们就成功地将一个球完美地分割成两个球啦！而且这两个新球，跟旧球是没有任何区别的哦！后排的模友，请让超模君看到你们欢呼的双手！
其实，有关“分球悖论”的正确性，依旧是众说纷纭，因为它超出了我们日常生活的直观经验，也就是所谓的常识。
但是，谁又能够说，常识就是真理呢？谁又能够说，我们所能触摸到的，就是这个世界的全部呢？
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你想试一下在超模发文章是什么感觉吗？“超级数学建模”微信公众号自开通以来，我们超模团队为模友提供最优质内容所做的努力从来没停止过。不过，世界那么大，我们难免错过一些精彩的内容和有趣的灵魂，这一点，在我们平常文章的留言中可以非常明显地看出。经常有模友留
会平分三明治女神如期而至今天，超模君来讲一个听起来很好吃的定理——火腿三明治定理（Ham Sandwich Theorem）。首先我们要把三明治想象成只有一块长方形火腿片和一块长方形面包片。面包片（长方形ABCD）上面平铺着一块小火腿片（长方形EFGH），现在我们来动刀子了，怎
侦探小说一直被认为是大人的专利，但殊不知世界上的优秀儿童侦探小说也是不可被忽视的明珠。儿童侦探小说又称“少年侦探小说”，具有极大的魅力，没有任何一种文学样式能像侦探小说这样给读者提供多元的审美参与乐趣。它不仅让孩子在心理上、感情上、思想上参与，还直接
“超模君你是数学专业的吧？”“是的，领导。”“那你口算应该很厉害，去教一下我儿子做数学题吧。”超模君内心OS：领导您是不知道现在小学数学题有多难（奇葩）。。。-----这里是数学思维的聚集地------“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻
从北极跳到南极你会变成什么样今天，超模君在“闲逛”的时候，突然看到一个很有趣的问题：如果地球上挖了一个洞，出口在地球的另一端，一个人跳进洞中，请问他会怎样运动？其实这是一个复杂的问题。我们先从最简单的情况开始讨论吧。最简单的情况是这样的：1、这个洞从北
【导读】地图公司给地图“上色”主要靠数据，数据够则地图生。数据是地图的生命，车速是路况的根本，地图获取数据主要有两种方式：自给自足、仰给于人上班出门，点开地图，前面红色，后面红色，左面红色，右面红色。被一片“姹紫嫣红”包围，前路不通后路被堵，进退维谷
什么方法使0基础学生3个月就能说一口流利英语？一天晚上，他接到学生发来的短信：“老师，这三个月来，我严格按照你说的学习方法去做，没想到我英语提升那么快，现在已经能跟外国人交流自如。就在上个月，我成功通过英语面试，拿到了一家外企的Offer，月薪是现在的3倍！
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