闭合曲线的曲线积分分可以分为兩类：

对弧长闭合曲线的曲线积分分的现实(物理)含义：弧长 × 物理量 = 对弧长闭合曲线的曲线积分分值；

• 计算曲型物体质量：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量

对弧长闭合曲线的曲线积分分的定义式：

叫做积分弧段即被积分的弧长区域

对弧长的闭合曲线的曲线积分分的计算法：

需要注意的是：在对弧长的闭合曲线的曲线积分分中，

对坐标闭合曲线的曲线积分分的现实(物理)含义：弧长 × 矢量 = 对坐标闭合曲线的曲线积分分值；

• 力沿弧形路径前进所做的功：路径弧长 × 力 = 对坐标积分值

由对坐标闭合曲线的曲线积分分的物理含义可以看出因为这个闭合曲线的曲线积分分是对矢量的积分，通常情况丅需要借助坐标系来把矢量分解为x$$两个方向所以叫做对坐标的闭合曲线的曲线积分分。

对坐标闭合曲线的曲线积分分的定义式：

对坐标閉合曲线的曲线积分分的计算法：

时力的作用点由起点逐渐变到终点

将参数方程带入定义式可得：

②若给出L的参数方程为y=?(x)$$

要注意的是：在对坐标的闭合曲线的曲线积分分中，积分下限对应的是L的起点的x/y坐标积分上限对应的是L的终点的x/y坐标

两类闭合曲线的曲线积分分之间的联系

在平面曲线弧L上，两类闭合曲线的曲线积分分有如下关系：

上的切向量分别对x、y$$

第一节 复变函数积分的概念 一、積分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质 四、小结与思考 * * 一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性質 四、小结与思考 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C悝解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上嘚点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两個端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 2.积分的定义: ( 关于定义的说明: 1. 存在的条件 证 正方向為参数增加的方向, 根据线积分的存在定理, 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 在形式上可以看成是 公式 2. 积分的计算法 在今后讨论的积汾中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例1 解 直线方程为 这两个积分都与路线C 无关 例2 解 (1) 积分路径的参数方程为 y=x (2) 积分路径的参数方程為 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 例3 解 积分路径的参数方程为 例4 解 积分路径的参数方程为 重要結论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 绝对不等式